完整版圆锥曲线经典中点弦问题docxWord文件下载.docx

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的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（

A．2

B．﹣2

C．

D．

6．已知椭圆

的一条弦所在直线方程是

x﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣

2，1），则椭圆的离心率是（

7．直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（

A．（

B．（﹣，）

C．（，﹣）

D．（﹣，）

8．以椭圆

内一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（

A．4x﹣3y﹣3=0

B．x﹣4y+3=0

C．4x+y﹣5=0

D．x+4y﹣5=0

二．填空题（共

9小题）

9．过椭圆

内一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是

_________

．

10．已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：

_________．

11．椭圆4x2+9y2=144内有一点

直线方程为_________．

P（3，2）过点

P的弦恰好以

P为中点，那么这弦所在直线的斜率为

，

12．椭圆4x2+9y2=144

内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为

13．过椭圆

=1

内一定点（1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为

_________．

14．设AB是椭圆

的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则kAB?

kOM=

15．以椭圆

内的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为

16．在椭圆

+=1内以点

P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为

17．直线y=x+2

三．解答题（共

被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是

13小题）

18．求以坐标轴为对称轴，一焦点为

且截直线

y=3x﹣2所得弦的中点的横坐标为

的椭圆方程．

19．已知

M（4，2）是直线

l被椭圆

x2+4y2=36所截的弦

AB

的中点，其直线

l的方程．

20．已知一直线与椭圆

4x2+9y2=36相交于

A、B

两点，弦

的中点坐标为

M（1，1），求直线

的方程．

21．已知椭圆，求以点P（2，﹣1）为中点的弦AB所在的直线方程．

22．已知椭圆与双曲线2x2﹣2y2=1共焦点，且过（）

（1）求椭圆的标准方程．

（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．

23．直线l：

x﹣2y﹣4=0与椭圆x2+my2=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P（2，﹣1）．

（1）求m的值；

（2）设椭圆的中心为O，求△AOB的面积．

24．AB是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：

kAB?

kOM为定值．

25．已知椭圆C：

+=1和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，

弦中点的轨迹方程．

26．已知椭圆．

（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；

（3）过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程．

27．已知椭圆．

（1）求过点且被点P平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过点A（2，1）引直线与椭圆交于B、C两点，求截得的弦BC中点的轨迹方程．

28．已知某椭圆的焦点是F（1

﹣4，0）、F（2

4，0），过点F2并垂直于

x轴的直线与椭圆的一个交点为

B，且|F1B|+|F2B|=10，

椭圆上不同的两点

A（x1

1

2

22

，y）、C（x

，y

）满足条件：

|FA|、|FB|、|FC|成等差数列．

（Ⅰ）求该椭圆的方程；

（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标．

29．（2010?

永春县一模）过椭圆内一点M（1，1）的弦AB．

（1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；

（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程．

30．已知椭圆C方程为，直线与椭圆C交于A、B两点，点，

（1）求弦AB中点M的轨迹方程；

（2）设直线PA、PB斜率分别为k1、k2，求证：

k1+k2为定值．

2014年1月panpan781104的高中数学组卷

参考答案与试题解析

考点：

椭圆的简单性质．

专题：

圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出．

解答：

解：

设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k．

则，，两式相减得，

又x1+x2=8，y1+y2=4，，

代入得，解得k=．

故选A．

点评：

熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”是解题的关键．

2．已知

A（1，2）为椭圆

直线的一般式方程．

计算题．

首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意与跟与系数的关系得到答案．

设直线的方程为

y﹣2=k（x﹣1），

联立直线与椭圆的方程代入可得：

（4+k2）x2

+2k（2﹣k）x+k

2﹣4k﹣12=0

因为A为椭圆的弦的中点，

所以

，解得k=﹣2，

所以直线的方程为2x+y﹣4=0．

故选D．

解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题．

3．AB是椭圆（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为

综合题．

设出弦AB所在的直线方程，与椭圆方程联立消去

y，根据韦达定理求得

x1+x2，的表达式，根据直线方程

求得y1+y2

的表达式，进而根据点

M为AB的中点，表示出

M的横坐标和纵坐标，求得直线

OM的斜率，

进而代入kAB?

kOM中求得结果．

设直线为：

y=kx+c

联立椭圆和直线消去y得

b2x2+a2（kx+c）2﹣a2b2=0，即（b2+k2a2）x2+2a2kcx+a2（c2﹣b2）=0

所以：

x1+x2=﹣

所以，M点的横坐标为：

Mx=（x1+x2）=﹣

又：

y1=kx1+c

y2=kx2+c

所以y1+y2=k（x1+x2）+2c=

所以，点M的纵坐标My=（y1+y2）=

Kom===﹣

kOM=k×

（﹣）=﹣=e2﹣1

本题主要考查了椭圆的应用．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便．

4．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点

A．3x+2y﹣12=0B．2x+3y﹣12=0

P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（

C．4x+9y﹣144=0D．9x+4y﹣144=0

直线与圆锥曲线的关系；

直线的一般式方程．

利用平方差法：

设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及

斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程．

设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=6，y1+y2=4，

把A、B

坐标代入椭圆方程得，

两式相减得，

4（

﹣

）+9（

﹣y22）=0，即

4（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0，

=﹣

=﹣，即

kAB=﹣

所以这弦所在直线方程为：

y﹣2=﹣（x﹣3），即2x+3y﹣12=0．

故选B．

本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握．

的弦中点（

4，2），则此弦所在直线的斜率是（

直线的斜率．

设此弦所在直线与椭圆相交于点

A（x1，y1），B（x2，y2）．利用中点坐标公式和

“点差法”即可得出．

设此弦所在直线与椭圆相交于点

A（x1，y1），B（x2，y2）．

则

，两式相减得

=0．

∵，，．

代入上式可得

，解得kAB=．

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式和

“点差法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．

设出以M为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与

的关系式，从而求得椭圆的离心率．

显然M（﹣2，1）在椭圆内，设直线与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），

a，b

则+=1，+=1，相减得：

=0，

整理得：

k=﹣

=1，

又弦的中点坐标是（﹣2，1），

∴，

则椭圆的离心率是e===．

本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程，属于基础题．本题解题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法，研究弦中点问题时经常采用此方法

直线与圆锥曲线的关系．

计算题；

圆锥曲线的定义、性质与方程．

22

将直线y=x+1代入椭圆x+2y=4中，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论．

将直线y=x+1代入椭圆x2+2y2=4中，得x2+2（x+1）2=4

∴3x2+4x﹣2=0

∴弦的中点横坐标是x==﹣，

代入直线方程中，得y=

∴弦的中点是（﹣，）

本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基础题．

设直线方程为

y﹣1=k（x﹣1），代入椭圆

化简，根据

x1+x2=

=2，求出斜

率k的值，即得所求的直线方程．

由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为y﹣1=k（x﹣1），

代入椭圆化简可得，

（4k2+1）x2+8（k﹣k2）x+4k2﹣8k﹣12．

∴由题意可得x12

=2，∴k=﹣，

+x=

故直线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+4y﹣5=0，

本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，中点公式的应用，求出直线的斜率，是解题的关键．

二．填空题（共9小题）

9．过椭圆内一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是．

直线与圆锥曲线的综合问题；

轨迹方程．

设出N，A，B的坐标，将A，B的坐标代入椭圆方程，结合N为AB的中点，求出AB的斜率，再利用动

弦AB过点M（2，0），弦AB的中点N，求出AB的斜率，从而可得方程，化简即可．解答：

设N（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则

①，②

①﹣②，可得：

∴

∵动弦AB过点M（2，0），弦AB的中点N，

当M、N不重合时，有

∴，（m≠2）

当M、N重合时，即M是A、B中点，M（2，0）适合方程，

则N的轨迹方程为，

故答案为：

本题考查直线与椭圆的综合，考查点差法的运用，这是解决弦中点问题，常用的一种方法．

x+2y﹣3=0．

设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），A（1，1）为EF中点，x1+x2=2，y1+y2=2，

利用点差法能够求出以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程．

设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），

∵A（1，1）为EF中点，∴x1+x2=2，y1+y2=2，

把E（x1，y1），F（x2，y2）分别代入椭圆，

可得，

两式相减，可得（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，

∴2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，

∴=﹣

∴以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：

y﹣1=﹣（x﹣1），

整理，得x+2y﹣3=0．

x+2y﹣3=0．

本题考查以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程的求法，考查点差法的运用，考查学生分析解决问

题的能力，属于中档题．

11．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为

，直

线方程为2x+3y﹣12=0．

平方差法：

设弦端点为

A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程后作差，利用斜率公式及中点坐标公式可

得斜率；

根据点斜式可得直线方程．

设弦端点为A（x1

，y1），B（x2，y2），

①，

=144②，

①﹣②得，

+9

=0，即4（x+x

）（x﹣x

）+9（y+y

）（y﹣y

）=0，

所以==，即，

所以弦所在直线方程为：

y﹣2=﹣（x﹣3），即2x+3y﹣12=0．

﹣；

2x+3y﹣12=0．

本题考查直线与抛物线的位置关系、直线方程的求解，弦中点问题常利用平方差法解决，应熟练掌握．

12．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为2x+3y﹣12=0．

设以P（3，2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），P（3，2）为EF中点，x1+x2=6，y1+y2=4，利用点差法能够求出这弦所在直线的方程．

设以P（3，2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），

∵P（3，2）为EF中点，

∴x1+x2=6，y1+y2=4，

把E（x1

，y1），F（x2，y2）分别代入椭圆

4x2+9y2=144，

得

∴4（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0，

∴24（x1﹣x2）+36（y1﹣y2）=0，

∴k==﹣，

∴以P（3，2）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：

y﹣2=﹣（x﹣3），

整理，得2x+3y﹣12=0．

本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质、点差法、直线方程等知识点的合理运用．

13．过椭圆=1内一定点（1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为4x2+9y2﹣4x=0．

椭圆的应用；

设弦两端点坐标为（x1，y1），（x2．y2），诸弦中点坐标为（x，y）．弦所在直线斜率为k，把两端点坐标代入椭圆方程相减，把斜率看的表达式代入后整理即可得到弦中点的轨迹方程．

设弦两端点坐标为（x1，y1），（x2．y2），诸弦中点坐标为（x，y）．弦所在直线斜率为k

两式相减得；

（x1+x2）（x1﹣x2）+（y1+y2）（y1﹣y2）=0

即

又∵k=，代入上式得