高中数学第一章常用逻辑用语2充分条件与必要条件学案北师大版选修11整理.docx

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高中数学第一章常用逻辑用语2充分条件与必要条件学案北师大版选修11整理

2017-2018学年高中数学第一章常用逻辑用语2充分条件与必要条件学案北师大版选修1-1

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§2充分条件与必要条件

充分条件与必要条件

古时候有个卖油郎叫洛孝,一天他在卖油回家的路上捡到30两银子，回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主．当洛孝把银子还给失主时,失主却说自己丢了50两银子，叫洛孝拿出自己私留的20两银子．两人为此争执不休,告到县衙,县官听了两人的供述后，把银子判给洛孝，失主含羞离去．

设：

A:

洛孝主动归还所拾银两．

B：

洛孝无赖银之情．

C：

洛孝拾到30两银子，失主丢失50两银子．

D:

洛孝所拾银子不是失主所丢．

问题1:

县官得到结论B的依据是什么？

它是B的什么条件？

提示：

A,充分条件．

问题2：

县官由C得出什么结论?

它是C的什么条件?

提示:

D,必要条件．

充分条件和必要条件

如果“若p，则q”形式的命题为真命题,即p⇒q，称p是q的充分条件,同时称q是p的必要条件。

充要条件

已知:

p:

前年在伦敦举行第30届夏季奥运会．

q:

前年是2012年．

问题1:

“若p，则q"为真命题吗？

p是q的什么条件？

提示：

是真命题，充分条件．

问题2：

“若q，则p”是真命题吗？

p是q的什么条件？

提示：

是真命题，必要条件．

问题3：

p是q的什么条件?

q是p的什么条件?

提示：

充要条件，充要条件．

充要条件

（1）如果既有p⇒q，又有q⇒p,通常记作p⇔q，则称p是q的充分必要条件,简称充要条件．

（2）p是q的充要条件也可以说成:

p成立当且仅当q成立．

（3）如果p，q分别表示两个命题,且它们互为充要条件，我们称命题p和命题q是两个相互等价的命题．

（4）若p⇒q,但q⇒/p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．

（5）若p⇒/q，且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．

充分条件与必要条件的判断，即对命题“若p，则q”与“若q，则p”进行真假判断,若是一真一假则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件；若是两真则p是q的充要条件；若是两假则p是q的即不充分又不必要条件．

充分条件、必要条件的判断

[例1]　下列各题中,p是q的什么条件？

（1）p：

a，b，c三数成等比数列,q：

b＝

；

（2）p：

y＋x>4，q:

x>1,y〉3;

（3）p：

a〉b，q：

2a〉2b；

（4）p：

△ABC是直角三角形，q：

△ABC为等腰三角形．

［思路点拨］　可先看p成立时，q是否成立，再反过来若q成立时，p是否成立，从而判定p，q间的关系．

[精解详析]　

（1）若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，b＝±

，则p⇒/q；若b＝

，当a＝0，b＝0时，a，b，c不成等比数列,即q⇒/p,故p是q的既不充分也不必要条件．

（2）y＋x〉4不能得出x>1，y〉3,即p⇒/q，而x〉1，y>3可得x＋y〉4,即q⇒p，故p是q的必要不充分条件．

（3）当a〉b时，有2a〉2b,即p⇒q,当2a>2b时，可得a>b,即q⇒p,故p是q的充要条件．

（4）法一：

若△ABC是直角三角形不能得出△ABC为等腰三角形，即p⇒/q；若△ABC为等腰三角形也不能得出△ABC为直角三角形，即q⇒/p，故p是q的既不充分也不必要条件．

法二：

如图所示：

p,q对应集合间无包含关系,故p是q的既不充分也不必要条件．

［一点通]　

充分必要条件判断的常用方法：

（1）定义法：

分清条件和结论，利用定义判断．

（2）等价法：

将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断．

（3）集合法：

设A＝｛x|p（x）}，B＝{x｜q（x）｝,若x具有性质p，则x∈A；若x具有性质q，则x∈B.

①若AB，则p是q的充分不必要条件；

②若BA，则p是q的必要不充分条件;

③若A＝B，则p是q的充要条件；

④若A⃘B且B⃘A，则p是q的既不充分又不必要条件．

1．设集合A＝{x|

≤0｝，集合B＝{x||x－2｜≤1},那么“m∈A"是“m∈B”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

解析：

集合A＝{x|0≤x＜3}，集合B＝｛x｜1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”,反之由“m∈B”也得不到“m∈A”，故选D。

答案：

D

2．对任意实数a,b，c给出下列命题：

①“a＝b”是“ac＝bc"的充要条件；

②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;

③“a〉b”是“a2〉b2"的充分条件；

④“a〈5”是“a〈3"的必要条件．

其中,真命题的序号是________．

解析:

①由a＝b可得ac＝bc。

但ac＝bc时不一定有a＝b，故①为假命题；②由“a＋5为无理数”可得“a为无理数”，由“a为无理数”可得“a＋5为无理数”，②为真命题；③由“a>b”不能得出a2>b2,如a＝1,b＝－2，③为假命题；④“由a<5”不能得“a<3"，而由“a〈3”可得“a<5”,④为真命题．

答案：

②④

3．指出下列各组命题中p是q的什么条件，q是p的什么条件，并说明理由．

（1）p：

｜x|＝|y｜，q：

x＝y；

（2）在△ABC中,p:

sinA＞

，q:

A＞

.

解：

（1）因为|x｜＝|y｜⇒x＝y或x＝－y，但x＝y⇒|x｜＝｜y|，所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．

（2）因为0＜A＜π时，sinA∈（0，1］，且A∈（0,

］时，sinA单调递增，A∈[

，π）时，sinA单调递减，所以sinA＞

⇒A＞

，但A＞

⇒/sinA＞

。

所以p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件。

充要条件的证明和求解

　　［例2］　已知数列{an｝的前n项和Sn＝pn＋q（p≠0且p≠1），

求证：

数列｛an}为等比数列的充要条件为q＝－1。

［思路点拨］　本题可分充分性和必要性两种情况证明，即由q＝－1推证数列｛an｝为等比数列和由数列｛an}满足Sn＝pn＋q（p≠0且p≠1）为等比数列推证q＝－1。

[精解详析]　（充分性）当q＝－1时,a1＝S1＝p－1；当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝pn－1（p－1），且n＝1时也成立．于是

＝

＝p（p≠0且p≠1）,即｛an｝为等比数列．

（必要性）当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1（p－1）．

因为p≠0且p≠1，所以当n≥2时，

＝

＝p，可知等比数列{an｝的公比为p.

故

＝

＝p，即p－1＝p＋q，求得q＝－1.

综上可知,q＝－1是数列｛an}为等比数列的充要条件．

[一点通］　

充要条件的证明问题，要证明两个方面，一是充分性，二是必要性．为此必须要搞清条件，在“A是B的充要条件"中，A⇒B是充分性，B⇒A是必要性；在“A的充要条件是B”中，A⇒B是必要性，B⇒A是充分性．

4．不等式x2－ax＋1〉0的解集为R的充要条件是____________．

解析:

若x2－ax＋1>0的解集为R,则Δ＝a2－4〈0，即－2〈a〈2。

又当a∈（－2，2）时,Δ〈0,可得x2－ax＋1〉0的解集为R，故不等式x2－ax＋1〉0的解集为R的充要条件是－2〈a〈2。

答案：

－2

5．等差数列｛an}的首项为a，公差为d，其前n项和为Sn，则数列｛Sn}为递增数列的充要条件是________．

解析：

由Sn＋1＞Sn（n∈N＋）⇔（n＋1）a＋

d＞na＋

d（n∈N＋）⇔dn＋a＞0（n∈N＋）⇔d≥0且d＋a＞0.因此数列｛Sn}为递增数列的充要条件是d≥0且d＋a＞0.

答案：

d≥0且d＋a＞0

6．求证：

关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0。

证明：

先证必要性：

∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，

∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.

∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.

∴必要性成立．

再证充分性：

∵a＋b＋c＝0,∴c＝－a－b.

代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得:

ax2＋bx－a－b＝0，即（x－1）（ax＋b＋a）＝0。

故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.

故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0。

充分条件、必要条件的应用

[例3］　已知p：

关于x的不等式

＜x＜

，q:

x（x－3）＜0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

［思路点拨］　求出q对应的集合，然后把问题转化为集合间的包含关系求解．

[精解详析］　记A＝｛x｜

＜x＜

}，B＝

{x｜x（x－3）＜0}＝{x|0＜x＜3｝，

若p是q的充分不必要条件，则AB。

注意到B＝｛x|0＜x＜3}≠∅，分两种情况讨论：

（1）若A＝∅，即

≥

，解得m≤0,此时AB,符合题意；

（2）若A≠∅，即

＜

解得m＞0，

要使AB，应有

综上可得，实数m的取值范围是（－∞，3）．

[一点通]　

将充分、必要条件转化为集合的包含关系,是解决该类问题的一种有效的方法，关键是准确把p,q用集合表示，借助数轴,利用数形结合的方法建立方程或不等式，求参数的范围．

7．已知条件p：

x2＋x－6＝0，条件q：

mx＋1＝0（m≠0），且q是p的充分不必要条件，求m的值．

解:

解x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，

令A＝｛2，－3｝，B＝

，

∵q是p的充分不必要条件，∴BA。

当－

＝2时，m＝－

;当－

＝－3时，m＝

.

所以m＝－

或m＝

。

8．已知M＝｛x|（x－a）2<1}，N＝｛x｜x2－5x－24<0｝，若x∈M是x∈N的充分条件，求a的取值范围．

解：

由（x－a）2<1得

x2－2ax＋（a－1）（a＋1）〈0，

∴a－1

又由x2－5x－24〈0得－3〈x〈8，N＝｛x|－3〈x〈8｝．

∵x∈M是x∈N的充分条件，∴M⊆N,

∴

解得－2≤a≤7.

故a的取值范围是[－2，7]．

1．充分必要条件与四种命题之间的对应关系;

（1）若p是q的充分条件，则原命题“若p,则q”及它的逆否命题都是真命题;

（2）若p是q的必要条件，则逆命题及否命题为真命题;

（3）若p是q的充要条件，则四种命题均为真命题．

2．涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，常利用命题的等价性进行转化，从集合的包含、相等关系上来考虑制约关系．

1．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（　　）

A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

当1＜x＜2时，必有x＜2；而x＜2时，如x＝0,推不出1＜x＜2,所以“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要条件．

答案：

A

2．函数f（x）＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是（　　）

A．m＝－2B．m＝2

C．m＝－1D．m＝1

解析:

函数f（x）＝x2＋mx＋1的图像关于x＝1对称⇔－

＝1⇔m＝－2.

答案：

A

3．已知命题p:

“a，b，c成等差数列”,命题q：

“

＋

＝2”，则命题p是命题q的（　　）

A．必要不充分条件B．充分不必要条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

若

＋

＝2,则a＋c＝2b，由此可得a，b，c成等差数列；当a，b，c成等差数列时，可得a＋c＝2b，但不一定得出

＋

＝2，如a＝－1,b＝0，c＝1。

所以命题p是命题q的必要不充分条件,故选A。

答案:

A

4．“a＞3"是“函数f（x）＝ax＋2在区间[－1，2]上存在零点”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

当a＞3时，f（－1）f

（2）＝（－a＋2）（2a＋2）＜0，即函数f（x）＝ax＋2在区间［－1，2］上存在零点；但当函数f（x）＝ax＋2在区间[－1，2]上存在零点；不一定是a＞3,如当a＝－3时，函数f（x）＝ax＋2＝－3x＋2在区间［－1，2]上存在零点．所以“a＞3”是“函数f（x）＝ax＋2在区间［－1，2]上存在零点”的充分不必要条件，故选A.

答案：

A

5．直线l：

x－y＋m＝0与圆C：

（x＋1）2＋y2＝2有公共点的充要条件是________．

解析:

直线l与圆C有公共点⇔

≤

⇔|m－1｜≤2⇔－1≤m≤3.

答案：

m∈[－1,3]

6．在下列各项中选择一项填空：

①充分不必要条件

②必要不充分条件

③充要条件

④既不充分也不必要条件

（1）记集合A＝{－1，p，2},B＝{2，3｝，则“p＝3"是“A∩B＝B”的________；

（2）“a＝1"是“函数f（x）＝｜2x－a|在区间

上为增函数”的________．

解析:

（1）当p＝3时,A＝｛－1,2,3｝,此时A∩B＝B;若A∩B＝B，则必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．

（2）当a＝1时，f（x）＝|2x－a｜＝｜2x－1|在

上是增函数；但由f（x）＝|2x－a｜在区间［

，＋∞）上是增函数不能得到a＝1，如当a＝0时，函数f（x）＝|2x－a｜＝|2x｜在区间

上是增函数．因此“a＝1"是“函数f（x）＝|2x－a|在区间［

，＋∞）上为增函数”的充分不必要条件．

答案：

（1）③　

（2）①

7．指出下列各组命题中，p是q的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件,既不充分也不必要条件）？

（1）p:

△ABC中，b2＞a2＋c2，q：

△ABC为钝角三角形;

（2）p：

△ABC有两个角相等，q：

△ABC是正三角形;

（3）若a，b∈R,p：

a2＋b2＝0,q：

a＝b＝0；

（4）p:

△ABC中，A≠30°，q:

sinA≠

.

解：

（1）△ABC中，∵b2＞a2＋c2,∴cosB＝

＜0，

∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形，反之若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2＜a2＋c2.

∴p⇒q，q⇒/p,故p是q的充分不必要条件．

（2）有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立,

∴p⇒/q,q⇒p，故p是q的必要不充分条件．

（3）若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0,即q⇒p，所以p是q的充要条件．

（4）转化为△ABC中sinA＝

是A＝30°的什么条件．

∵A＝30°⇒sinA＝

，但是sinA＝

⇒/A＝30°，

∴△ABC中sinA＝

是A＝30°的必要不充分条件．

即p是q的必要不充分条件．

8．求方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件．

解：

①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－

，不符合要求；

②当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，有两个不相等的负实根的充要条件为

解得0〈a〈1.

所以ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件是0〈a〈1。