二元一次方程组导学案.docx
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二元一次方程组导学案
8.1二元一次方程组
主备人：
审核人：
__________授课人：
__________授课时间：
__________
一、学习内容：
教材课题二元一次方程组P 87-90
二、学习目标：
1、认识二元一次方程和二元一次方程组；
2、了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解.
三、自学探究
1、例题：
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？
思考：
这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？
设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？
由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：
胜的场数＋负的场数＝总场数，
胜场积分＋负场积分＝总积分.
这两个条件可以用方程，表示.
观察上面两个方程可看出，每个方程都含有未知数（x和y），并且未知数的都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.（P93）
把两个方程合在一起，写成
x＋y＝22①
2x＋y＝40②
像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.（P94）
2、探究讨论：
x
y
满足方程①，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？
把它们填入表中.
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
思考：
上表中哪对x、y的值还满足方程②
x=18
y=4
既满足方程①，又满足方程②，也就是说它们是方程①与方程②的公共解。
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
四、自我检测
1、教材P89练习
2、已知方程：
①2x+
=3；②5xy-1=0；③x2+y=2；④3x-y+z=0；⑤2x-y=3；⑥x+3=5，
其中是二元一次方程的有______．（填序号即可）
3、下列各对数值中是二元一次方程x＋2y=2的解是（）
A
B
C
D
变式：
其中是二元一次方程组
解是（）
五、学习小结：
本节课学习了哪些内容？
你有哪些收获？
（什么叫二元一次方程？
什么叫二元一次方程组？
什么叫二元一次方程组的解？
）
六、反馈检测
1、 方程（a＋2）x+（b-1）y=3是二元一次方程，试求a、b的取值范围.
2、若方程
是二元一次方程.求m、n的值
3、 已知下列三对值：
x＝－6 x＝10 x＝10
y＝－9 y＝－6 y＝－1
（1）哪几对数值使方程
x－y＝6的左、右两边的值相等？
x－y＝6
2x＋31y＝－11
（2）哪几对数值是方程组 的解？
4、 求二元一次方程3x＋2y＝19的正整数解.
8.2消元----二元一次方程组的解法
（一）
主备人：
审核人：
__________授课人：
__________授课时间：
__________
一、学习内容：
教材课题 P91-92消元----二元一次方程组的解法
二、学习目标：
1．会用代入法解二元一次方程组.
2．初步体会解二元一次方程组的基本思想――“消元”.
3．通过研究解决问题的方法，培养合作交流意识与探究精神
三、自学探究
1、复习提问：
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？
如果只设一个末知数：
胜x场，负（22－x）场，列方程为：
，解得x=.
在上节课中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组，设胜的场数是x，负的场数是y， x＋y＝22
2x＋y＝40
那么怎样求解二元一次方程组呢？
2、思考：
上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？
可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y＝22写成y＝22－x，将第2个方程2x＋y＝40的y换为22－x，这个方程就化为一元一次方程
.
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想.
3、归纳：
上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
例1 用代入法解方程组 x－y＝3 ①
3x－8y＝14 ②
解后反思：
（1）选择哪个方程代人另一方程？
其目的是什么？
（2）为什么能代？
（3）只求出一个未知数的值，方程组解完了吗？
（4）把已求出的未知数的值，代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便？
（5）怎样知道你运算的结果是否正确呢？
（与解一元一次方程一样，需检验．其方法是将求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是否相等．检验可以口算，也可以在草稿纸上验算）
四、自我检测
教材P98练习1、2
五、学习小结
用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.
（2）把
（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.
（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.
（4）把所求得的一个未知数的值代入
（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.
六、反馈检测
1.已知方程x－2y＝8，用含x的式子表示y，则y=_________________，用含y的式子表示x，则x=________________
2．解方程组
把①代入②可得_______
3.若x、y互为相反数，且x＋3y＝4，,3x－2y＝_____________.
4．解方程组y=3x－14x－y=5
2x＋4y=243（x－1）=2y－3
5.已知
是方程组
的解.求
、
的值.
8.2消元----二元一次方程组的解法
（二）
主备人：
审核人：
__________授课人：
__________授课时间：
__________
一、学习内容：
教材课题 P92-93
二、学习目标：
1、熟练地掌握用代人法解二元一次方程组；
2、进一步理解代人消元法所体现出的化归意识；
3、体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．
三、自学探究：
1、复习旧知：
解方程组
2、结合你的解答，回顾用代人消元法解方程组的一般步骤
3、探究思考
例：
根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2：
5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？
解：
设这些消毒液应分装x大瓶和y小瓶，则（列出方程组为）：
思考讨论：
问题1：
此方程与我们前面遇到的二元一次方程组有什么区别？
问题2：
能用代入法来解吗？
问题3：
选择哪个方程进行变形？
消去哪个未知数？
写出解方程组过程：
质疑：
解这个方程组时，可以先消去X吗？
试一试。
反思：
（1）如何用代入法处理两个未知数系数的绝对值均不为1的二元一次方程组？
（2）列二元一次方程组解应用题的关键是：
找出两个等量关系。
（3）列二元一次方程组解应用题的一般步骤分为：
审、设、列、解、检、答．
四、自我检测：
1、用代入法解下列方程组．
（1）
（2）
（有简单方法！
）
2、教材P933、4
五、学习小结：
1、这节课你学到了哪些知识和方法？
比如：
①对于用代入法解未知数系数的绝对值不是1的二元一次方程组，解题时，应选择未知数的系数绝对值比较小的一个方程进行变形，这样可使运算简便．②列方程解应用题的方法与步骤．③整体代入法等．
2、你还有什么问题或想法需要和大家交流？
六、反馈检测：
1、将二元一次方程5x＋2y=3化成用含有x的式子表示y的形式是y=；化成用含有y的式子表示x的形式是x=。
2、已知方程组：
指出下列方法中比较简捷的解法是（）
A.利用①，用含x的式子表示y，再代入②；
B利用①，用含y的式子表示x，再代入②；
C.利用②，用含x的式子表示y,再代入①；
D.利用②，用含x的式子表示x，再代人①;
3、用代入法解方程组：
（1）
（2）
4、若|2x-y+1|+|x+2y-5|=0，则x= ，y=
8.2消元----二元一次方程组的解法（三）
主备人：
审核人：
__________授课人：
__________授课时间：
__________
一、学习内容：
教材课题 P94-95加减消元
二、学习目标：
1、掌握用加减法解二元一次方程组；
2、理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法；
3、体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立信心．
三、自学探究：
1、复习旧知
①②
解方程组
有没有其它方法来解呢？
2、思考：
这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？
利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
两个方程中未知数y的系数相同，②－①可消去未知数y，得-=40-22即x=18,把x=18代入①得y=4。
另外，由①－②也能消去未知数y，得-=22-40即-x=-18,x=18,把x=18代入①得y=4.
①②
3、探究想一想：
联系上面的解法，想一想应怎样解方程组
这两个方程中未知数y的系数，因此由①＋②可消去未知数y，从而求出未知数x的值。
4、归纳：
加减消元法的概念
从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相加或者相减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
5、拓展应用：
①②
用加减法解方程组
分析：
这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。
②×2,得10x-12y=66④
这时候y的系数互为相反数，③＋④就可以消去y，
思考：
用加减法消去x应如何解？
解得结果与上面一样吗？
四、自我检测：
教材p96练习1
（1）、
（2）、（3）、（4）
五、学习小结：
用加减法解二元一次方程组的基本思想是什么？
这种方法的适用条件是什么？
步骤又是怎样的？
六、反馈检测：
1．用加减法解下列方程组
较简便的消元方法是:
将两个方程_______，消去未知数_______．毛
①②
2．已知方程组
，，用加减法消x的方法是__________；用加减法消y的方法是________．
3．用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数较简单，写出消元的过程．
（1）
（2）
4、解方程组
5、已知（3x+2y－5）2与│5x+3y－8│互为相反数，则x=______，y=________．
6、（选做题）
8.2消元----二元一次方程组的解法（四）
主备人：
审核人：
__________授课人：
__________授课时间：
__________
一、学习内容：
教材课题 P95-96
二、学习目标：
1、熟练掌握加减消元法；
2、能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组，
3、通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型的重要性。
三、自学探究：
1、复习旧知：
解二元一次方程组有哪几种方法？
它们的实质是什么？
代入、加减
2、选择最合适的解法解下列方程
（1）
（2）
（3）
3、探究新知
教材p101例42台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3．6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，问：
1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？
问题1．列二元一次方程组解应用题的关键是什么？
（找出两个等量关系）
问题2.你能找出本题的等量关系吗？
2台大收割机2小时的工作量＋5台小收割机2小时的工作量=3.6
3台大收割机5小时的工作量＋2台小收割机5小时的工作量=8
问题3.怎么表示2台大收割机2小时的工作量呢？
设1台大收割机1小时收割小麦x公顷，则
2台大收割机1小时收割小麦＿公顷，
2台大收割机2小时收割小麦＿公顷．
现在你能列出方程了吗？
并解出方程。
4、上面解方程组的过程可以用下面的框图表示
四、自我检测：
教材p97练习2、3
五、学习小结：
1、先分析方程特点，选择最适合的方法来解方程
2、这节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程,体会到方程组是刻画现实世界的有效模型,从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能
六、反馈检测：
1、解方程组
3、王大伯承包了25亩土地,今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜,用去了
44000元,其中种茄子每亩用了1700元,获纯利2400元,种西红柿每亩用了1800元,获纯利2600元,问王大伯一共获纯利多少元?
4、一旅游者从下午2时步行到晚上7时,他先走平路,然后登山,到山顶后又沿原路下山回到出发点,已知他走平路时每小时走4千米,爬山时每小时走3千米,下坡时每小时走6千米,问旅游者一共走了多少路?
8.3实际问题与二元一次方程组
（一）
主备人：
审核人：
__________授课人：
__________授课时间：
__________
一、学习内容：
教材课题 P99
二、学习目标：
1、会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用
2、通过应用题进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性
3、体会列方程组比列一元一次方程容易
三、自学探究：
1、复习旧知：
列方程解应用题的步骤是什么？
审题、设未知数、列方程、解方程、检验并答
2、探究：
课本105页探究1
养牛场原有30只大牛和15只小牛，一天约需用饲料675kg;一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时一天约需用饲料940kg.饲养员李大叔估计平均每只大牛1天约需用饲料18～20kg,每只小牛1天约需用饲料7～8kg.你能否通过计算检验他的估计？
问题：
1）题中有哪些已知量？
哪些未知量？
2）题中等量关系有哪些？
3）如何解这个应用题？
本题的等量关系是：
解：
设平均每只大牛和每只小牛1天各需用饲料为xkg和ykg
根据题意列方程组，得
解这个方程组得
每只大牛和每只小牛1天各需用饲料为＿＿＿和＿＿＿，饲料员李大叔估计每天大牛需用饲料18—20千克，每只小牛一天需用7到8千克与计算有一定的出入
列方程组
3、归纳：
四、自我检测：
教村p101习题1、2、3
五、学习小结：
通过这节课的学习，你知道用方程组解决实际问题有哪些步骤？
①设未知数．
②找相等关系．
③列方程组．
④检验并作答．
六、反馈检测
1、班上有男女同学32人，女生人数的一半比男生总数少10人，若设男生人数为x人，女生人数为y人，则可列方程组为
2、甲乙两数的和为10，其差为2，若设甲数为x，乙数为y，则可列方程组为
3、《一千零一夜》中有这样一段文字：
有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：
“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的1/3；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
4、某运输队送一批货物，计划20天完成，实际每天多运送5吨，结果不但提前2天完成任务并多运了10吨，求这批货物有多少吨？
原计划每天运输多少吨？
8.3实际问题与二元一次方程组
（二）
主备人：
审核人：
__________授课人：
__________授课时间：
__________
一、学习内容：
教材课题 P99-100
二、学习目标：
1、经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型；
2、能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组；
3、学会开放性地寻求设计方案，培养分析
三、自学探究
1、复习旧知
1）长方形的面积公式？
当宽相同时，面积比等于-------------，
当长相同时，面积比等于---------------
2）回顾列方程解决实际问题的基本思路？
2、探究：
教材p106探究2：
根据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积的产量比是1∶1.5，现在要在一块长为200m，宽100m的长方形的土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量比为3∶4（结果取整数）？
思考：
1、“甲、乙两种作物的单位面积产量比是1：
1.5”是什么意思？
2、“甲、乙两种作物的总产量比为3：
4”是什么意思？
4、本题中有哪些等量关系？
解设_____________________________________________，
列方程组：
解这个方程组，得
答：
四、自我检测
教材p1024、5
五、学习小结：
通过本节课的讨论，你对用方程解决实际的方法又有何新的认识？
六、反馈检测
1、若两个数的和是187,这两个数的比是6:
5,则这两个数分别是___________.
2、木工厂有28人，2个工人一天可以加工3张桌子，3个工人一天可加工10只椅子，现在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与4只椅子配套？
3、一外圆凳由一个凳面和三条腿组成，如果1立方米木材可制作300条腿或制作凳面50个，现有9立方米的木材，为充分利用材料，请你设计一下，用多少木材做凳面，用多少木材做凳腿，最多能生产多少张圆凳？
4、某中学组织七年级同学到长城春游,原计划租用45座客车若干辆,但有15人没有座位;如果租用60座客车,则多出1辆,且其余客车恰好坐满,已知45座客车日租金为每辆220元,60座客车日租金为每辆300元,试问:
（1）七年级人数是多少?
原计划租用45座客车多少辆?
（2）要使每个同学都有座位,怎样租车更合算?
8.3实际问题与二元一次方程组（三）
主备人：
审核人：
__________授课人：
__________授课时间：
__________
一、学习内容：
教材课题 P100-101
二、学习目标：
1、进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型；
2、会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组；
3、培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值
三、自学探究
1、小试牛刀：
最近几年，全国各地普遍出现了夏季用电紧张的局面，为疏导电价矛盾，促进居民节约用电、合理用电，各地出台了峰谷电价试点方案．
电力行业中峰谷的含义是用山峰和山谷来形象地比喻用电负荷特性的变化幅度一般白天的用电比较集中、用电功率比较大，而夜里人们休息时用电比较小，所以通常白天的用电称为是高峰用电，即8:
00～22:
00，深夜的用电是低谷用电即22:
00～次日8:
00.若某地的高峰电价为每千瓦时0.56元；低谷电价为每千瓦时0．28元．八月份小彬家的总用电量为125千瓦时，总电费为49元，你知道他家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗？
2、探究：
教材100页：
探究3：
如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地。
公路运价为1.5元/（吨·千米）,铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元。
这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
设问1.如何设未知数？
销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此设产品重x吨，原料重y吨．
设问2.如何确定题中数量关系？
列表分析
产品x吨
原料y吨
合计
公路运费（元）
铁路运费（元）
价值（元）
由上表可列方程组
解这个方程组，得
毛利润=销售款－原料费－运输费
因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多________________元．
四、自我检测教材p1026、8、9
五、学习小结：
六、反馈检测
1、一批蔬菜要运往某批发市场，菜农准备租用汽车公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的记录如下表所示．
甲种货车（辆）
乙种货车（辆）
总量（吨）
第1次
4
5
28.5
第2次
3
6
27
这批蔬菜需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完，如果每吨付20元运费，问：
菜农应付运费多少元？
2、某公园的门票价格如下表所示：
购票人数
1人～50人
51～100人
100人以上
票价
10元/人
8元/人
5元/人
某校八年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行游园联欢活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人。
如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共只要付515元。
问：
甲、乙两个班分别有多少人？
3、甲运输公司决定分别运给A市苹果10吨、B市苹果8吨，但现在仅有12吨苹果，还需从乙运输公司调运6吨，经协商，从甲运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为50元和30元，从乙运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为80元和40元，要求总运费为840元，问如何进行调运？
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