相似三角形模型分析大全Word下载.docx
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母子型相似三角形
例1、已知:
如图,△ABC中,点E在中线AD上,.
求证:
(1);
(2).A
C
D
E
B
例2、已知:
如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,CG∥AB,BG分别交AD、AC于E、F.
.
点评:
本题考查了等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质.关键是能根据所证连接CE
相关练习:
1、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD交于点O,BE∥CD交CA延长线于E.
求证:
2、如图,已知AD为△ABC的角平分线,EF为AD的垂直平分线.求证:
3、A
P
(第4题图)
已知:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,BC=2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点,PD⊥AB,交边AC于点D(点D与点A、C都不重合),E是射线DC上一点,且∠EPD=∠A.设A、P两点的距离为x,△BEP的面积为y.
(1)求证:
AE=2PE;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)当△BEP与△ABC相似时,求△BEP的面积.
双垂型
1、如图,在△ABC中,∠A=60°
,BD、CE分别是AC、AB上的高
(1)△ABD∽△ACE;
(2)△ADE∽△ABC;
(3)BC=2ED
解答:
证明:
(1)∵CE⊥AB于E,BF⊥AC于F,
∴∠AFB=∠AEC,∠A为公共角,
∴△ABD∽△ACE(两角对应相等的两个三角形相似).
(2)由
(1)得AB:
AC=AD:
AE,∠A为公共角,
∴△ADE∽△ABC(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)
(3)∵△ADE∽△ABC
∴AD:
AB=DE:
BC
又∵∠A=60°
∴BC=2ED
共享型相似三角形
1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=,已知BD=1,CE=3,,求等边三角形的边长.
如图∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°
又∵DBCE在一条直线上
∴∠ADB+∠DAB=∠CAE+∠AEC=∠ABC=60°
∵∠DAE=120°
∴∠DAB+∠CAE=∠DAE-∠BAC=120°
-60°
=60°
由上可知∠ADB=∠CAE,∠DAB=∠CAE
∴△DAB∽△AEC
∵三角形相似对应边成比例
∴BD/AC=AB/CE
∵BD=1,CE=3
∴AB=AC=√3
2、已知:
如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠DAE=45°
(1)△ABE∽△ACD;
(2).
(1)在Rt△ABC中,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=45°
.(1分)
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE,∠DAE=45°
,
∴∠BAE=∠BAD+45°
而∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45°
,(1分)
∴∠BAE=∠CDA.(1分)
∴△ABE∽△DCA.(2分)
(2)由△ABE∽△DCA,得.(2分)
∴BE•CD=AB•AC.(1分)
而AB=AC,BC2=AB2+AC2,
∴BC2=2AB2.(2分)
∴BC2=2BE•CD.(1分)
点评:
此题考查了相似三角形的判定和性质,特别是与勾股定理联系起来综合性很强,难度较大.
一线三等角型相似三角形C
A
F
例1:
如图,等边△ABC中,边长为6,D是BC上动点,∠EDF=60°
△BDE∽△CFD
(2)当BD=1,FC=3时,求BE
(1)∵△ABC是等边三角形∴∠B=∠C=60°
∵∠EDF=60°
∴∠CDF+∠EDB=180°
-∠EDF=120°
∠BED+∠EDB=180°
-∠B=120°
∴∠CDF=∠BED
∵∠B=∠C∴△BDE相似△CFD
2、∵BD=1
∴CD=BC-BD=6-1=5
∵△BDE相似△CFD∴BE/CD=BD/CF
BE/5=1/3BE=5/3
例2、已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2.
(1)如图8,P为AD上的一点,满足∠BPC=∠A.
①求证;
△ABP∽△DPC
②求AP的长.
(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么
①当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
②当CE=1时,写出AP的长.
解:
(1)∵ABCD是梯形,AD∥BC,AB=DC.
∴∠A=∠D
∵∠ABP+∠APB+∠A=180°
,∠APB+∠DPC+∠BPC=180°
,∠BPC=∠A
∴∠ABP=∠DPC,
∴△ABP∽△DPC
∴,即:
解得:
AP=1或AP=4.
(2)①由
(1)可知:
△ABP∽△DPQ
,∴(1<x<4).
②当CE=1时,AP=2或.
本题结合梯形的性质考查二次函数的综合应用,利用相似三角形得出线段间的比例关系是求解的关键.
例3:
如图,在梯形中,∥,,.点为边的中点,以为顶点作,射线交腰于点,射线交腰于点,联结.
△∽△;
(2)若△是以为腰的等腰三角形,求的长;
(3)若,求的长
1.证明:
∵AB=CD.
∴梯形ABCD为等腰梯形,∠B=∠C;
又∠EMF=∠B,则:
∠CMF=180度-∠EMF-∠BME=180度-∠B-∠BME=∠BEM.
∴⊿CMF∽⊿BEM,MF/EM=CM/BE=BM/BE.
∵MF/EM=BM/BE;
∠EMF=∠B.
∴△MEF∽△BEM.
2.解:
当BM=BE=3时:
MF/ME=BM/BE=1,则MF=ME.
∴EF∥BC;
又BE=3=AB/2.故EF为梯形的中位线,EF=(AD+BC)/2=9/2;
当ME=BM=3时:
∠MEB=∠B=∠C=∠FMC.
连接DM.BM=BC/2=3=AD,又BM平行BM,则四边形ABMD为平行四边形.
∴∠DMC=∠B=∠FMC,即F与D重合,此时EF=CD=6.
3.解:
∵EF⊥CD;
∠CFM=∠BME=∠EFM.
∴∠EFM=45°
=∠BME.
作EG⊥BM于G,则EG=GM;
作AH⊥BM于H.BH=(BC-AD)/2=3/2,AH=√(AB²
-BH²
)=3√15/2.
设EG=GM=X,则BG=3-X.BG/BH=EG/AH,(3-X)/(3/2)=X/(3√15/2),X=(45-3√15)/14.
BE/BA=EG/AH,即BE/6=[(45-3√15)/14]/(3√15/2),BE=(6√15-6)/7.
练习:
如图,已知边长为的等边,点在边上,,点是射线上一动点,以线段为边向右侧作等边,直线交直线于点,
(1)写出图中与相似的三角形;
(2)证明其中一对三角形相似;
(3)设,求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(4)若,试求的面积.
备用图
一线三直角型相似三角形
例:
已知矩形ABCD中,CD=2,AD=3,点P是AD上的一个动点,且和点A,D不重合,过点P作,交边AB于点E,设,
(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围。
(2)如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍,求CE的长;
(3)是否存在点P,使△APE沿PE翻折后,点A落在BC上?
证明你的结论。
(1)解:
∵PE⊥CP,
∴可得:
△EAP∽△PDC,∴,
又∵CD=2,AD=3,设PD=x,AE=y,∴,∴y=-,0<x<3;
(2)解:
当△PCD的面积是△AEP面积的4倍,
则:
相似比为2:
1,∴,
∵CD=2,∴AP=1,PD=2,∴PE=,PC=2,∴EC=.
(3)不存在.
作AF⊥PE,交PE于O,BC于F,连接EF
∵AF⊥PE,CP⊥PE∴AF=CP=,PE=,
∵△CDP∽△POA
∴=,OA=,
若OA=AF=,3x2-6x+4=0△=62-4×
4×
3=-12x无解因此,不存在.
此题主要考查了相似三角形的判定,以及相似三角形面积比是相似比的平方.
相关练习
1、(2009虹口二模)如图,在中,,,,是边的中点,为边上的一个动点,作,交射线于点.设,的面积为.
(1)求关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)如果以、、为顶点的三角形与相似,求的面积.
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