认识三角形精品练习题.doc

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认识三角形

1、三角形的定义：

由3条不在同一直线上的线段，首尾依次相接组成的图形称为三形。

如右的图形就是一个三角形

2、三角形的各组成部分

3.三角形表示：

“△”来表示一个三角形，如上图中，此三角形可以表示为△ABC，或△ACB或△BAC等等。

4、三角形的分类

1）按角分

2）按边分

5.三角形三边性质：

三角形任意两边之和大于第三边；

两边之差<第三条边<两边之和

试一试：

1.△ABC中，已知a=8,b=5，则c为（）

A.c=3B.c=13C.c可以是任意正实数D.c可以是大于3小于13的任意数值

2.下列长度的4根木条中，能与4cm和9cm长的2根木条首尾依次相接围成一个三角形的是（　　　）

A、4cm B、9cm C、5cm D、13cm

3.有下列长度的三条线段能构成三角形的是（）

A.1cm、2cm、3cmB.1cm、4cm、2cm

C.2cm、3cm、4cmD.6cm、2cm、3cm

4、如图，以∠C为内角的三角形有和

在这两个三角形中，∠C的对边分别为和

5、等腰三角形的一边长为3㎝，另一边长是5㎝，则它的第三边长为

6、三角形的三边长为3，a，7，则a的取值范围是；如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是；

7一个三角形的两边长分别为2㎝和9㎝,第三边长是一个奇数,则第三边的长为___________,此三角形的周长为_________.

8一个等腰三角形的两边分别为2.5和5，求这个三角形的周长。

9、画一个三角形，使它的三条边长分别为3cm、4cm、6cm.

三条重要线段；

1、高的定义：

在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点与垂足之间的线段称为三角形的高。

注：

（1）三角形的高必为线段；

（2）三角形的高必过顶点垂直于对边；（3）三角形有三条高。

2、三角形的角平分线

1、定义：

在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段称为三角形的角平分线。

2、注：

（1）三角形的角平分线必为线段，而一个角的角平分线为一条射线；

（2）三角形的角平分线必过顶点平分三角形的一内角；

（3）三角形有三条角平分线。

三角形的三条角平分线相较于一点，这点叫做三角形的内心

3、三角形的中线

1、定义：

在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。

2、注1）三角形的中线必为线段；

2）三角形的中线必平分对边；

3）三角形有三条中线。

三角形的三条中线相较于一点，这点称为三角形的重心

重心定理:

三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

该点叫做三角形的重心。

外心定理:

三角形的三边的垂直平分线交于一点。

该点叫做三角形的外心。

垂心定理:

垂心：

三角形的三条高交于一点。

该点叫做三角形的垂心。

内心定理:

三角形的三内角平分线交于一点。

该点叫做三角形的内心。

旁心定理:

三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。

该点叫做三角形的旁心。

三角形有三个旁心。

三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。

它们都是三角形的重要相关点。

试一试：

1在△ABC中，AD是角平分线，BE是中线，∠BAD=400，

则∠CAD=，若AC=6cm，则AE=

2下列说法正确的是（）

A三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部

B直角三角形只有一条高

C三角形的三条至少有一条在三角形内

D钝角三角形的三条高均在三角形外

3．下列各图中的AD是△ABC的高吗？

若不是，画出正确图形。

4、在△ABC中，AD是角平分线，BE是中线，∠BAD=400，则

∠CAD=，若AC=6cm，则AE=

5、下列说法正确的是（）

A、三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部

（第4题图）

B、直角三角形只有一条高

C、三角形的三条至少有一条在三角形内

D、钝角三角形的三条高均在三角形外

6、的高为，角平分线为，中线为，则把面积分成相等的两部分的线段是。

7、如图,AD、CE分别是△ABC的中线和高.若∠B=35°,BC=12cm,则BD=cm,∠BCE=

8、如图,AD是△ABC的外角平分线,∠B=∠C=40°,则∠EAC=°,

9、∠DAC=°。

图中,直线AD与直线BC有怎样的位置关系?

答:

.你的根据是:

.

10．在△ABC，AD是角平分线，∠B=50°，∠C=70°，则∠ADC=。

11．说出图中的阴影线的各三角形的面积（每一小正方形的边长为一个长度单位）

12．在△ABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=50°，

BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点。

求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数。

三．例题精讲：

例1.一个等腰三角形的周长为28cm，有一边长为8cm，则这个三角形的边长是多少？

例2、如图，，，，

且平分，求的度数。

A

E

D

C

B

例3．如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠B=700，∠ACB=500，

求∠EDC，∠BDC的度数。

认识三角形同步练习

一、选择题

1．现有两根铁条，它们的长分别是30cm和50cm，如果要做成一个三角形铁架，那么在下列四根铁条中应选取（）

A．20cm的铁条；B．30cm的铁条；C．80cm的铁条；D．90cm的铁条．

2．以下列长度的线段为边，可以作一个三角形的是（）

A．5㎝、10㎝、15㎝；B．5㎝、10㎝、20㎝；

C．10㎝、15㎝、20㎝；D．5㎝、20㎝、25㎝．

3．已知三角形的三边长分别是3，8，x；若的值为偶数，则的值有（）

Ａ．6个；Ｂ．5个；Ｃ．4个；Ｄ．3个．

4.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形的形状是（）

Ａ．锐角三角形；Ｂ．直角三角形；Ｃ．钝角三角形；Ｄ．等腰三角形．

5.三角形的角平分线是（）

Ａ．射线；Ｂ．直线；Ｃ．线段；Ｄ．线段或射线．

二、填空题

6.等腰三角形的两条边长分别为3cm和4cm，则这个等腰三角形的周长为cm．

2．三角形的两边分别为4和5，第三边为，则的取值范围是_________．

3．在△ABC中，AB=9，BC=2，并且AC为奇数，那么△ABC的周长是_______．

4．△ABC中，∠A=∠B=∠C，则三个内角分别为___________．

5．一个三角形最多有__________个直角：

有________个锐角；有_________个钝角．

6．在△ABC中，∠A－∠B=15°，∠C=75°，则∠A=__________，∠B=__________．

7.如图，∠A＝80°，∠2＝130°，则∠1＝＿＿＿＿度

8.等腰三角形的两条边长分别为4cm和9cm，则第三边长为A

B

DEC

第9题图

9.已知，如图，已知AD、AE分别是△ABC的中线，高线，且AB＝5cm，AC＝3cm；则△ABD和△ADC的周长之差等于cm；△ABD与△ACD的面积关系是．

10.用一根长为15cm的细铁丝围成一个三角形，其三边的长（单位：

cm）分别为整数a、b、c，且a>b>c，

（1）请写出一组符合上述条件的a、b、c的值；

（2）a最大可取，c最小可取．

11.如图在△ABC中，，D是∠ACB与∠ABC的角平分线的交点，BD的延长线交AC于E，且∠EDC=50°，求∠A的度数.

12.如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，若∠DBC=45°，∠A=70°，求∠D，∠AED，∠BFE的度数．

全等三角形

一、课标要求（学习本章节需要达到的目的）

1、了解全等形及全等三角形的概念；

2、掌握全等三角形的性质，体会通过三角形的平移、翻折和旋转，图形变换的保形性

3、掌握一般三角形全等的四种判定方法和直角三角形全等的判定方法，会运用三角形全等解决日常生活中问题；

4、会画角平分线，了解角平分线的性质和判定方法

二、知识疏理

1、三角形全等的有关概念和性质

能够完全重合的两个图形叫做全等形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角

全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等

2、一般三角形全等的判定

（1）边角边公理（SAS）：

有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等

（2）角边角公理（ASA）：

有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

（3）角角边公理（AAS）：

有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

（4）边边边公理（SSS）：

有三边对应相等的两个三角形全等

3、直角三角形全等的特殊判定方法

斜边直角边公理（HL）：

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

注意：

判定直角三角形全等也可以用SAS,ASA,AAS,SSS。

4、角的平分线的定义、性质和判定定理

定义：

把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线

性质：

角平分线上的点到这个角两边的距离相等

判定：

到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上

三、典型例题解析

例1如图，,AB=DE,，

则的对应角为，

BC的对应边为。

例2如图，,且CF=3cm，,

则BC=cm,=.

例3下列说法错误的是（）

A.全等三角形对应边相等

B.全等三角形对应角相等

C.若两个三角形全等且有公共顶点，则公共顶点就是它们的对应顶点

D.若两个三角形全等，则对应边所对的角是对应角

例4在中，AB=AC,D是BC边上的中点，连接AD，

（1）求证：

;

（2）求证：

.

例5如图，在中，，AM平分,CM=20cm，

那么M到AB的距离是cm.

例6如图所示，已知AC平分,,求证：

AB=AD。

例7已知：

如图，在中，AB=BC,,F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF。

（1）求证：

AE=CF；

（2）若,求的度数。

四、实战演练（课堂练习）

1、下列判断不正确的是（）．

A．形状相同的图形是全等图形　 B．能够完全重合的两个三角形全等

C．全等图形的形状和大小都相同 D．全等三角形的对应角相等

2、如图：

若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（）

A．2 B．3

C．5 D．2.5

3、如图：

在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，则下列结论：

①△ABD≌△ACD，②∠B=∠C，③BD=CD，④AD⊥BC。

其中正确的个数有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4、如图：

AB=AD，AE平分∠BAD，则图中有（）对全等三角形。

A．2 B．3 C．4 D．5

5、工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：

如图在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（）

A．SSS B．SAS C．ASA D．HL

6、．如图，D是∠BAC的平分线上一点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，下列结论中不正确的是（　　）

A．DE=DF　　 B．AE=AF C．△ADE≌△ADF　　 D．AD=DE+DF

7、如图：

EA∥DF，AE=DF，要使△AEC≌△DBF，则只要（）

A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC

8、如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去

9、如图：

直线a，b，c表示三条相互交叉环湖而建的公路，现在建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10、如图：

△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6㎝，则△DEB的周长是（）

A．6㎝ B．4㎝

C．10㎝ D．以上都不对

二、填空题

11、如图：

AB=AC，BD=CD，若∠B=28°则∠C=；

13、已知，如图2：

∠ABC=∠DEF，AB=DE，要说明ΔABC≌ΔDEF。

若以“SAS”为依据，还要添加的条件为______________；

14、如图3：

要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为_____米。

15、如图：

在△ABC中，AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°，∠B=40°，则∠CAE=；

16、如图，在△ABC中，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠CED=_____．

（第16题）（第17题）

17、如图：

两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x=_______．

18、、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm,BD=6cm,则点D到AB的距离为_____。

19、如图：

AB，CD相交于点O，∠B=∠C=90°，请你补充一个条件，

使得△RtABD≌△RtCDB，你补充的条件是；

20、如图：

在△ABC中，∠B=∠C=50°，D是BC的中点，DE⊥AB，

DF⊥AC，则∠BAD=。

21、如图：

AC=DF，AD=BE，BC=EF。

求证：

∠C=∠F。

22、如图：

AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD。

求证：

BE⊥AC。

23、如图：

E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D。

求证：

（1）OC=OD，

（2）DF=CF。

24、如图：

在△ABC，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F。

求证：

AF平分∠BAC。

尺规作图专题

尺规作图的定义：

尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。

一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

五种基本作图：

1、作一条线段等于已知线段；

2、作一个角等于已知角；

3、作已知线段的垂直平分线；

4、作已知角的角平分线；

5、过一点作已知直线的垂线；

题目一：

作一条线段等于已知线段。

已知：

如图，线段a.

求作：

线段AB，使AB=a.

作法：

（1）作射线AP；

（2）在射线AP上截取AB=a.

则线段AB就是所求作的图形。

题目二：

作已知线段的中点。

已知：

如图，线段MN.

求作：

点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.

作法：

（１）分别以M、N为圆心，大于　　　

　的相同线段为半径画弧，

两弧相交于P，Q；

（２）连接PQ交MN于O．

则点O就是所求作的ＭＮ的中点。

（试问：

PQ与ＭＮ有何关系？

）

题目三：

作已知角的角平分线。

已知：

如图，∠AOB，

求作：

射线OP,使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。

作法：

（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，

分别交OA，OB于M，N；

（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于　　　

　的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；

（3）作射线OP。

则射线OP就是∠AOB的角平分线。

题目四：

作一个角等于已知角。

（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）

题目五：

已知三边作三角形。

已知：

如图，线段a，b，c.

求作：

△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a.

作法：

（1）作线段AB=c；

（2）以A为圆心b为半径作弧，

以B为圆心a为半径作弧与

前弧相交于C；

（3）连接AC，BC。

则△ABC就是所求作的三角形。

题目六：

已知两边及夹角作三角形。

已知：

如图，线段m，n,∠.

求作：

△ABC，使∠A=∠，AB=m，AC=n.

作法：

（1）作∠A=∠；

（2）在AB上截取AB=m,AC=n；

（3）连接BC。

则△ABC就是所求作的三角形。

题目七：

已知两角及夹边作三角形。

已知：

如图，∠，∠，线段m.

求作：

△ABC，使∠A=∠，∠B=∠,AB=m.

作法：

（1）作线段AB=m；

（2）在AB的同旁

作∠A=∠，作∠B=∠，

∠A与∠B的另一边相交于C。

则△ABC就是所求作的图形（三角形）。

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