相似三角形典型模型及例题.doc
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1：
相似三角形模型
一：
相似三角形判定的基本模型
（一）A字型、反A字型（斜A字型）
（平行） （不平行）
（二）8字型、反8字型
（蝴蝶型）
（平行）（不平行）
（三）母子型
（四）一线三等角型：
三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：
（五）一线三直角型：
三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：
当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。
（六）双垂型：
二：
相似三角形判定的变化模型
旋转型：
由A字型旋转得到
8字型拓展
G
A
B
C
E
F
共享性
一线三等角的变形
一线三直角的变形
2：
相似三角形典型例题
（1）母子型相似三角形
例1：
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．
求证：
．
例2：
已知：
如图，△ABC中，点E在中线AD上,．
求证：
（1）；
（2）．
A
C
D
E
B
例3：
已知：
如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．
求证：
．
1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：
．
2、已知：
AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
求证：
（1）△AME∽△NMD;
（2）ND=NC·NB
3、已知：
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：
EB·DF=AE·DB
4.在中，AB=AC，高AD与BE交于H，，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。
求证：
5已知：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
（1）求证：
AE=2PE；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．
A
C
B
P
D
E
（2）双垂型
1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高
求证：
（1）△ABD∽△ACE；
（2）△ADE∽△ABC；（3）BC=2ED
2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=6，求：
点B到直线AC的距离。
（3）共享型相似三角形
1、△ABC是等边三角形，DBCE在一条直线上,∠DAE=120°,已知BD=1，CE=3，求等边三角形的边长.
2、已知：
如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．
求证：
（1）△ABE∽△ACD；
（2）．
C
A
D
B
E
F
（4）一线三等角型相似三角形
例1：
如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°
（1）求证：
△BDE∽△CFD
（2）当BD=1，FC=3时，求BE
例2：
（1）在中，，，点、分别在射线、上（点不与点、点重合），且保持.
①若点在线段上（如图），且，求线段的长；
②若，，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
A
B
C
A
B
C
P
Q
（2）正方形的边长为（如下图），点、分别在直线、上（点不与点、点重合），且保持.当时，求出线段的长.
A
B
C
D
A
B
C
D
例3：
已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．
（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．
①求证；△ABP∽△DPC
②求AP的长．
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么
①当点Q在DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当CE＝1时，写出AP的长．
C
D
A
B
P
例4：
如图，在梯形中，∥，，．点为边的中点，以为顶点作，射线交腰于点，射线交腰于点，联结．
（1）求证：
△∽△；
（2）若△是以为腰的等腰三角形，求的长；
（3）若，求的长．
1、如图，在△ABC中，，，是边上的一个动点，点在边上，且．
（1）求证：
△ABD∽△DCE；
（2）如果，，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域；
（3）当点是的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．
A
B
C
D
E
2、如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点，联结DE，并作，射线EF交线段AC于F．
（1）求证：
△DBE∽△ECF；
（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；
（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．
3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点．
（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：
△BEP∽△CPD；
（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么
①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当时，求BP的长．
E
D
C
B
A
P
4、如图，已知边长为的等边，点在边上，，点是射线上一动点，以线段为边向右侧作等边，直线交直线于点，
（1）写出图中与相似的三角形；
（2）证明其中一对三角形相似；
（3）设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（4）若，试求的面积．
（5）一线三直角型相似三角形
例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作，交边AB于点E,设，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。
例2、在中，是AB上的一点，且，点P是AC上的一个动点，交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），设，试求关于x的函数关系，并写出定义域。
1.在直角中，，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，交射线AC于点F
（1）、求AC和BC的长
（2）、当时，求BE的长。
（3）、连结EF,当和相似时，求BE的长。
2.在直角三角形ABC中，是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），与射线BC相交于点F.
（1）、当点D是边AB的中点时，求证：
（2）、当，求的值
（3）、当，设,求y关于x的函数关系式，并写出定义域
3.如图，在中，，，，是边的中点，为边上的一个动点，作，交射线于点．设，的面积为．
（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如果以、、为顶点的三角形与相似，求的面积.
4.如图,在梯形中，,，是腰上一个动点（不含点、）,作交于点.（图1）
（1）求的长与梯形的面积；
（2）当时,求的长；（图2）
（3）设,试求关于的函数解析式,并写出定义域.
Q
P
D
C
B
A
Q
P
D
C
B
A
10
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