正、余弦定理应用习题及答案.doc

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§4.7　正弦定理、余弦定理应用习题

（时间：

45分钟　满分：

100分）

一、选择题（每小题7分，共35分）

1．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（　　）

A．50mB．50m

C．25mD.m

2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时（　　）

A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里

3．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为（　　）

A．1B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°

4．（2010·天津）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A等于（　　）

A．30°B．60°C．120°D．150°

5．某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是km，那么x的值为（　　）

A.B．2C.或2D．3

二、填空题

6．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______km.

7．（2010·全国）在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝，∠ADB＝135°，若AC＝AB，则BD＝________.

8．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝______.

9．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝2csinA，则角C＝________.

三、解答题（共41分）

10．（13分）在△ABC中，已知cosA＝.

（1）求sin2－cos（B＋C）的值；

（2）若△ABC的面积为4，AB＝2，求BC的长．

11．（14分）如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船向正南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°方向，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°方向，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？

12．（14分）（2010·陕西）如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3＋）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？

答案 1．A　2.C　3.C　4.A5.C　

6．307．2＋8.9.

10．解　

（1）sin2－cos（B＋C）＝＋cosA＝＋＝.

（2）在△ABC中，∵cosA＝，∴sinA＝.

由S△ABC＝4，得bcsinA＝4，得bc＝10.∵c＝AB＝2，∴b＝5.

∴BC2＝a2＝b2＋c2－2bccosA＝52＋22－2×5×2×＝17.∴BC＝.

11．解　在△ABC中，BC＝30，∠B＝30°，

∠ACB＝180°－45°＝135°，所以∠A＝15°.

由正弦定理，得＝，即＝，

所以AC＝＝15（＋）．

所以A到BC的距离为AC·sin45°＝15（＋）×

＝15（＋1）≈15×（1.732＋1）＝40.98（海里）．

这个距离大于38海里，所以继续向南航行无触礁的危险．

12．解　由题意知AB＝5（3＋）海里，

∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，

∴∠ADB＝180°－（45°＋30°）＝105°.

在△DAB中，由正弦定理，得＝，

∴DB＝＝

＝＝＝10（海里）．

又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋（90°－60°）＝60°，

BC＝20（海里），

在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC

＝300＋1200－2×10×20×＝900，

∴CD＝30（海里），

∴需要的时间t＝＝1（小时）．故救援船到达D点需要1小时．