初二几何拉分题4套含答案Word格式.docx

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2．已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC于点E，F为BC边的中点，过F作FG⊥DC于点G，求证：

DG＝EG．

3．如图所示，设BP、CQ是△ABC的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线．求证：

KH∥BC．

4．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE为AC边的中线，且∠CBE＝30°

，求证：

AD＝BE．

5．如图所示，已知AO是△ABC中∠A的平分线，BD⊥AO的延长线于点D，E是BC的中点，求证：

DE＝

（AB－AC）．

6．如图所示，在任意五边形ABCDE中，M、N、P、Q分别为AB、CD、BC、DE的中点，K、L分别为MN、PQ的中点．求证：

KL∥AE，且KL＝

AE．

第三套

1．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝20°

，D是AB上一点，∠BDC＝30°

AD＝BC．

2．如图所示，在Rt△ABC中，CM是斜边AB上的中线，MN⊥AB，∠ACB的平分线CN交MN于N，求证：

CM＝MN．

3．如图所示，以正方形ABCD的边AD为边向外作等边三角形ADE，F为DE的中点，AF与BE交于M，求证：

DM＝

BD．

4．已知一个直角三角形中，三条边皆为整数，一条直角边的长为1997，那么另一条直角边的长为多少？

5．如图所示，△ABC三边的边长分别是BC＝17，CA＝18，AB＝19．过△ABC内的点P向△ABC的三条边分别作垂线PD、PE、PF（D、E、F为垂足），且BD＋CE＋AF＝27．求BD＋BF的长．

6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，点P是BC边上的任意一点，求证：

PA2＋PB·

PC是定值．

第四套

1．如图所示，在△ABC中，AC＝BC＝5，∠ACB＝80°

，O为△ABC内一点，∠OBA＝10°

，∠OAB＝30°

．求BO的长．

2．如图所示，设点P为△ABC内一点，∠PBA＝10°

，∠PCB＝30°

，∠BAP＝20°

，∠CBP＝40°

△ABC是等腰三角形．

［提示：

外心（外接圆的圆心）定理：

三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心．］

3．如图所示，请求证：

在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行．

4．任意剪六个圆形纸片放在桌面上，使得没有一个纸片的中心落在另一纸片上或被另一纸片盖住，然后用一枚针去扎这一堆纸片．证明：

不论针尖落在哪一点，总不能一次把六个纸片全部扎中．

5．请求证：

若梯形两底的和等于一腰，则这腰同两底所夹的两角的平分线必过对腰的中点．

答案

1．BE＝CF＝

EF．提示：

因为BD是角平分线，所以∠EBD＝∠DBC＝

∠ABC；

因为EF∥BC，所以∠EDB＝∠DBC，所以∠EBD＝∠EDB，所以EB＝ED．同理，FC＝DF．又因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，所以∠EBD＝∠EDB＝∠FCD＝∠FDC＝

∠ABC＝

∠ACB，所以∠DBC＝∠DCB＝

∠ACB．因为∠DBC＝∠DCB，所以BD＝DC．在△EBD和△FCD中，∠EBD＝∠FCD，BD＝DC，∠EDB＝∠FDC，所以△EBD≌△FCD，所以DE＝DF＝

EF，因此BE＝CF＝

EF．

2．等腰三角形．提示：

（1）在等腰直角三角形ABC中，∠CAB＝∠ABC＝45°

，因为BF∥AC，所以∠CBF＝90°

，所以∠BDE＝∠DFB＝45°

，所以BF＝BD，因此△ACD≌△CBF（SAS），可得∠CDA＝∠BFC，所以AD⊥CF．

（2）因为AB垂直平分DF，所以AD＝AF；

又因为AD＝CF，所以△ACF为等腰三角形．

3．提示：

作DE垂直于BA、交BA的延长线于点E，作DF垂直于BC、交BC于点F．因为BD平分∠ABC，所以DE＝DF；

又因为∠BAD与∠BCD互补，所以∠EAD＝∠DCB．所以△EAD≌△FCD（AAS），即AD＝CD．

4．提示：

在BD上取一点F，使得PE＝PF，连接CF．因为PG垂直平分BC，所以PB＝PC；

又因为PB＝PC，∠BPE＝∠CPF，PE＝PF，可得△PBE≌△PCF（SAS）．所以BE＝CF，∠PBE＝∠PCF．因为∠CDF＝∠A＋∠ABD＝2∠PBC＋∠PBE＝∠PBC＋∠PCB＋∠PCF＝∠PBC＋∠BCF＝∠CFD，所以CD＝CF，因此BE＝CD．

5．提示：

在AB上截取AF＝AC，连接DF．易证△ADF≌△ADC，所以FD＝CD，∠ADC＝∠ADF．因为∠ADC＝∠1＋∠B，∠BFD＝∠1＋∠ADF，所以∠BFD＞∠B，由此可得BD＞DF，所以BD＞DC．

6．AD－EF＝

MN．提示：

＝AD－EF，过点E作EG⊥AD交AD于点G，EQ⊥AB交AB于点Q，过点B作BP⊥MN．因为AB＝CB，∠NAB＝∠MCB，AN＝CM，所以△NAB≌△MCB，所以∠NBA＝∠MBC，BN＝BM．因为∠MBC＋∠ABM＝90°

，所以∠NBA＋∠ABM＝90°

，所以∠NBM＝90°

，△MBN为等腰直角三角形且BP⊥MN，BP＝

MN．因为△NPB为等腰直角三角形，所以∠PNB＝45°

；

因为EN平分∠DNM，所以EG＝EF，∠AGE＝∠AQE＝90°

因为∠ADB＝∠ABD＝45°

，所以△DGE与△BQE都为等腰直角三角形，DG＝EG＝EF，∠QEB＝45°

，所以AG＝AD－DG＝AD－EF，又因为∠GAQ＝90°

，四边形AGEQ为矩形，所以QE∥AG且QE＝AG＝AD－EF，∠GNE＝∠QEN，∠QEN＝∠ENF；

因为∠BNE＝∠ENF＋∠PNB，∠BEN＝∠QEN＋∠QEB，又因为∠PNB＝∠QEB＝45°

，所以∠BNE＝∠BEN，BN＝BE，所以△BEQ≌△NBP，EQ＝BP＝

MN，AD－EF＝

MN．

1．提示：

延长CE到点F，使CF＝2CE．在△AEC和△BEF中，CE＝EF，∠AEC＝∠BEF，AE＝EB，所以△AEC≌△BEF，可得BF＝AC＝AB＝BD，∠CAE＝∠FBE．因为∠CBD＝∠CAB＋∠ACB，∠CBF＝∠CBA＋∠ABF，∠ACB＝∠ABC，所以∠CBD＝∠CBF．在△CBF和△CBD中，BF＝BD，∠CBD＝∠CBF，CB＝CB，所以△CBF≌△CBD，可得CF＝CD，因此CD＝2CE．

2．提示：

作FQ⊥BD于点Q，由DE⊥AC可得∠DEC＝90°

，由FG⊥CD，CD⊥BD，得BD∥FG，∠BDC＝∠FGC＝90°

，因此QF∥CD，QF＝DG，∠B＝∠GFC．又因为F为BC边的中点，所以BF＝FC，易证△BQF≌△FGC，可得QF＝GC，则QF＝DG，DG＝GC．在Rt△DEC中，G为DC中点，所以DG＝EG．

延长AH交BC于N，延长AK交BC于M．因为BH平分∠ABC，可得∠ABH＝∠NBH．因为BH⊥AH，所以∠AHB＝∠NHB，可证△ABH≌△NBH（ASA），所以AH＝HN．同理可得AK＝KM，因此KH是△AMN的中位线，可得KH∥MN，即KH∥BC．

取DC的中点F，连接EF，则EF为△ADC的中位线，所以EF＝

AD且EF∥AD．因为AD⊥BC，所以EF⊥BC；

又因为∠CBE＝30°

，所以EF＝

BE，因此AD＝BE．

延长AC、BD交于点F，因为BD⊥AO，所以△ABD≌△AFD（ASA），则△ABF为等腰三角形且BD＝DF．又因为E为BC中点，所以ED是△BCF的中位线，因此DE＝

CF＝

（AF－AC）＝

6．提示：

连接BE，取其中点为R，再连接MR，连接PN、NQ、QR、RP．在△ABE中，因为M、R分别为AB、BE的中点，则MR＝

AE．又因为N、P、R、Q分别为各边上的中点，所以四边形PNQR为平行四边形，可得平行四边形的两条对角线RN、PQ互相平分．又因为L为PQ中点，所以L为RN的中点．在△MNR中，因为K、L分别为MN、RN的中点，所以KL∥MR，KL＝

MR，因此KL∥AE且KL＝

作AE⊥CD，垂足为E，作AF⊥BC，垂足为F．因为AB＝AC，故∠BAF＝

∠BAC＝10°

，又∠ACD＝∠BDC－∠DAC＝30°

－20°

＝10°

，从而∠BAF＝∠ACD，所以Rt△AFC≌Rt△CEA，CF＝AE，但是CF＝

BC，AE＝

AD，故BC＝AD．

作CH⊥AB，垂足为H，因为AC⊥BC，所以∠BCH＝∠A．因为CM是斜边AB上的中线，故CM＝AM，∠A＝∠ACM，所以∠BCH＝∠ACM．又因为CN是∠ACB的平分线，故∠ACN＝∠BCN，所以∠ACN－∠ACM＝∠BCN－∠BCH，即∠MCH＝∠HCN．因为MN⊥AB，CH⊥AB，所以MN∥CH，所以∠HCN＝∠N，∠MCN＝∠N，因此CM＝MN．

因为∠BAE＝90°

＋60°

＝150°

，且BA＝AD＝AE，所以∠ABE＝∠AEB＝

（180°

－150°

）＝15°

．因为F是等边三角形ADE边DE的中点，所以AF垂直平分DE，∠EAF＝30°

，所以∠DMF＝∠EMF＝∠EAM＋∠AEB＝30°

＋15°

＝45°

所以∠EMD＝45°

＋45°

＝90°

，故DM⊥BE．又因为∠DBM＝∠DBA－∠EBA＝30°

，所以DM＝

4．1994004．提示：

设斜边为y，另一条直角边为x，y2－x2＝19972，（y－x）×

（y＋x）＝19972（因为1997为质数所以只能拆成1和1997的平方，显然y＋x＞y－x，所以y－x＝1；

又因为y－x＝1，y＋x＝19972＝3988009，所以

5．18．提示：

设BD＝x，CE＝y，AF＝z，则DC＝17－x，AE＝18－y，FB＝19－z，连接PB、PC．在Rt△PBD和Rt△PFB中，有x2＋PD2＝（19－z）2＋PF2，同理有y2＋PE2＝（17－x）2＋PD2，z2＋PF2＝（19－y）2＋PE2．将以上三式相加，得到x2＋y2＋z2＝（17－x）2＋（18－y）2＋（19－z）2，即17x＋18y＋19z＝487，又因为x＋y＋z＝27，故x＝z－1．所以BD＋BF＝x＋（19－z）＝（z－1）＋（19－z）＝18．

作AD⊥BC于点D．在Rt△ADP中，由勾股定理得PA2＋PB·

PC＝PA2＋（BD＋DP）（DC－DP），又因为AB＝AC，所以BD＝CD，因此PA2＋PB·

PC＝PA2－DP2＋BD2＝AD2＋BD2＝AB2＝25．所以不论点P在BC上何处，PA2＋PB·

PC都是定值．

作∠CBO的角平分线BD交AO的延长线于点D，连接CD．因为∠OBA＝10°

，BD为∠CBO的角平分线，所以∠DBO＝∠DBC＝20°

，所以∠DAB＝∠DBO＋∠ABO＝30°

＝∠DBA，因此AD＝BD．在△ACD和△BCD中，AD＝BD，CD＝CD，AC＝BC，所以△ACD≌△BCD，所以∠ACD＝∠BCD＝

∠ACB＝40°

．因为∠BOD＝∠OAB＋∠OBA＝40°

，所以∠BOD＝∠BCD．在△BDC和△BDO中，∠BOD＝∠BCD，∠CBD＝∠OBD，BD＝BD，所以△BDC≌△BDO，所以BO＝BC＝5．

作AQ⊥BC，且AQ＝AB，连接QP、QB、QC，易知∠BAQ＝40°

，于是∠BAP＝∠QAP，所以△BAP≌△QAP，BP＝QP．又因为∠APB＝150°

＝∠APQ，所以∠BPQ＝60°

，△BPQ为正三角形．因为BQ＝PQ，∠PQB＝60°

＝2∠PCB，所以Q为△BPC的外心，于是BQ＝CQ，AQ垂直平分BC，所以AB＝AC，△ABC是等腰三角形．

3．提示（反证法）：

在同一平面内，假设AB不平行于CD，则AB与CD相交，设其交点为P．已知AB∥EF，CD∥EF，这就是说过P点有两条直线．AB和CD都平行于直线EF，显然，这与平行公理（欧氏几何）矛盾，因此假定AB不平行于CD是错误的．由此可知AB∥CD．

（该命题相当于，平面上有六个圆，每个圆心都在其余各圆的外部，证明平面上任意一点都不会同时在这六个圆内部．）

第4题

证明：

如图所示，设平面上有一点M，同时在六个圆心MO1，MO2，…，MO6上，则∠O1MO2＋∠O2MO3＋…＋∠O6MO1＝360°

．因此，至少有一个角不大于60°

，不妨设∠O1MO2≤60°

，∠1≤60°

，又∠1＋∠2＋∠3＝180°

，则∠2和∠3中必有一个不小于60°

，不妨设∠3≥60°

，则∠3≥∠1，所以O1O2≤O1M＜r1（r1为圆O1的半径）．故O2在圆O1内，这与题设矛盾，这就证明了点M不可能同时在六个圆的内部．

由于线段的中点是唯一的，而一个角的平分线也是唯一的．从而本题符合同一原理，故可用同一方法证明．

第5题

连接AE并延长，使之与BC的延长线交于F，则易证明△AED≌△FCE．所以BF＝BC＋CF＝BC＋AD＝AB，所以∠2＝∠5，而∠1＝∠5，所以∠1＝∠2．这就是说，AE是∠BAD的平分线．同理∠3＝∠4，即BE是∠ABC的平分线．

由于一条线段的中点是唯一的，一个角的平分线也是唯一的，所以∠DAB和∠ABC的平分线都过CD的中点E．故原命题得证．