相似三角形模型分析大全Word格式.docx
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根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三
角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100。
的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似.答
案：
②⑤⑥.
知识点2•比例线段
对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即--（或
bd
a:
b=c:
d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
ac
（1）四条线段a,b,c,d成比例，记作——（或a：
d）,不能写成其他形式，即比例线段
有顺序性.
（2）在比例式（或a:
d）中，比例的项为a,b,c,d，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，d
是第四比例项.
ab
（3）如果比例内项是相同的线段，即或a:
b=b:
c，那么线段b叫做线段和的比例中项。
bc
⑷通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另
一个单位也可以，因为整体表示两个比相等.
a
例3.已知线段a=2cm,b=6mm,求
b
求a即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比.
3、
例4.已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=dm,求c的长度.
2
由a,b,c,d成比例，写出比例式a:
d，再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c.知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质：
相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.
（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.
（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.
例5.若四边形ABCD勺四边长分别是4,6,8,10,与四边形ABCD相似的四边形A1BGD的最大边长为30,则四边形ABCD的最小边长是多少？
1
四边形ABCD与四边形ABQD相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为1，再根据相似
3
多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长.
知识点4•相似三角形的概念
对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.解读：
（1）相似三角形是相似多边形中的一种；
（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；
（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同;
（4）相似用“s”表示，读作“相似于”；
（5）相似三角形的对应边之比叫做相似比.
注意：
①相似比是有顺序的，比如△AB3AAiBiCi，相似比为k,若厶AiBiCis^
ABC则相似比为一。
②若两个三角形的相似比为i，则这两个三角形全等，全等三
k
角形是相似三角形的特殊情况。
若两个三角形全等，则这两个三角形相似；
若两个三
角形相似，则这两个三角形不一定全等.
例6.如图，已知△ADE^AABCDE=2,BC=4则和的相似比是多少？
点D,E
分别是ABAC的中点吗？
解决此类问题应注意两方面：
（i）相似比的顺序性，
（2）图形的识别.
ADaei
所以忑疋2，所以DE分别是ABAC的中点.
知识点5.相似三角的判定方法
（1）定义：
对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原三角形相似.
（3）如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
（4）如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.
（5）如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.
（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.
ACD与△ABC相似？
试分别加以列举.
例7.如图，点D在厶ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△
此题属于探索性问题，由相似三角形的判别方法可知，△ACD与△ABC已有公共角/A,要使此
两个三角形相似，可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可.
当满足以下三个条件之一时，△AC3AABC
条件一：
ad
AC/i=ZB;
条件二：
/2=ZACB条件三：
，即ACf-AD・AB.
AC
AB
知识点6.相似三角形的性质
（1）对应角相等，对应边的比相等；
（2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；
（3）相似三角形周长之比等于相似比；
面积之比等于相似比的平方.例8.如图，已知△ADE^AABCAD=8BD=4,BC=i5EC=7
（1）求DEAE的长；
（2）你还能发现哪些线段成比例.
分析:
此题重点考查由两个三角形相似，可得到对应边成例，即.
DE
AD
AE
BC
例9.
2ar
已知△AB3AAiBG,,=,△ABC的周长为
20cm,面积为
40cm2.
3AiBi
求
（1）△ABC的周长；
⑵厶ABG的面积.
根据相似三角形周长之比等于相似比；
面积之比等于相似比的平方求解.
易求出△AiBG的周长为30cm;
△ABQ的面积90cm
第二部分相似三角形模型分析大全
、相似三角形判定的基本模型认识
一）A字型、反A字型（斜A字型）
（三）母子型
（四）一线三等角型:
（六）双垂型:
、相似三角形判定的变化模型
旋转型：
由A字型旋转得到
J-1=1
8字型拓展
共享性
一线三等角的变形
一线三直角的变形
第三部分相似三角形典型例题讲解
母子型相似三角形
例1:
如图，梯形ABCD中，AD//BC,对角线AC、BD交于点O,BE//CD交CA延长线于E.
求证：
OC2OAOE.
例2:
已知：
如图，△ABC中，点E在中线AD上，DEBABC.
（1）DB2DEDA;
（2）DCEDAC.
例3:
如图，等腰△ABC中，AB=AC,AD丄BC于D,CG/AB,BG分别交AD、AC于E、F.
BE2EFEG.
相关练习：
1如图，已知AD为厶ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线•求证：
FDFBFC•
2、已知：
AD是Rt△ABC中/A的平分线，/C=90°
EF是AD的垂直平分线交AD于MEF、BC的延长线
交于一点M
⑴△AM3ANMD;
（2）ND2=NC-NB
A
3、已知：
如图，在△ABC中，/ACB=90,CDLAB于D,E是AC上一点，CF丄BE于F。
求证：
EB-DF=AE-DB
5.已知：
如图，在Rt△ABC中，/C=90°
BO2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点，PDLAB交边AC
于点D（点D与点AC都不重合），E是射线DC上一点,P两点的距离为x,ABEP的面积为y.
（1）求证：
AE=2PE
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当厶BEP-与^ABC相似时，求△BEP的面积.
双垂型
1、如图，在△ABC中，/A=60°
BDCE分别是ACAB上的高
（ABD^AACE
（2）△ADE^AABC；
（3）BC=2ED
2、如图，已知锐角△ABC,AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和厶BDE的面积分别是27和3,
DE=62，求：
点B到直线AC的距离。
共享型相似三角形
1>
△ABC是等边三角形，D、BCE在一条直线上，/DAE=!
20，已知BD=1,CE=3,求等边三角形的边
长.
如图，在Rt△ABC中，AB=AC,/DAE=45°
（1）△ABEs△ACD;
（2）BC22BECD.
一线三等角型相似三角形
如图，等边△ABC中，边长为
6,D是BC上动点，/EDF=60
△BDEs\CFD
（2）当BD=1,FC=3时，求BE
例2:
（1）在ABC中，AB
AC5,BC8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、
点B重合），且保持APQ
ABC.
1若点P在线段CB上（如图），且BP6，求线段CQ的长；
若BPx,CQy，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域;
合），且保持APQ90.当CQ1时，求出线段BP的长.
例3:
已知在梯形ABCD中，AD//BC,ADvBC,且AD=5,AB=DC=2.
（1）如图8,P为AD上的一点，满足/BPC=ZA.
①求证；
△ABPs^DPC
②求AP的长.
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足/BPE=ZA,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么
1当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
2当CE=1时，写出AP的长.
例4:
如图，在梯形ABCD中，AD//BC,ABCDBC6,AD3•点M为边BC的中点，以M为顶点作EMFB，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF.
△MEFBEM；
（2）若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；
（3）若EFCD，求BE的长.
（4）
相关练习:
1、如图，在△ABC中，ABAC8,BC10,D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且
ADEC•
△ABDDCE;
a
⑵如果BDx,AEy，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域；
⑶当点D是BC的中点时，试说明厶ADE是什么三角形，并说明理由.
2、如图，已知在厶ABC中，AB=AC=6,BC=5,D是AB上一点，BD=2,E是BC上一动点，联结DE,并作DEFB，射线EF交线段AC于F.
△DBEECF;
（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；
（3）联结DF，如果△DEF与厶DBE相似，求FC的长.
BEC
3、已知在梯形ABCD中，AD//BC,ADVBC,且BC=6,AB=DC=4，点E是AB的中点.
（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2.求证：
△BEPCPD;
2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足/EPF=/C,PF交直线CD于点F,同时交直线AD于点M,那么
1当点F在线段CD的延长线上时，设BP=X,DF=y，求y关于X的函数解析式，并写出函数的定义域；
9
2当Sdmf-SbEP时，求BP的长.
4
ADAD
4、如图，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上，CF1，点E是射线BA上一动点，以线段EF
为边向右侧作等边EFG，直线EG,FG交直线AC于点M,N,
（1）写出图中与BEF相似的三角形；
（2）证明其中一对三角形相似；
（3）设bex,MNy，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（4）若AE1，试求GMN的面积.
例1、已知矩形ABCD中，CD=2,AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PECP,交边AB于点E,设PDx,AEy，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。
例2、在ABC中，C90o,AC4,BC3,0是AB上的一点，且-A°
-，点P是AC上的一个
AB5
动点，PQ0P交线段BC于点Q,（不与点B,C重合），设APx,CQy,试求y关于x的函数关系，并写出定义域。
【练习2】
在直角三角形ABC中，C90°
ABBC,D是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C
不重合），DFDE,DF与射线BC相交于点F.
（1）、当点D是边AB的中点时，求证：
DEDF
.ADDE砧/古
⑵、当m，求的值
DBDF
AD1
（3）、当ACBC6,——一，设AEx,BFy,求y关于x的函数关系式，并写出定义域
DB2
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