11．A 由x－log2f（x）＝0，得f（x）＝2x，
∴F（x）＝2x－
＝2x－2－x.
∴F（－x）＝2－x－2x＝－F（x），∴F（x）为奇函数，易知F（x）＝2x－2－x在（－∞，＋∞）上是增函数．
12．D 由于f（x）为奇函数，且y＝x是奇函数，所以g（x）＝f（x）－x也应为奇函数，所以由函数g（x）＝f（x）－x的零点恰有两个，可得两零点必定分别在（－∞，0）和（0，＋∞）上，由此得到函数g（x）＝x2－2x＋a在（0，＋∞）上仅有一个零点，即函数y＝－（x－1）2＋1与直线y＝a在（0，＋∞）上仅有一个公共点，数形结合易知应为a≤0或a＝1，选D.
13．－3
解析：
∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}．
∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，∴m＝－3.
14．0或
解析：
由题意得m＝0或Δ＝4－12m＝0，即m＝0或m＝
.
15．②③
解析：
本题考查对数函数的性质．函数f（x）＝lnx满足ln（x1·x2）＝ln（x1）＋ln（x2）；由函数f（x）＝lnx是增函数，知
，即
>0成立．故②③正确．
16．①④
解析：
f（x）＝log0.5（
）；
∴x>0，即定义域为（0，＋∞）；
又∵f（x）＝log0.5（x＋
），定义域不关于原点对称，则f（x）为非奇非偶函数；
又∵x＋
≥2，∴log0.5（x＋
）≤log0.52＝－1.
∴值域为（－∞，－1]，②错；
又∵x＋
在（0,1）上为递减函数，
∴log0.5（x＋
）在（0,1）上为递增函数．
三、解答题（写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分）
17．（10分）设A＝{－3,4}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，B≠∅且B⊆A，求a，b.
（12分）已知f（x）是R上的奇函数，且当x>0时，f（x）＝－x2＋2x＋2.
（1）求f（x）的表达式；
（2）画出f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间．
答案
17.解：
由B≠∅，B⊆A知B＝{－3}或{4}或B＝{－3,4}．
当B＝{－3}时，a＝－3，b＝9；
当B＝{4}时，a＝4，b＝16；
当B＝{－3,4}时，a＝
，b＝－12.
18．解：
（1）设x<0，则－x>0，
∴f（－x）＝－（－x）2－2x＋2＝－x2－2x＋2.
又∵f（x）为奇函数，
∴f（－x）＝－f（x）．∴f（x）＝x2＋2x－2.
又f（0）＝0，∴f（x）＝
（2）先画出y＝f（x）（x>0）的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f（x）（x<0）的图象，其图象如图所示．由图可知，其增区间为[－1,0）和（0,1]，减区间为（－∞，－1]和[1，＋∞）．
————————————————————————————
19．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2＋2x＋c（a≠0）的图象与y轴交于点（0,1），且满足f（－2＋x）＝f（－2－x）（x∈R）．
（1）求该二次函数的解析式及函数的零点；
（2）已知函数在（t－1，＋∞）上为增函数，求实数t的取值范围．
20.（12分）已知函数f（x）＝2x2＋2x＋a（－2≤x≤2）．
（1）写出函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）的最大值为64，求f（x）的最小值．
答案
19.解：
（1）因为二次函数为f（x）＝ax2＋2x＋c（a≠0）的图象与y轴交于点（0,1），故c＝1.①
又因为函数f（x）满足f（－2＋x）＝f（－2－x）（x∈R），故x＝－
＝－2.②
由①②得：
a＝
，c＝1.
故二次函数的解析式为：
f（x）＝
x2＋2x＋1.
由f（x）＝0，可得函数的零点为：
－2＋
，－2－
.
（2）因为函数在（t－1，＋∞）上为增函数，且函数图象的对称轴为x＝－2，由二次函数的图象可知：
t－1≥－2，故t≥－1.
20．解：
（1）f（x）＝2（x＋1）2＋a－1（－2≤x≤2），
∴在[－2，－1]上，f（x）为减函数；
在[－1,2]上，f（x）为增函数．
即f（x）的减区间是[－2，－1]，
f（x）的增区间是[－1,2]．
（2）设U（x）＝（x＋1）2＋a－1（－2≤x≤2），则U（x）的最大值为U
（2）＝8＋a，最小值为U（－1）＝a－1.故f（x）的最大值为f
（2）＝28＋a，最小值为f（－1）＝2a－1.
∵28＋a＝64，∴a＝－2.
∴f（x）的最小值为f（－1）＝2－2－1＝
.
————————————————————————————
21．（12分）已知函数f（x）＝loga
在区间[1,2]上恒为正，求实数a的取值范围．
22.（12分）定义在（0，＋∞）上的函数f（x），对于任意的m，n∈（0，＋∞），都有f（mn）＝f（m）＋f（n）成立，当x>1时，f（x）<0.
（1）求证：
1是函数f（x）的零点；
（2）求证：
f（x）是（0，＋∞）上的减函数；
（3）当f
（2）＝
时，解不等式f（ax＋4）>1.
答案
21.解：
当a>1时，y＝
x＋1是减函数，故
·2＋1>1，则a<
，矛盾．当0x＋1<1，设y＝
x＋1，分类讨论
－2的取值，得
.
22．解：
（1）证明：
对于任意的正实数m，n都有f（mn）＝f（m）＋f（n）成立，所以令m＝n＝1，则f
（1）＝2f
（1）．∴f
（1）＝0，即1是函数f（x）的零点．
（2）证明：
设0∴f（mn）－f（m）＝f（n）．
∴f（x2）－f（x1）＝f（
）．因0>1.
而当x>1时，f（x）<0，从而f（x2）所以f（x）在（0，＋∞）上是减函数．
（3）因为f（4）＝f
（2）＋f
（2）＝1，所以不等式f（ax＋4）>1可以转化为f（ax＋4）>f（4）．因为f（x）在（0，＋∞）上是减函数，所以0当a＝0时，解集为∅；
当a>0时，－4解集为{x|－
当a<0时，－4，
解集为{x|0}．
升级会员 