16.C8、C9[2014·新课标全国卷Ⅱ]设点M(x0,1),若在圆O:
x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是________.
16.[-1,1] [解析]在△OMN中,OM=≥1=ON,所以设∠ONM=α,则45°≤α<135°.根据正弦定理得=,所以=sinα∈[1,],所以0≤x≤1,即-1≤x0≤1,故符合条件的x0的取值范围为[-1,1].
17.D1、D3、D5[2014·新课标全国卷Ⅱ]已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(1)证明是等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)证明++…+<.
17.解:
(1)由an+1=3an+1得an+1+=3.
又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列,所以an+=,因此数列{an}的通项公式为an=.
(2)证明:
由
(1)知=.
因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,
所以≤,即=≤.
于是++…+≤1++…+=<.
所以++…+<.
18.G4、G10[2014·新课标全国卷Ⅱ]如图13,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)证明:
PB∥平面AEC;
(2)设二面角DAEC为60°,AP=1,AD=,求三棱锥EACD的体积.
图13
18.解:
(1)证明:
连接BD交AC于点O,连接EO.
因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.
又E为PD的中点,所以EO∥PB.
因为EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,
所以PB∥平面AEC.
(2)因为PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,
所以AB,AD,AP两两垂直.
如图,以A为坐标原点,,AD,AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,||为单位长,建立空间直角坐标系Axyz,则D,E,=.
设B(m,0,0)(m>0),则C(m,,0),=(m,,0).
设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,
则即
可取n1=.
又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,
由题设易知|cos〈n1,n2〉|=,即
=,解得m=.
因为E为PD的中点,所以三棱锥EACD的高为.三棱锥EACD的体积V=××××=.
19.I4[2014·新课标全国卷Ⅱ]某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:
千元)的数据如下表:
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用
(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
=,=-.
19.解:
(1)由所给数据计算得=(1+2+3+4+5+6+7)=4,=(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,
(ti-)(yi-)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,
===0.5,
=-=4.3-0.5×4=2.3,
所求回归方程为=0.5t+2.3.
(2)由
(1)知,=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.
将2015年的年份代号t=9,代入
(1)中的回归方程,得=0.5×9+2.3=6.8,
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.
20.H5、H8、H10[2014·新课标全国卷Ⅱ]设F1,F2分别是椭圆C:
+=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=
5|F1N|,求a,b.
20.解:
(1)根据c=及题设知M,2b2=3ac.
将b2=a2-c2代入2b2=3ac,
解得=,=-2(舍去).
故C的离心率为.
(2)由题意知,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.①
由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.
设N(x1,y1),由题意知y1<0,则
即
代入C的方程,得+=1.②
将①及c=代入②得+=1,
解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.
21.B12、B14[2014·新课标全国卷Ⅱ]已知函数f(x)=ex-e-x-2x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值;
(3)已知1.4142<<1.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001).
21.解:
(1)f′(x)=ex+e-x-2≥0,当且仅当x=0时,等号成立,
所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,
g′(x)=2[e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)]
=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2).
(i)当b≤2时,g′(x)≥0,等号仅当x=0时成立,所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.而g(0)=0,所以对任意x>0,g(x)>0.
(ii)当b>2时,若x满足2综上,b的最大值为2.
(3)由
(2)知,g(ln)=-2b+2(2b-1)ln2.
当b=2时,g(ln)=-4+6ln2>0,ln2>>0.6928;
当b=+1时,ln(b-1+)=ln,
g(ln)=--2+(3+2)ln2<0,
ln2<<0.6934.
所以ln2的近似值为0.693.
22.N1[2014·新课标全国卷Ⅱ]选修41:
几何证明选讲
如图14,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E,证明:
(1)BE=EC;
(2)AD·DE=2PB2.
图14
22.证明:
(1)连接AB,AC.由题设知PA=PD,
故∠PAD=∠PDA.
因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,
∠PAD=∠BAD+∠PAB,
∠DCA=∠PAB,
所以∠DAC=∠BAD,从而BE=EC.
因此BE=EC.
(2)由切割线定理得PA2=PB·PC.
因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.
由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,
所以AD·DE=2PB2.
23.N3[2014·新课标全国卷Ⅱ]选修44:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈.
(1)求C的参数方程;
(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:
y=x+2垂直,根据
(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
23.解:
(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).
可得C的参数方程为
(t为参数,0≤t≤π).
(2)设D(1+cost,sint).由
(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,tant=,t=.
故D的直角坐标为,即.
24.N4[2014·新课标全国卷Ⅱ]选修45:
不等式选讲
设函数f(x)=+|x-a|(a>0).
(1)证明:
f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范围.
24.解:
(1)证明:
由a>0,有f(x)=+|x-a|≥=+a≥2,所以f(x)≥2.
(2)f(3)=+|3-a|.
当a>3时,f(3)=a+,
由f(3)<5得3当0综上,a的取值范围是.