相似三角形模型分析大全.doc
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相似三角形的基本模型
（一）A型、反A型（斜A型）
（平行）（不平行）
自己在《课堂精练》中找几道相应的题目。
例1：
（2008湘潭市）如图，已知D、E分别是的△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，且△ADE与四边形DBCE的面积比为1:
8，那么AE：
AC等于（）
A．1:
9B．1:
3C．1:
8 D．1:
2
例2：
（2008江苏盐城）如图，D、E两点分别在△ABC的边AB、AC上，DE与BC不平行，当满足条件（写出一个即可）时，△ADE∽△ACB．
（二）X型蝴蝶型
（平行）（8字型）（不平行）（蝴蝶型）
自己在《课堂精练》中找几道相应的题目。
例1：
如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．
（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：
全等看成相似的特例）
（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．
例2：
（2013•内江）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：
S△ABF=4：
25，则DE：
EC=（ ）
A．
2：
5
B．
2：
3
C．
3：
5
D．
3：
2
例3：
（哈尔滨）在平行四边形ABCD中，E为直线CD上一点，DE=2CE，F是AD的中点，连接EF交BD交于点P，则DP：
PB=____________
（三）共边共角型母子型
自己在《课堂精练》中找几道相应的题目。
课本P90第4题：
已知：
如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．
求证：
（1）△ABE∽△ACD；
（2）BC2=2BE×CD
例：
在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D,BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形_______________；并写出它的面积比
（四）一线三等角模型：
以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景
包括“三垂直”模型：
例1：
（2013·天津）如图所示，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为
C
A
D
B
E
F
例1图例2图
例2：
如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°
（1）求证：
△BDE∽△CFD
（2）当BD=1，FC=3时，求BE
例3：
在△ABC中，，，点、分别在射线、上（点不与点、点重合），且保持.
①若点在线段上（如图），且，求线段的长；
②若，，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
A
B
C
备用图
A
B
C
备用图
A
B
C
P
Q
例4：
正方形的边长为（如下图），点、分别在直线、直线上（点不与点、点重合），且保持.当时，求出线段的长.
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
例5：
已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．
（1）如果P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．求AP的长．
C
D
A
B
P
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
②当CE＝1时，写出AP的长．
例6：
如图，在△ABC中，，，是边上的一个动点，点在边上，且．
（1）求证：
△ABD∽△DCE；
（2）如果，，求与的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）当点是的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．
A
B
C
D
E
例7：
已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作，交边AB于点E,设，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。
例8：
如图所示,在矩形AOBC中,点A的坐标是﹙-2,1﹚,点C的纵坐标是4,则B,C两点的坐标分别是（）
A. B. C. D.
例9：
在平面直角坐标系中，点C﹙-3,0﹚，点A,B分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足．
（1）求点，点的坐标．
（2）是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？
若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
例10、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为（-1，0）．如图所示，B点在抛物线y=x2+x-2图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为-3．
（1）求证：
△BDC≌△COA；
（2）求BC所在直线的函数关系式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？
若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（五）燕尾型
例1：
已知：
如图，AF.AB=AE.AC求证：
△ADB∽△AEC
例2：
如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高
求证：
（1）△ABD∽△ACE；
（2）△ADE∽△ABC；（3）BC=2ED
（六）旋转型：
（由A字型旋转得到）
《课堂精练》91页第8题。
例：
（2008扬州）如图，在△ABD和△ACE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连结BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G.
（1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由
（2）如果∠ABC=∠CBD，那么线段FD是线段FG和FB的比例中项吗？
为什么？
（七）山字型
例：
（2013·乌鲁木齐）如图所示，AB∥GH∥CD,点H在BC上，AC与BD交于点G,AB=2,CD=3,则GH的长为.
（八）金字塔模型沙漏模型
①；
②。
例1：
如图，DE∥BC,若AD=3，BD=2，AG⊥BC，交DE于F,，则AG:
AF=：
计算线段长度，常见的圆中相似情形如下：
P
O
C
D
B
A
如图，在Rt△ABC中∠C=90°，放置边长分别为4、6、x的三个正方形，则x的值为__
如图，三个正方形的边长分别为2，6，8；则图中阴影部分的面积为___（先求梯形的上下底）
如图直角三角形中，三个正方形的边长分别为a，b，c，请证明：
b=a+c
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