角的平分线的性质一等奖教案新人教版6.docx

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角的平分线的性质一等奖教案新人教版6

第十二章12.3角的平分线的性质

知识点1：

角平分线的作法 

平分一个角的方法有很多,如度量法、折叠法,实际上根据尺规作图也可以作出一个角的角平分线.

知识点2：

角平分线的性质 

角平分线上的点到角两边的距离相等.

关键提醒:

1. 性质中的“距离”是指“点到直线的距离”,因此在应用时需含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等.

2. 该性质可以直接证明线段相等,不用再证明三角形全等.

3. 使用该性质进行证明时,要注意条件“一个角

平分线,二个垂直”缺一不可.

知识点3：

角平分线的判定 

角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.

关键提醒:

它与角平分线的性质是互逆定理,在运用这两个定理的时候,一定要弄清楚题设和结论,切记不要搞错.

考点1：

利用角平分线条件求距离与角

【例1】如图,AD∥BC,∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点

P,作PE⊥AB于点E.若PE=2,则两平行线AD与BC间的距离为　　　　. 

答案:

4

点拨:

如图,过点P作PM⊥AD于点M,PN⊥BC于点N,则M、N、P三点共线.

∵　BP平分∠ABC,AP平分∠BAD,PE⊥AB于点E,

PM⊥AD于点M,PN⊥BC于点N,

∴　PN=PE=PM（角平分线上的点到角两

边的距离相等）.

∵　PE=2,∴　PM=P

N=2.

∴　MN=4.

考点2：

利用角平分线条件证明角或边相等

【例2】如图,在△ABC中,∠C=

90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF.求证:

（1）C

F=EB;

（2）∠CBA+∠AFD=

180°.

证明:

（1）∵AD是∠BAC的平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DC=DE.又∵DF=DB,∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）.∴CF=EB.

（2）由

（1）得∠DBE=∠DFC,而∠DFC+∠AFD=180°,

∴∠CBA+∠AFD=180°.

点拨：

欲证CF=EB,只需证△DCF≌△DEB.而这两个三角形都是直角三角形,已知BD=DF,还需要证明DC=DE,由角平分线的性质可证得结论.欲证两角互补,有两种方法:

其一是邻补角互补,其二是平行线的同旁内角互补.本题所证两角不符合上述条件,所以可通过证全等三角形来将∠CBA转化成∠AFD的邻补角∠CFD即可.

考点3：

利用

角平分线条件证明线段的和差

【例3】如图

（1）,已知AC

∥BD,AE、BE分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?

请说明理由.

（1）                   

（2）                 

解:

AB=AC+BD.理由如下:

如图

（2）,在AB上截取AF=AC,连接EF.

在△ACE和△AFE中,

∴△ACE≌△AF

E（SAS）.

⇒∠6=∠D.

在△EFB和△EDB中,

∴△EFB≌△EDB

（AAS）,∴FB=DB.∴AC+BD=AF+FB=AB.

点拨：

欲证线

段a=b+c,通常利用“截长补短”法,如本题的方法一,是在最长线段AB上“截取”AF=AC后,再证BF=BD;而本题的方法二,是在较短线段AC上“补接”CF,再证AB=AF,BD=FC.

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