复变函数测试题与答案.docx

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复变函数测试题与答案复变函数测试题与答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1当z11ii时，100zz7550z的值等于（）（A）i（B）i（C）1（D）12设复数z满足arc（z2），35arc（z2），那么z（）613（A）13i（B）3i（C）i2231（D）i223复数ztani（）的三角表示式是（）233（A））seccos（）isin（（B）seccos（）isin（）222233（C））seccos（）isin（（D）seccos（）isin（）22224若z为非零复数，则2z2z与2zz的关系是（）22（A）zz2zz22（B）zz2zz22（C）zz2zz（D）不能比较大小设x,y为实数，z1x11yi,zx11yi且有z1z12，则动点（x,y）22的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线一个向量顺时针旋转，向右平移个单位，再向下平移个单位后对应的复数为313i，则原向量对应的复数是（）（A）2（B）13i（C）3i（D）3i1复变函数测验题使得22zz成立的复数z是（）（A）不存在的（B）唯一的（C）纯虚数（D）实数设z为复数，则方程zz2i的解是（）3（A）i43（B）i43（C）i43（D）i4zi满足不等式2zi的所有点z构成的集合是（）（A）有界区域（B）无界区域（C）有界闭区域（D）无界闭区域10方程z23i2所代表的曲线是（）（A）中心为23i，半径为2的圆周（B）中心为23i，半径为的圆周（C）中心为23i，半径为2的圆周（D）中心为23i，半径为的圆周11下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）z1（A）2z2（B）z3z34za（C）1（a1）1az（D）zzazazaac0（c0）12设（）1,123i,z5i,f，则f（z）（）zzz1z22（A）44i（B）44i（C）44i（D）44i13Im（z）Im（limxx0zz0z0）（）（A）等于i（B）等于i（C）等于0（D）不存在14函数f（z）u（x,y）iv（x,y）在点z0xiy处连续的充要条件是（）00（A）u（x,y）在（x0,y）处连续（B）v（x,y）在（x0,y0）处连续0（C）u（x,y）和v（x,y）在（x0,y0）处连续（D）u（x,y）v（x,y）在（x0,y0）处连续2复变函数测验题15设zC且z1，则函数f（z）2zzz1的最小值为（）（A）3（B）2（C）1（D）1二、填空题1设（1i）（2i）（3i）z，则z（3i）（2i）2设z（23i）（2i），则argz3设3z5,arg（zi），则z44复数（cos5（cos3iisin5sin32）2）的指数表示式为65以方程z715i的根的对应点为顶点的多边形的面积为不等式z2z25所表示的区域是曲线的内部2z1i方程1所表示曲线的直角坐标方程为2（1i）z方程z12iz2i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线对于映射iz2y2，圆周x

（1）1的像曲线为2410lim（1z2z）z1i三、若复数z满足zz（12i）z（12i）z30，试求z2的取值范围3复变函数测验题2四、设a0，在复数集C中解方程z2za.五、设复数zi，试证z21z是实数的充要条件为z1或IM（z）0.11六、对于映射z），求出圆周z4的像.（2zz1z七、试证.0（0）2z2的充要条件为z1zzz；212z1zkjkjn.0（0,1,2,）j的充要条件为z2z1z2znz1z2z.n八、若lim（）0fzAxx，则存在0，使得当10zz时有f（z）A.002xy九、设zxiy，试证zxy2.十、设zxiy，试讨论下列函数的连续性：

1.f2xy（z）22xy,z00,z02.f3xy（z）22xy,z00,z04复变函数测验题第二章解析函数一、选择题：

1函数2f在点z0处是（）（z）3z（A）解析的（B）可导的（C）不可导的（D）既不解析也不可导2函数f（z）在点z可导是f（z）在点z解析的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件3下列命题中，正确的是（）（A）设x,y为实数，则cos（xiy）1（B）若z是函数f（z）的奇点，则f（z）在点z0不可导0（C）若u,v在区域D内满足柯西-黎曼方程，则f（z）uiv在D内解析（D）若f（z）在区域D内解析，则if（z）在D内也解析4下列函数中，为解析函数的是（）22（A）xy2xyi2（B）xxyi2xx2（C）2（x1）yi（y2）（D）x3iy32z5函数f（z）zIm（）在z0处的导数（）（A）等于0（B）等于1（C）等于1（D）不存在2xyyiyaxyx2226若函数f（z）x2（）在复平面内处处解析，那么实常数a（）（A）0（B）1（C）2（D）27如果f（z）在单位圆z1内处处为零，且f（0）1，那么在z1内f（z）（）（A）0（B）1（C）1（D）任意常数8设函数f（z）在区域D内有定义，则下列命题中，正确的是5复变函数测验题（A）若f（z）在D内是一常数，则f（z）在D内是一常数（B）若Re（f（z）在D内是一常数，则f（z）在D内是一常数（C）若f（z）与f（z）在D内解析，则f（z）在D内是一常数（D）若argf（z）在D内是一常数，则f（z）在D内是一常数9设22f（z）xiy，则f（1i）（）（A）2（B）2i（C）1i（D）22i10ii的主值为（）（A）0（B）1（C）e2（D）e211ze在复平面上（）（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）有可导点，且在可导点集上解析（D）处处解析12设f（z）sinz，则下列命题中，不正确的是（）（A）f（z）在复平面上处处解析（B）f（z）以2为周期（C）izeizef（z）（D）f（z）是无界的213设为任意实数，则1（）（A）无定义（B）等于1（C）是复数，其实部等于1（D）是复数，其模等于114下列数中，为实数的是（）（A）3（1i）（B）cosi（C）lni（D）3e2i15设是复数，则（）（A）z在复平面上处处解析（B）z的模为z（C）z一般是多值函数（D）z的辐角为z的辐角的倍6复变函数测验题二、填空题1设f（0）1,f（0）1i，则limz0f（z）z12设f（z）uiv在区域D内是解析的，如果uv是实常数，那么f（z）在D内是3导函数uvf（z）i在区域D内解析的充要条件为xx4设333322f（z）xyixy，则f（i）225若解析函数f（z）uiv的实部2y2ux，那么f（z）6函数f（z）zIm（z）Re（z）仅在点z处可导157设f（z）z（1i）z5，则方程f（z）0的所有根为8复数ii的模为9Imln（34i）z10方程1e0的全部解为三、设f（z）u（x,y）iv（x,y）为zxiy的解析函数，若记zzzzzzzzww（z,z）u（,）iv（,），则022i22iz四、试证下列函数在z平面上解析，并分别求出其导数1f（z）cosxcoshyisinxsinhy;xx2f（z）e（xcosyysiny）ie（ycosyixsiny）;7复变函数测验题五、设w32zwez0，求dwdz,2dw2dz.六、设2xy（xiy）,z0f（z）24试证f（z）在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.xy0,z0七、已知2y2uvx，试确定解析函数f（z）uiv.八、设s和n为平面向量，将s按逆时针方向旋转即得n.如果f（z）uiv为解析函数，2则有usvnuv,（ns与sn分别表示沿s,n的方向导数）.九、若函数f（z）在上半平面内解析，试证函数f（z）在下半平面内解析.十、解方程sinzicosz4i.8复变函数测验题第三章复变函数的积分一、选择题：

2至1i的弧段，则1设c为从原点沿yx（c2（）xiy）dz15（A）i6615（B）i6615（C）i6615（D）i66z2设c为不经过点1与1的正向简单闭曲线，则dz为（）2（z1）（z1）c（A）i2（B）i2（C）0（D）（A）（B）（C）都有可能sinz3设c1:

z1为负向，c2:

z3正向，则dz2zcc1c2（）（A）2i（B）0（C）2i（D）4icosz4设c为正向圆周z2，则dz2（1z）（）c（A）sin1（B）sin1（C）2isin1（D）2isin15设c为正向圆周13zcos1z2z，则dz22（1z）c（）（A）2i（3cos1sin1）（B）0（C）6icos1（D）2isin1e6设f（z）d，其中z4，则f（i）（）z4（A）2i（B）1（C）2i（D）17设f（z）在单连通域B内处处解析且不为零，c为B内任何一条简单闭曲线，则积分f（z）2f（z）cf（z）f（z）dz（）（A）于2i（B）等于2i（C）等于0（D）不能确定9复变函数测验题8设c是从0到i1的直线段，则积分2ze（）zdzzdzcA）（B）1ee（C）1i（D）1i22sin（z）42y2x9设c为正向圆周20x，则dz2cz1（）2（A）i22（B）2i（C）0（D）i210设c为正向圆周zi1,ai，则zcosz2（ai）z（）（A）2ie（B）2ei（C）0（D）icosi11设f（z）在区域D内解析，c为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D如果f在c上的值为2，那么对c内任一点z0,f（z0）（）（z）（A）等于0（B）等于1（C）等于2（D）不能确定12下列命题中，不正确的是（）（A）积分zar1zadz的值与半径r（r0）的大小无关（B）（22）2xiydz,其中c为连接i到i的线段c（C）若在区域D内有f（z）g（z），则在D内g（z）存在且解析（D）若f（z）在0z1内解析，且沿任何圆周c:

zr（0r1）的积分等于零，则f（z）在z0处解析10复变函数测验题13设c为任意实常数，那么由调和函数2y2ux确定的解析函数f（z）uiv是（）2（A）izc2（B）izic2（C）zc2（D）zic14下列命题中，正确的是（）（A）设v1,v2在区域D内均为u的共轭调和函数，则必有v1v2（B）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C）若f（z）uiv在区域D内解析，则ux为D内的调和函数（D）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15设v（x,y）在区域D内为u（x,y）的共轭调和函数，则下列函数中为D内解析函数的是（）（A）v（x,y）iu（x,y）（B）v（x,y）iu（x,y）（C）u（x,y）iv（x,y）（D）uxivx二、填空题1设c为沿原点z0到点z1i的直线段，则2zdzc2设c为正向圆周z41，则z3z24）dz3设sin（）2f（z）d,其中z2，则f（3）z24设c为正向圆周z3，则czzzdz5设c为负向圆周z4，则ze（zi）5z11复变函数测验题6解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的7设f（z）在单连通域B内连续，且对于B内任何一条简单闭曲线c都有（）0fzdz，那c么f（z）在B内8调和函数（x,y）xy的共轭调和函数为9若函数32u（x,y）xaxy为某一解析函数的虚部，则常数a10设u（x,y）的共轭调和函数为v（x,y），那么v（x,y）的共轭调和函数为三、计算积分3.zR6z2,其中R0,R1且R2;dz（z1）（z2）4.dz4222zzz2四、设f（z）在单连通域B内解析，且满足1f（z）1（xB）.试证在B内处处有f（z）0；f（z）对于B内任意一条闭曲线c，都有dz0f（z）c五、设f（z）在圆域zaR内解析，若maxf（z）M（r）（0rR）zar，n!

M（r）（nn）则（1,2,）f（a）nr.12复变函数测验题六、求积分z1zezdz，从而证明0e.coscos（sin）dcoscos（sin）d七、设f（z）在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数a,b，试求极限f（z）limdz并由此推证f（a）f（b）（刘维尔Liouville定理）.R（za）（zb）zR八、设f（z）在zR（R1）内解析，且f（0）1,f（0）2，试计算积分z1（z1）2f（z）2dzz并由此得出202（i）cosfed2之值.九、设f（z）uiv是z的解析函数，证明22222ln（1f（z）ln（1f（z）4f（z）222xy（1f（z）2.2y2十、若uu（x），试求解析函数f（z）uiv.13复变函数测验题第四章级数一、选择题：

n

（1）ni1设（1,2,）lima（）ann，则nn4n（A）等于0（B）等于1（C）等于i（D）不存在2下列级数中，条件收敛的级数为（）（A）13i（n12n）（B）nn（34i）1n!

（C）n1nin（D）nn

（1）1n1i3下列级数中，绝对收敛的级数为（）（B）1i（1nnn1（B）n1）nin2C）ni2lnn（D）

（1）nin124若幂级数ncnz在z12i处收敛，那么该级数在z2处的敛散性为（）n0（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）不能确定5设幂级数n0nn1cnz,ncz和nn0n0cnznn11的收敛半径分别为R1,R2,R3，则R1,R,R之间的关系是（）23（A）R1RR（B）R1R2R323（C）R1R2R3（D）R1R2R36设0q1，则幂级数2q的收敛半径R（）nznznn014复变函数测验题（A）q（B）1q（C）0（D）7幂级数nsin2n1n（z2n）的收敛半径R（）（A）1（B）2（C）2（D）8幂级数n0n

（1）n1nz1在z1内的和函数为（A）ln（1z）（B）ln（1z）（D）1ln（D）1zln11zze9设函数的泰勒展开式为coszncnz，那么幂级数n0n0ncnz的收敛半径R（）（A）（B）1（C）（D）210级数1121z2z的收敛域是（）zz（A）z1（B）0z1（C）1z（D）不存在的11函数12z在z1处的泰勒展开式为（）nn1z（A）

（1）

（1）（11）nzn1nzn1z（B）

（1）

（1）（11）n1n1n（D）

（1）n（11）（C）

（1）（11）1z1znznzn1n115复变函数测验题12函数sinz，在z处的泰勒展开式为（）2n

（1）2zn1（A）（z）（）（2n1）!

22n0n

（1）2zn（B）（z）（）（2n）!

22n0n1

（1）2n1（C）（z）（z）（2n1）!

22n0n1

（1）2n（D）（z）（z）（2n）!

22n013设f（z）在圆环域H:

RzzR内的洛朗展开式为102nc（0），c为H内nzzc（0），c为H内n绕z0的任一条正向简单闭曲线，那么c（z（z）2z0）dz（）（A）2ic（B）2ic1（C）2ic2（D）2if（z0）114若nn3

（1）,n0,1,2,cn，则双边幂级数n4,n1,2,nncnz的收敛域为（）（A）141z（B）3z431（C）z41（D）z315设函数1f（z）在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m个，那么z（z1）（z4）m（）（A）1（B）2（C）3（D）416复变函数测验题二、填空题1若幂级数ncnzi）在zi处发散，那么该级数在z2处的收敛性（n0为2设幂级数ncnz与nRe（cn）z的收敛半径分别为R1和R2，那么R1与R2之间的关n0n0系是3幂级数（2i）的收敛半径Rnz2nnz2n1n04设f（z）在区域D内解析，z0为内的一点，d为z0到D的边界上各点的最短距离，那么当zzd0时，nf（z）cn（zz0）成立，其中cnn05函数arctanz在z0处的泰勒展开式为6设幂级数ncnz的收敛半径为R，那么幂级数nczn的收敛半径（21）nn0n0为7双边幂级数n1znn1zn的收敛域为

（1）2

（1）

（1）n1n1（z2）218函数zeez在0z内洛朗展开式为9设函数cotz在原点的去心邻域0zR内的洛朗展开式为ncnz，那么该洛朗级数n收敛域的外半径R10函数1z（zi）在1zi内的洛朗展开式为17复变函数测验题三、若函数11z2z在z0处的泰勒展开式为n0nanz，则称an为菲波那契（Fibonacci）数列，试确定a满足的递推关系式，并明确给出an的表达式n四、试证明zzz1e1e1ze（z）;z2（3e）ze1（e1）z（z1）;五、设函数f（z）在圆域zR内解析，n（k）f（0）kSnzk!

k0试证n1n11zd1S（z）f（）（zrR）n.n12izrn1zf（）2f（zS（））（z）dzrR。

nn12i（z）r六、设幂级数2nnz的和函数，并计算n1n12nn之值.218复变函数测验题nn七、设（）n（）,（）（），则对任意的r（0rR1），在fzazzRgzbzzR1n2n0n0rR内01znabzf（）g（）nn2ir。

八、设在zR内解析的函数f（z）有泰勒展开式f（z）zzz试证当0rR时1222idar2nf（re）.nn0九、将函数n（z）1）在0z11内展开成洛朗级数.十、试证在0z内下列展开式成立：

1z11zncos2ndnecc（z）其中cnecos（0,1,2,）.0nnz0n119复变函数测验题第五章留数一、选择题：

1函数cot2zz3在zi2内的奇点个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）42设函数f（z）与g（z）分别以za为本性奇点与m级极点，则za为函数f（z）g（z）的（）（A）可去奇点（B）本性奇点（C）m级极点（D）小于m级的极点3设z0为函数2x1e的m级极点，那么m（）4zsinz（A）5（B）4（C）3（D）24z1是函数1（z1）sin的（）z1（A）可去奇点（B）一级极点（C）一级零点（D）本性奇点5z是函数32z2z3z的（）（A）可去奇点（B）一级极点（C）二级极点（D）本性奇点6设f（z）nf（z）anz在zR内解析，k为正整数，那么Res,0（）kzn0（A）a（B）k!

ak（C）ak1（D）（k1）!

ak1kf（z）7设za为解析函数f（z）的m级零点，那么,Resa（）f（z）（A）m（B）m（C）m1（D）（m1）8在下列函数中，Resf（z）,00的是（）20复变函数测验题（A）（z）B）f（）sinzC）sinzcosz（z）（D）zf（z）1ze19下列命题中，正确的是（）m（A）设（）（）（）fzzz0z，（z）在z点解析，m为自然数，则z0为f（z）的m级0极点（B）如果无穷远点是函数f（z）的可去奇点，那么Resf（z）,0（C）若z0为偶函数f（z）的一个孤立奇点，则Resf（z）,00（D）若f（）0，则f（z）在c内无奇点zdzc2i310,Reszcos（）z（A）23（B）232（C）i32（D）i312ei11Resz,z（）i1（A）i65（B）i61（C）i65（D）i612下列命题中，不正确的是（）（A）若z（）是f（z）的可去奇点或解析点，则Resf（z）,z000（B）若P（z）与Q（z）在z解析，z0为Q（z）的一级零点，则0Re