仁华图形分割题目9.pdf
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1、在梯形ABCD中ADBC,AB=AD=DC=1/2BC,试将这个梯形分成形状大小完全相同的四个四边形。
【分析】AB=AD=DC=1/2BC这个条件说明其实梯形ABCD就是正六边形的一半，正六边形跟正三角形一样都可以进行三角形网格分割，如右图，分成了12个小正三角形后再3个一组拼成等腰梯形就不难了。
有了这两道题的铺垫，我们看一道稍难一点的题：
2、将正三角形分成面积相等4部分，有三个全等的等腰梯形，请画出2种方案。
【分析】图一分成了3个梯形和一个正三角形，也是一种网格化，小正三角形的边长是大正三角形边长的一半，之后就容易构造了；图二分成了4个梯形，是基于仁华考题正三角形分成3个等腰梯形的灵感，难度在于面积相等的构造。
再看如下一系列的题，作为思考题，答案下期公布（提示：
网格化哦）思考题：
将上底4，下底8，高4的等腰梯形进行分割：
1）分成4个直角三角形；2）分成三个三角形，使它们的面积的比是1：
2：
3；3）分成两个等腰梯形，两个等腰直角三角形；4）分成一个等腰梯形，五个等腰三角形；5）分成5个等腰三角形；有的图形分割问题还离不开等积变形的知识，还记得一道经典的杯赛题吗？
3、过三角形边上一点做一条直线，平分三角形面积。
我上课时会讲这道题的两个加强版：
1）过三角形边上一点做2条直线，3等分三角形面积；2）过正n边形边上一点做一条直线，平分正n边形面积。
DABCEABCPDDABC【分析】不妨设P点在BC上，取BC中点D，连AP，过D作DE平行AP交AC于E，连PE，则PE为所求。
此题证明起来并不困难，正是用等积变形的知识，AP和DE平行，所以ADE面积等于PDE的面积，那么PCE的面积等于ADC的面积等于ABC面积的一半。
只要理解的这种方法的精髓，那么那两个所谓的加强版也不是很强了，自己动手试试。
4、将长方形分割成两个全等的直角梯形和两个全等的三角形（每个图形面积一样）加强：
将长方形分割成两个全等的等腰梯形和两个全等的三角形（每个图形面积一样）【分析】这类问题不是很困难，因为突破口比较明显，容易上手。
要求面积都相等，那自然每块面积是整个的四分之一，图一是最容易想到的，把长方形的一半分成两个直角三角形，另一半分成两个直角梯形，但此方法解决不了加强版，由仁华考题可知，想构造出两个等腰梯形必须有两条平行线但不能有直角。
那么先找到两条长边的中点，这样，四分之一的面积和平行线就都构造出来了，如果想要直角梯形，就过中心作两条平行线的垂线；如果想要等腰梯形，就如图三，先作一个等腰三角形，再过中心作腰的平行线。
日本奥赛也曾考过这种构造类几何问题：
5、把一个三角形分成三部分，再拼成一个长方形（或菱形）【分析】这道题又是看起来很难，不知如何下手构造。
但如果分两步构造，第一步：
三角形分成两部分拼成一个平行四边形；第二步，平行四边形分成两部分拼成一个长方形或菱形。
那么每一步就不是很难了。
如图，取AB和AC中点D，E，连DE，那么ADE绕E点旋转180至CFE，那么四边形BDFC是一个平行四边形，这样第一步就完成了；过D作DH垂直BC，将BDH平移至CFG，那么四边形DHGF就是长方形（构造菱形需要一个条件：
中线大于某一边，图中是BEBC，在DE上找点M使BM=BC，将BDM平移至CFN，那么四边形BMNC就是菱形）FDECBAFDECBAGHMFDECBAN这道题的构造需要三角形中线和中位线的知识，这对中国小学生来说有点难，但日本小学就已经开始学我们初中的平面几何知识了，这是典型的中位线性质和倍长中线构造全等和平行四边形的知识，培养良好的逻辑思维和严谨的推理是学好几何的关键。
6、（2004年第2届走美杯团体决赛第15题）请将给定的正方形划分成8部分，每部分都是锐角三角形.【分析】正方形内的点，如果发出少于等于4条线，四个角之和为360，由抽屉原理，至少有一个角大于等于90则不是锐角。
所以正方形内的点至少发出5条线，同理，正方形边上的点至少发出2条线，正方形顶点至少发出1条线，那正方形内只能有2个点（若只有1个点，边上的点发不出2条线；若有3个点，分出多于8个三角形），边上有2个点，左图为把一个正方形分割成8个锐角三角形的方法，其中点G及H要在右图的黄色区域内。
走美六年级的决赛题，其背景也是初中的知识：
以三角形ABC一边AB为直径作圆，如果另一点C在圆内，则角ACB是钝角；如果另一点C在圆上，则角ACB是直角；如果另一点C在圆外，则角ACB是锐角。
7、思考题：
如何把直角梯形ADBC,角ABC=90度分割成与原梯形相似并全等的四个小梯形1）AB=AD=1/2BC；2）BC=CD=2AD；ADBCDBCA
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