辽宁省沈阳市中考数学试题及解析.doc

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2015年辽宁省沈阳市中考数学试卷

一.选择题（每小题3分，共24分，只有一个答案是正确的）

1．（3分）（2015•沈阳）比0大的数是（　　）

A．

﹣2

B．

﹣

C．

﹣0.5

D．

2．（3分）（2015•沈阳）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（　　）

A．

B．

C．

D．

3．（3分）（2015•沈阳）下列事件为必然事件的是（　　）

A．

经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

B．

明天一定会下雨

C．

抛出的篮球会下落

D．

任意买一张电影票，座位号是2的倍数

4．（3分）（2015•沈阳）如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是边AC上一点，且DE∥BC，∠B=40°，∠AED=60°，则∠A的度数是（　　）

A．

100°

B．

90°

C．

80°

D．

70°

5．（3分）（2015•沈阳）下列计算结果正确的是（　　）

A．

a4•a2=a8

B．

（a5）2=a7

C．

（a﹣b）2=a2﹣b2

D．

（ab）2=a2b2

6．（3分）（2015•沈阳）一组数据2、3、4、4、5、5、5的中位数和众数分别是（　　）

A．

3.5，5

B．

4，4

C．

4，5

D．

4.5，4

7．（3分）（2015•沈阳）顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（　　）

A．

平行四边形

B．

菱形

C．

矩形

D．

正方形

8．（3分）（2015•沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

二.填空题（每小题4分，共32分）

9．（4分）（2015•沈阳）分解因式：

ma2﹣mb2=　　　　　　．

10．（4分）（2015•沈阳）不等式组的解集是　　　　　　．

11．（4分）（2015•沈阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB=　　　　　　cm时，BC与⊙A相切．

12．（4分）（2015•沈阳）某跳远队甲、乙两名运动员最近10次跳远成绩的平均数为602cm，若甲跳远成绩的方差为S甲2=65.84，乙跳远成绩的方差为S乙2=285.21，则成绩比较稳定的是　　　　　　．（填“甲”或“乙”）

13．（4分）（2015•沈阳）在一个不透明的袋中装有12个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球是黑球的概率为，那么袋中的黑球有　　　　　　个．

14．（4分）（2015•沈阳）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AB：

DE=　　　　　　．

15．（4分）（2015•沈阳）如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度y（cm）和注水时间x（s）之间的关系满足如图2中的图象，则至少需要　　　　　　s能把小水杯注满．

16．（4分）（2015•沈阳）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则AK=　　　　　　．

三.解答题

17．（8分）（2015•沈阳）计算：

+|﹣2|﹣（）﹣2+（tan60°﹣1）0．

18．（8分）（2015•沈阳）如图，点E为矩形ABCD外一点，AE=DE，连接EB、EC分别与AD相交于点F、G．求证：

（1）△EAB≌△EDC；

（2）∠EFG=∠EGF．

19．（10分）（2015•沈阳）我国是世界上严重缺失的国家之一，全国总用水量逐年上升，全国总用水量可分为农业用水量、工业用水量和生活用水量三部分．为了合理利用水资源，我国连续多年对水资源的利用情况进行跟踪调查，将所得数据进行处理，绘制了2008年全国总用水量分布情况扇形统计图和2004﹣2008年全国生活用水量折线统计图的一部分如下：

（1）2007年全国生活用水量比2004年增加了16%，则2004年全国生活用水量为　　　　　　亿m3，2008年全国生活用水量比2004年增加了20%，则2008年全国生活用水量为　　　　　　亿m3；

（2）根据以上信息，请直接在答题卡上补全折线统计图；

（3）根据以上信息2008年全国总水量为　　　　　　亿；

（4）我国2008年水资源总量约为2.75×104亿m3，根据国外的经验，一个国家当年的全国总用水量超过这个国家年水资源总量的20%，就有可能发生“水危机”．依据这个标准，2008年我国是否属于可能发生“水危机”的行列？

并说明理由．

20．（10分）（2015•沈阳）高速铁路列车已成为中国人出行的重要交通工具，其平均速度是普通铁路列车平均速度的3倍，同样行驶690km，高速铁路列车比普通铁路列车少运行了4.6h，求高速铁路列车的平均速度．

21．（10分）（2015•沈阳）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E．

（1）求∠OCA的度数；

（2）若∠COB=3∠AOB，OC=2，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）

22．（10分）（2015•沈阳）如图，已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．

（1）填空：

n的值为　　　　　　，k的值为　　　　　　；

（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；

（3）考察反比函数y=的图象，当y≥﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围．

23．（12分）（2015•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B的坐标为（60，0），OA=AB，∠OAB=90°，OC=50．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=40时，直线l恰好经过点C．

（1）求点A和点C的坐标；

（2）当0＜t＜30时，求m关于t的函数关系式；

（3）当m=35时，请直接写出t的值；

（4）直线l上有一点M，当∠PMB+∠POC=90°，且△PMB的周长为60时，请直接写出满足条件的点M的坐标．

24．（12分）（2015•沈阳）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将▱ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．

（1）当点H与点C重合时．

①填空：

点E到CD的距离是　　　　　　；

②求证：

△BCE≌△GCF；

③求△CEF的面积；

（2）当点H落在射线BC上，且CH=1时，直线EH与直线CD交于点M，请直接写出△MEF的面积．

25．（14分）（2015•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．

（1）填空：

点A的坐标为（　　　　　　，　　　　　　），点B的坐标为（　　　　　　，　　　　　　），点C的坐标为（　　　　　　，　　　　　　），点D的坐标为（　　　　　　，　　　　　　）；

（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）

①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；

②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；

③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．

2015年辽宁省沈阳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（每小题3分，共24分，只有一个答案是正确的）

1．（3分）（2015•沈阳）比0大的数是（　　）

A．

﹣2

B．

﹣

C．

﹣0.5

D．

考点：

分析：

正实数都大于0，负实数都小于0，据此判断即可．

解答：

解：

A、B、C都是负数，故A、B、C错误；

D、1是正数，故D正确；

故选D．

点评：

本题考查了有理数比较大小，正数大于0是解题关键．

2．（3分）（2015•沈阳）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

分析：

找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．

解答：

解：

从左面看易得第一层有4个正方形，第二层最左边有一个正方形．

故选A．

点评：

本题考查了三视图的知识．注意左视图是指从物体的左边看物体．

3．（3分）（2015•沈阳）下列事件为必然事件的是（　　）

A．

经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

B．

明天一定会下雨

C．

抛出的篮球会下落

D．

任意买一张电影票，座位号是2的倍数

考点：

分析：

根据事件的分类对各选项进行逐一分析即可．

解答：

解：

A、经过某一有交通信号灯的路口遇到红灯是随机事件，故本选项错误；

B、明天可能是晴天，也可能是雨天，属于不确定性事件中的可能性事件，故本选项错误；

C、在操场上抛出的篮球会下落，是必然事件，故本选项正确；

D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数为不确定事件，即随机事件，故本选项错误；

故选：

C．

点评：

本题考查的是事件的分类，即事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，熟知以上知识是解答此题的关键．

4．（3分）（2015•沈阳）如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是边AC上一点，且DE∥BC，∠B=40°，∠AED=60°，则∠A的度数是（　　）

A．

100°

B．

90°

C．

80°

D．

70°

考点：

分析：

先根据平行线的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理求出∠A的度数即可．

解答：

解：

∵DE∥BC，∠AED=40°，

∴∠C=∠AED=60°，

∵∠B=40°，

∴∠A=180°﹣∠C﹣∠B=180°﹣40°﹣60°=80°．

点评：

本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键．

5．（3分）（2015•沈阳）下列计算结果正确的是（　　）

A．

a4•a2=a8

B．

（a5）2=a7

C．

（a﹣b）2=a2﹣b2

D．

（ab）2=a2b2

考点：

分析：

运用同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式运算即可．

解答：

解：

A．a4•a2=a6，故A错误；

B．（a5）2=a10，故B错误；

C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故C错误；

D．（ab）2=a2b2，故D正确，

故选D．

点评：

本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．

6．（3分）（2015•沈阳）一组数据2、3、4、4、5、5、5的中位数和众数分别是（　　）

A．

3.5，5

B．

4，4

C．

4，5

D．

4.5，4

考点：

分析：

先把数据按大小排列，然后根据中位数和众数的定义可得到答案．

解答：

解：

数据按从小到大排列：

2、3、4、4、5、5、5，

中位数是4；

数据5出现3次，次数最多，所以众数是5．

故选C．

点评：

本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．

7．（3分）（2015•沈阳）顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（　　）

A．

平行四边形

B．

菱形

C．

矩形

D．

正方形

考点：

专题：

计算题．

分析：

菱形，理由为：

利用三角形中位线定理得到EF与HG平行且相等，得到四边形EFGH为平行四边形，再由EH=EF，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证．

解答：

解：

菱形，理由为：

如图所示，∵E，F分别为AB，BC的中点，

∴EF为△ABC的中位线，

∴EF∥AC，EF=AC，

同理HG∥AC，HG=AC，

∴EF∥HG，且EF=HG，

∴四边形EFGH为平行四边形，

∵EH=BD，AC=BD，

∴EF=EH，

则四边形EFGH为菱形，

故选B

点评：

此题考查了中点四边形，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．

8．（3分）（2015•沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

分析：

根据二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答．

解答：

解：

二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，

故选：

D．

点评：

本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明二次函数的顶点坐标．

二.填空题（每小题4分，共32分）

9．（4分）（2015•沈阳）分解因式：

ma2﹣mb2=　m（a+b）（a﹣b）　．

考点：

分析：

应先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

解答：

解：

ma2﹣mb2，

=m（a2﹣b2），

=m（a+b）（a﹣b）．

点评：

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行因式分解．

10．（4分）（2015•沈阳）不等式组的解集是　﹣2≤x＜3　．

考点：

专题：

计算题．

分析：

分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．

解答：

解：

，

由①得：

x＜3，

由②得：

x≥﹣2，

则不等式组的解集为﹣2≤x＜3，

故答案为：

﹣2≤x＜3

点评：

此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

11．（4分）（2015•沈阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB=　6　cm时，BC与⊙A相切．

考点：

分析：

当BC与⊙A相切，点A到BC的距离等于半径即可．

解答：

解：

如图，过点A作AD⊥BC于点D．

∵AB=AC，∠B=30°，

∴AD=AB，即AB=2AD．

又∵BC与⊙A相切，

∴AD就是圆A的半径，

∴AD=3cm，

则AB=2AD=6cm．

故答案是：

6．

点评：

本题考查了切线的判定．此题利用了切线的定义和含30度角的直角三角形的性质得到AB的长度的．

12．（4分）（2015•沈阳）某跳远队甲、乙两名运动员最近10次跳远成绩的平均数为602cm，若甲跳远成绩的方差为S甲2=65.84，乙跳远成绩的方差为S乙2=285.21，则成绩比较稳定的是　甲　．（填“甲”或“乙”）

考点：

分析：

根据方差的意义进行判断．

解答：

解：

∵S甲2=65.84，S乙2=285.21，

∴S甲2＜S乙2，

∴甲的成绩比乙稳定．

故答案为甲．

点评：

本题考查了方差：

方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

13．（4分）（2015•沈阳）在一个不透明的袋中装有12个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球是黑球的概率为，那么袋中的黑球有　4　个．

考点：

分析：

首先设袋中的黑球有x个，根据题意得：

=，解此分式方程即可求得答案．

解答：

解：

设袋中的黑球有x个，

根据题意得：

=，

解得：

x=4，

经检验：

x=4是原分式方程的解．

即袋中的黑球有4个．

故答案为：

4．

点评：

此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：

概率=所求情况数与总情况数之比．

14．（4分）（2015•沈阳）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AB：

DE=　2：

3　．

考点：

分析：

由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质，即可得AB∥DE，即可求得△ABC的面积：

△DEF面积=，得到AB：

DE═2：

3．

解答：

解：

∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，

∴△ABC∽△DEF，

∴△ABC的面积：

△DEF面积=（）2=，

∴AB：

DE=2：

3，

故答案为：

2：

3．

点评：

此题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．

15．（4分）（2015•沈阳）如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度y（cm）和注水时间x（s）之间的关系满足如图2中的图象，则至少需要　5　s能把小水杯注满．

考点：

分析：

一次函数的首先设解析式为：

y=kx+b，然后利用待定系数法即可求得其解析式，再由y=11，即可求得答案．

解答：

解：

设一次函数的首先设解析式为：

y=kx+b，

将（0，1），（2，5）代入得：

，

解得：

，

∴解析式为：

y=2x+1，

当y=11时，2x+1=11，

解得：

x=5，

∴至少需要5s能把小水杯注满．

故答案为：

5．

点评：

此题考查了一次函数的实际应用问题．注意求得一次函数的解析式是关键．

16．（4分）（2015•沈阳）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则AK=　2﹣3　．

考点：

分析：

连接BH，由正方形的性质得出∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：

AB=EB，∠CBE=30°，得出∠ABE=60°，由HL证明Rt△ABH≌Rt△EBH，得出∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，由三角函数求出AH，得出EH、FH，再求出KH=2FH，即可求出AK．

解答：

解：

连接BH，如图所示：

∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，

∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，

由旋转的性质得：

AB=EB，∠CBE=30°，

∴∠ABE=60°，

在Rt△ABH和Rt△EBH中，

，

∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），

∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，

∴AH=AB•tan∠ABH=×=1，

∴EH=1，

∴FH=﹣1，

在Rt△FKH中，∠FKH=30°，

∴KH=2FH=2（﹣1），

∴AK=KH﹣AH=2（﹣1）﹣1=2﹣3；

故答案为：

2﹣3．

点评：

本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握旋转的性质和正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

三.解答题

17．（8分）（2015•沈阳）计算：

+|﹣2|﹣（）﹣2+（tan60°﹣1）0．

考点：

分析：

先算立方根，绝对值，负整数指数幂和0指数幂，再算加减，由此顺序计算即可．

解答：

解：

原式=3+﹣2﹣9+1

=﹣7．

点评：

此题考查实数的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．

18．（8分）（2015•沈阳）如图，点E为矩形ABCD外一点，AE=DE，连接EB、EC分别与AD相交于点F、G．求证：

（1）△EAB≌△EDC；

（2）∠EFG=∠EGF．

考点：

专题：

证明题．

分析：

（1）先由四边形ABCD是矩形，得出AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°．由EA=ED，得出∠EAD=∠EDA，根据等式的性质得到∠EAB=∠EDC．然后利用SAS即可证明△EAB≌△EDC；

（2）由△EAB≌△EDC，得出∠AEF=∠DEG，根据三角形外角的性质得出∠EFG=∠EAF+∠AEF，∠EGF=∠EDG+∠DEG，即可证明∠EFG=∠EGF．

解答：

证明：

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°．

∵EA=ED，

∴∠EAD=∠EDA，

∴∠EAB=∠EDC．

在△EAB与△EDC中，

，

∴△EAB≌△EDC（SAS）；

（2）∵△EAB≌△EDC，

∴∠AEF=∠DEG，

∵∠EFG=∠EAF+∠AEF，∠EGF=∠EDG+∠DEG，

∴∠EFG=∠EGF．

点评：

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及等式的性质，证明出△EAB≌△EDC是解题的关键．

（1）2007年全国生活用水量比2004年增加了16%，则2004年全国生活用水量为　625　亿m3，2008年全国生活用水量比2004年增加了20%，则2008年全国生活用水量为　750　亿m3；

（2）根据以上信息，请直接在答题卡上补全折线统计图；

（3）根据以上信息2008年全国总水量为　5000　亿；

并说明理由．

考点：

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