x＝
（2）当t＝5时，x＝－50×5＋325＝75，
即汽车行驶5小时离A地75千米．
1．解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式．求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性．
2．数学建模的过程图示如下：
1．思考辨析
甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，判断下列说法的对错．
（1）甲比乙先出发．（ ）
（2）乙比甲跑的路程多．（ ）
（3）甲、乙两人的速度相同．（ ）
（4）甲先到达终点．（ ）
[答案]
（1）×
（2）× （3）× （4）√
2．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）
A B C D
B [图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．]
3．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，则汽车离开A地的距离y（单位：
千米）是时间t（单位：
小时）的函数，该函数的解析式是________．
[答案] y＝
4.某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：
（1）求y与x的函数解析式；
（2）要使该游乐场每天的盈利额超过1000元，每天至少卖出多少张门票？
[解]
（1）由图象知，可设y＝kx＋b（k≠0），x∈[0,200]时，过点（0，－1000）和（200,1000），解得k＝10，b＝－1000，从而y＝10x－1000；x∈（200,300]时，过点（200,500）和（300,2000），解得k＝15，b＝－2500，
从而y＝15x－2500，
所以y＝
（2）每天的盈利额超过1000元，则x∈（200,300]，由15x－2500>1000得，x>
，故每天至少需要卖出234张门票．
课后作业 函数的应用
（建议用时：
60分钟）
[合格基础练]
一、选择题
1．某厂日产手套的总成本y（元）与日产量x（双）之间的关系为y＝5x＋40000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套（ ）
A．2000双 B．4000双
C．6000双D．8000双
D [由5x＋40000≤10x，得x≥8000，即日产手套至少8000双才不亏本．]
2．甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点．丁车最后到达终点．若甲、乙两车的图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的是（ ）
A．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域
B．丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域
C．丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域
D．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域
A [由图像，可得相同时间内丙车行驶路程最远，丁车行驶路程最近，即丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域，故选A.]
3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：
y＝
其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为（ ）
A．15B．40
C．25D．130
C [令y＝60.
若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．
故拟录用25人．]
4．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率
由原来的r%增加到（r＋10）%，则r的值等于（ ）
A．12B．15
C．25D．50
B [设原销售价为a，原进价为x，可以列出方程组：
解这个方程组，消去a，x，可得r＝15.]
5．一个人以6m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25m时，交通灯由红变绿，汽车以1m/s2的加速度匀加速开走，那么（ ）
A．此人可在7s内追上汽车
B．此人可在10s内追上汽车
C．此人追不上汽车，其间距最少为5m
D．此人追不上汽车，其间距最少为7m
D [设汽车经过ts行驶的路程为sm，则s＝
t2，车与人的间距d＝（s＋25）－6t＝
t2－6t＋25＝
（t－6）2＋7.当t＝6时，d取得最小值7.]
二、填空题
6．经市场调查，某商品的日销售量（单位：
件）和价格（单位：
元/件）均为时间t（单位：
天）的函数．日销售量为f（t）＝2t＋100，价格为g（t）＝t＋4，则该种商品的日销售额S（单位：
元）与时间t的函数解析式为S（t）＝________.
2t2＋108t＋400，t∈N [日销售额＝日销售量×价格，故S＝f（t）×g（t）＝（2t＋100）×（t＋4）＝2t2＋108t＋400，t∈N.]
7．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________cm2.
2
[设一个三角形的边长为xcm，则另一个三角形的边长为（4－x）cm，两个三角形的面积和为S＝
x2＋
（4－x）2＝
（x－2）2＋2
≥2
，
这两个正三角形面积之和的最小值是2
cm2.]
8．国家规定个人稿费纳税办法为：
不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11.2%纳税．某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为________元．
3800 [若这个人的稿费为4000元时，应纳税（4000－800）×14%＝448（元）．
又∵420＜448，∴此人的稿费应在800到4000之间，设为x，∴（x－800）×14%＝420，解得x＝3800元．]
三、解答题
9．某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游．甲旅行社说：
“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”．乙旅行社说：
“包括校长在内，全部按票价的6折（即按全票价的60%收费）优惠”．若全票价为240元．
（1）设学生数为x人，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费y甲，y乙与学生数x之间的解析式；
（2）当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？
（3）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠？
[解]
（1）y甲＝120x＋240（x∈N＋），
y乙＝（x＋1）×240×60%＝144（x＋1）（x∈N＋）．
（2）由120x＋240＝144x＋144，解得x＝4，即当学生数为4人时，两家旅行社的收费一样．
（3）当x<4时，乙旅行社更优惠；当x>4时，甲旅行社更优惠．
10．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40cm与60cm，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？
并求出此时残料的面积．
[解] 设直角三角形为△ABC，AC＝40，BC＝60，矩形为CDEF，如图所示，设CD＝x，CF＝y，则由Rt△AFE∽Rt△EDB得
＝
，即
＝
，解得y＝40－
x，
记剩下的残料面积为S，则
S＝
×60×40－xy＝
x2－40x＋1200＝
（x－30）2＋600（0＜x＜60），
故当x＝30时，Smin＝600，此时y＝20，
所以当x＝30，y＝20时，剩下的残料面积最小为600cm2.
[等级过关练]
1．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：
一种是即时价格曲线y＝f（x），另一种是平均价格曲线y＝g（x），如f
（2）＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g
（2）＝3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图象，实线表示y＝f（x），虚线表示y＝g（x），其中可能正确的是（ ）
C [根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图象可能正确．]
2．一个体户有一批货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%.如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元．这位个体户为获利最大，则这批货（ ）
A．月初售出好B．月末售出好
C．月初或月末售出一样D．由成本费的大小确定
D [设这批货物成本费为x元，若月初售出时，到月末共获利为100＋（x＋100）×2.4%；
若月末售出时，可获利为120－5＝115（元）．
可得100＋（x＋100）×2.4%－115＝2.4%×（x－525）．
∴当成本费大于525元时，月初售出好；当成本费小于525元时，月末售出好；当成本费等于525元时，月初或月末售出均可．]
3．已知直角梯形ABCD，如图
（1）所示，动点P从点B出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f（x）．如果函数y＝f（x）的图象如图
（2）所示，则△ABC的面积为________．
（1）
（2）
16 [由题中图象可知BC＝4，CD＝5，DA＝5，
所以AB＝5＋
＝5＋3＝8.
所以S△ABC＝
×8×4＝16.]
4．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝13，BC＝3，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且AE＝AH＝CG＝CF＝x，则x＝________时，四边形EFGH的面积最大，最大面积为________．
3 30 [设四边形EFGH的面积为S，则
S＝13×3－2
＝－2x2＋16x＝－2（x－4）2＋32，x∈（0,3]．
因为S＝－2（x－4）2＋32在（0,3]上是增函数，
所以当x＝3时，S有最大值为30.]
5．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：
讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生接受概念的能力（f（x）的值愈大，表示接受的能力愈强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：
分），可有以下的公式
f（x）＝
（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？
能维持多长时间？
（2）开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
[解]
（1）当0由f（x）的图象（图略）可知，当x＝10时，f（x）max＝f（10）＝59；
当10当16因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟．
（2）∵f（5）＝－0.1×（5－13）2＋59.9＝53.5，
f（20）＝－3×20＋107＝47<53.5，
∴开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强.
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