相似三角形模型分析大全Word下载.docx
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⑥有一个内角是100°
的两个等腰三角形,其中一定是相似图形的是_________(填序号).
解析:
根据相似图形的定义知,相似图形的形状相同,但大小不一定相同,而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形,而圆、正多边形、顶角为100°
的等腰三角形的形状不唯一,它们都相似.答案:
②⑤⑥.
知识点2.比例线段
对于四条线xxa,b,c,d,如果其中两条线xx的xx的比与另两条线xx的xx的比相等,即(或a:
b=c:
d)那么这四条线xx叫做成比例线xx,简称比例线xx.
(1)四条线xxa,b,c,d成比例,记作(或a:
d),不能写成其他形式,即比例线xx有顺序性.
(2)在比例式(或a:
d)中,比例的项为a,b,c,d,其中a,d为比例外项,b,c为比例内项,d是第四比例项.
(3)如果比例内项是相同的线段,即或a:
b=b:
c,那么线段b叫做线段和的比例中项。
(4)通常四条线xxa,b,c,d的单位应一致,但有时为了计算方便,a和b统一为一个单位,c和d统一为另一个单位也可以,因为整体表示两个比相等.
例3.已知线段a=,b=,求.
求即求与xx的比,与的单位不同,先统一单位,再求比.
例4.已知a,b,c,d成比例,且a=,b=3dm,d=dm,求c的xx.
由a,b,c,d成比例,写出比例式a:
d,再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c.
知识点3.相似多边形的性质
相似多边形的性质:
相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
(1)正确理解相似多边形的定义,明确“对应”关系.
(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写,且要明确相似比具有顺序性.
例5.若四边形ABCD的四边长分别是4,6,8,10,与四边形ABCD相似的四边形A1B1D1的最大边长为30,则四边形A1B1D1的最小边长是多少?
四边形ABCD与四边形A1B1D1相似,且它们的相似比为对应的最大边长的比,即为,再根据相似多边形对应边成比例的性质,利用方程思想求出最小边的长.
知识点4.相似三角形的概念
对应角相等,对应xx比相等的三角形叫做相似三角形.
(1)相似三角形是相似多边形中的一种;
(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形;
(3)相似三角形应满足形状一样,但大小可以不同;
(4)相似用“∽”表示,读作“相似于”;
(5)相似三角形的对应xx比叫做相似比.
注意:
①相似比是有顺序的,比如△ABC∽△A1B1,相似比为k,若△A1B1∽△ABC,则相似比为。
②若两个三角形的相似比为1,则这两个三角形全等,全等三角形是相似三角形的特殊情况。
若两个三角形全等,则这两个三角形相似;
若两个三角形相似,则这两个三角形不一定全等.
例6.如图,已知△ADE∽△ABC,DE=2,BC=4,则和的相似比是多少?
点D,E分别是AB,AC的中点吗?
解决此类问题应注意两方面:
(1)相似比的顺序性,
(2)图形的识别.
因为△ADE∽△ABC,所以,因为,
所以,所以D,E分别是AB,AC的中点.
知识点5.相似三角的判定方法
(1)定义:
对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似;
(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的xx)所构成的三角形与原三角形相似.
(3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
(4)如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.
(5)如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.
例7.如图,点D在△ABC的边ABxx,满足怎样的条件时,△ACD与△ABC相似?
试分别加以列举.
此题属于xx问题,由相似三角形的判别方法可知,△ACD与△ABC已有公共角∠A,要使此两个三角形相似,可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可.
当满足以下三个条件之一时,△ACD∽△ABC
条件一:
∠1=∠B;
条件二:
∠2=∠ACB;
条件三:
,即AC2=AD·
AB.
知识点6.相似三角形的性质
(1)对应角相等,对应边的比相等;
(2)对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比都等于相似比;
(3)相似三角形周长之比等于相似比;
面积之比等于相似比的平方.
例8.如图,已知△ADE∽△ABC,AD=8,BD=4,BC=15,EC=7
(1)求DE、AE的长;
(2)你还能发现哪些线段成比例.
此题重点考查由两个三角形相似,可得到对应边成例,即.
例9.已知△ABC∽△A1B1,,=,△ABC的周长为,面积为2.
求
(1)△A1B1的周长;
(2)△A1B1的面积.
根据相似三角形周长之比等于相似比;
面积之比等于相似比的平方求解.
易求出△A1B1的周长为;
△A1B1的面积2
第二部分相似三角形模型分析大全
1、相似三角形判定的基本模型认识
(一)A字型、反A字型(斜A字型)
(平行)(不平行)
(二)8字型、反8字型
(蝴蝶型)
(三)母子型
(四)一线三等角型:
三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景
(五)一线三直角型:
(6)双垂型:
2、相似三角形判定的变化模型
旋转型:
由A字型旋转得到。
8字型拓展
共享性
一线三等角的变形
一线三直角的变形
第三部分相似三角形典型例题讲解
母子型相似三角形
例1:
如图,梯形ABCDxx,AD∥BC,对角线AC、BD交于点O,BE∥CD交CAxx于E.
求证:
.
例2:
已知:
如图,△ABCxx,点E在xx线ADxx,.
(1);
(2).
例3:
如图,等腰△ABCxx,AB=AC,AD⊥BC于D,CG∥AB,BG分别交AD、AC于E、F.
相关练习:
1、如图,已知AD为△ABC的角平分线,EF为AD的垂直平分线.求证:
2、已知:
AD是Rt△ABCxx∠A的平分线,∠C=90°
,EF是AD的垂直平分线交AD于M,EF、BC的xx交于一点N。
(1)△AME∽△NMD;
(2)ND=NC·
NB
3、已知:
如图,在△ABCxx,∠ACB=90°
,CD⊥AB于D,E是ACxx一点,CF⊥BE于F。
EB·
DF=AE·
DB
5.已知:
如图,在Rt△ABCxx,∠C=90°
,BC=2,AC=4,P是斜边ABxx的一个动点,PD⊥AB,交边AC于点D(点D与点A、C都不重合),E是射线DCxx一点,且∠EPD=∠A.设A、P两点的距离为x,△BEP的面积为y.
(1)求证:
AE=2PE;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)当△BEP与△ABC相似时,求△BEP的面积.
双垂型
1、如图,在△ABCxx,∠A=60°
,BD、CE分别是AC、AB上的高
(1)△ABD∽△ACE;
(2)△ADE∽△ABC;
(3)BC=2ED
2、如图,已知锐角△ABC,AD、CE分别是BC、AB边上的高,△ABC和△BDE的面积分别是27和3,DE=6,求:
点B到直线AC的距离。
共享型相似三角形
1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=,已知BD=1,CE=3,,求等边三角形的边长.
如图,在Rt△ABCxx,AB=AC,∠DAE=45°
(1)△ABE∽△ACD;
(2).
一线三等角型相似三角形
如图,等边△ABCxx,边长为6,D是BC上动点,∠EDF=60°
△BDE∽△CFD
(2)当BD=1,FC=3时,求BE
(1)在xx,,,点、分别在射线、上(点不与点、点重合),且保持.
①若点在线段上(如图),且,求线段的长;
②若,,求与之间的函数关系式,并写出函数的定义域;
(2)正方形的边长为(如下图),点、分别在直线、上(点不与点、点重合),且保持.当时,求出线段的长.
已知在梯形ABCDxx,AD∥BC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2.
(1)如图8,P为AD上的一点,满足∠BPC=∠A.
①求证;
△ABP∽△DPC
②求AP的长.
(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么
①当点Q在线段DC的xx上时,设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
②当CE=1时,写出AP的长.
例4:
如图,在梯形中,∥,,.点为边的中点,以为顶点作,射线交腰于点,射线交腰于点,联结.
△∽△;
(2)若△是以为腰的等腰三角形,求的长;
(3)若,求的长.
1、如图,在△ABCxx,,,是边上的一个动点,点在边上,且.
(1)求证:
△ABD∽△DCE;
(2)如果,,求与的函数解析式,并写出自变量的定义域;
(3)当点是的中点时,试说明△ADE是什么三角形,并说明理由.
2、如图,已知在△ABCxx,AB=AC=6,BC=5,D是AB上一点,BD=2,E是BC上一动点,联结DE,并作,射线EF交线段AC于F.
△DBE∽△ECF;
(2)当F是线段AC中点时,求线段BE的长;
(3)联结DF,如果△DEF与△DBE相似,求FC的长.
3、已知在梯形ABCDxx,AD∥BC,AD<BC,且BC=6,AB=DC=4,点E是AB的xx点.
(1)如图,P为BC上的一点,且BP=2.求证:
△BEP∽△CPD;
(2)如果点P在BC边上移动(点P与点B、C不重合),且满足∠EPF=∠C,PF交直线CD于点F,同时交直线AD于点M,那么
①当点F在线段CD的xx上时,设BP=,DF=,求关于的函数解析式,并写出函数的定义域;
②当时,求BP的长.
4、如图,已知边长为的等边,点在边上,,点是射线上一动点,以线段为边向右侧作等边,直线交直线于点,
(1)写出图中与相似的三角形;
(2)证明其中一对三角形相似;
(3)设,求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(4)若,试求的面积.
一线三直角型相似三角形
例1、已知矩形ABCDxx,CD=2,AD=3,点P是AD上的一个动点,且和点A,D不重合,过点P作,交边AB于点E,设,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围。
例2、在xx,是AB上的一点,且,点P是AC上的一个动点,交线段BC于点Q,(不与点B,C重合),设,试求关于x的函数关系,并写出定义域。
【练习2】
在直角三角形ABCxx,是AB边上的一点,E是在AC边上的一个动点,(与A,C不重合),与射线BC相交于点F.
(1)、当点D是边AB的中点时,求证:
(2)、当,求的值
(3)、当,设,求y关于x的函数关系式,并写出定义域