相似三角形模型分析大全.docx
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相似三角形模型分析大全
第一部分相似三角形知识要点大全
知识点1..相似图形的含义
把形状相同的图形叫做相似图形。
(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)
解读:
(1)两个图形相似,其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.
(2)全等形可以看成是一种特殊的相似,即不仅形状相同,大小也相同.
(3)判断两个图形是否相似,就是看这两个图形是不是形状相同,与其他因素无关.
例1.放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢?
分析:
要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变.
解:
是相似图形。
因为它们的形状相同,大小不一定相同.
例2•下列各组图形:
①两个平行四边形;②两个圆;③两个矩形;④有一个内角80°的两个等腰三角
形;⑤两个正五边形;⑥有一个内角是100。
的两个等腰三角形,其中一定是相似图形的是(填
序号).
解析:
根据相似图形的定义知,相似图形的形状相同,但大小不一定相同,而平行四边形、矩形、等腰三
角形都属于形状不唯一的图形,而圆、正多边形、顶角为100。
的等腰三角形的形状不唯一,它们都相似.答
案:
②⑤⑥.
知识点2•比例线段
对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即--(或
bd
a:
b=c:
d)那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.
ac
解读:
(1)四条线段a,b,c,d成比例,记作——(或a:
b=c:
d),不能写成其他形式,即比例线段
bd
有顺序性.
ac
(2)在比例式(或a:
b=c:
d)中,比例的项为a,b,c,d,其中a,d为比例外项,b,c为比例内项,d
bd
是第四比例项.
ab
(3)如果比例内项是相同的线段,即或a:
b=b:
c,那么线段b叫做线段和的比例中项。
bc
⑷通常四条线段a,b,c,d的单位应一致,但有时为了计算方便,a和b统一为一个单位,c和d统一为另
一个单位也可以,因为整体表示两个比相等.
a
例3.已知线段a=2cm,b=6mm,求
b
分析:
求a即求与长度的比,与的单位不同,先统一单位,再求比.
b
3、
例4.已知a,b,c,d成比例,且a=6cm,b=3dm,d=dm,求c的长度.
2
分析:
由a,b,c,d成比例,写出比例式a:
b=c:
d,再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c.知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质:
相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
解读:
(1)正确理解相似多边形的定义,明确“对应”关系.
(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写,且要明确相似比具有顺序性.
例5.若四边形ABCD勺四边长分别是4,6,8,10,与四边形ABCD相似的四边形A1BGD的最大边长为30,则四边形ABCD的最小边长是多少?
1
分析:
四边形ABCD与四边形ABQD相似,且它们的相似比为对应的最大边长的比,即为1,再根据相似
3
多边形对应边成比例的性质,利用方程思想求出最小边的长.
知识点4•相似三角形的概念
对应角相等,对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.解读:
(1)相似三角形是相似多边形中的一种;
(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形;
(3)相似三角形应满足形状一样,但大小可以不同;
(4)相似用“s”表示,读作“相似于”;
(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.
注意:
①相似比是有顺序的,比如△AB3AAiBiCi,相似比为k,若厶AiBiCis^
1
ABC则相似比为一。
②若两个三角形的相似比为i,则这两个三角形全等,全等三
k
角形是相似三角形的特殊情况。
若两个三角形全等,则这两个三角形相似;若两个三
角形相似,则这两个三角形不一定全等.
例6.如图,已知△ADE^AABCDE=2,BC=4则和的相似比是多少?
点D,E
分别是ABAC的中点吗?
注意:
解决此类问题应注意两方面:
(i)相似比的顺序性,
(2)图形的识别.
ADaei
所以忑疋2,所以DE分别是ABAC的中点.
知识点5.相似三角的判定方法
(1)定义:
对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似;
(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似.
(3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
(4)如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.
(5)如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.
ACD与△ABC相似?
试分别加以列举.
例7.如图,点D在厶ABC的边AB上,满足怎样的条件时,△
分析:
此题属于探索性问题,由相似三角形的判别方法可知,△ACD与△ABC已有公共角/A,要使此
两个三角形相似,可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可.
解:
当满足以下三个条件之一时,△AC3AABC
条件一:
ad
AC/i=ZB;条件二:
/2=ZACB条件三:
,即ACf-AD・AB.
AC
AB
知识点6.相似三角形的性质
(1)对应角相等,对应边的比相等;
(2)对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比都等于相似比;
(3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.例8.如图,已知△ADE^AABCAD=8BD=4,BC=i5EC=7
(1)求DEAE的长;
(2)你还能发现哪些线段成比例.
分析:
此题重点考查由两个三角形相似,可得到对应边成例,即.
DE
AD
AE
BC
AB
AC
例9.
2ar
已知△AB3AAiBG,,=,△ABC的周长为
20cm,面积为
40cm2.
3AiBi
求
(1)△ABC的周长;⑵厶ABG的面积.
分析:
根据相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方求解.
易求出△AiBG的周长为30cm;△ABQ的面积90cm
第二部分相似三角形模型分析大全
、相似三角形判定的基本模型认识
一)A字型、反A字型(斜A字型)
(三)母子型
(四)一线三等角型:
(六)双垂型:
、相似三角形判定的变化模型
旋转型:
由A字型旋转得到
ac
J-1=1
8字型拓展
共享性
一线三等角的变形
一线三直角的变形
第三部分相似三角形典型例题讲解
母子型相似三角形
例1:
如图,梯形ABCD中,AD//BC,对角线AC、BD交于点O,BE//CD交CA延长线于E.
2
求证:
OC2OAOE.
例2:
已知:
如图,△ABC中,点E在中线AD上,DEBABC.
求证:
(1)DB2DEDA;
(2)DCEDAC.
例3:
已知:
如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD丄BC于D,CG/AB,BG分别交AD、AC于E、F.
求证:
BE2EFEG.
相关练习:
2
1如图,已知AD为厶ABC的角平分线,EF为AD的垂直平分线•求证:
FDFBFC•
2、已知:
AD是Rt△ABC中/A的平分线,/C=90°,EF是AD的垂直平分线交AD于MEF、BC的延长线
交于一点M
求证:
⑴△AM3ANMD;
(2)ND2=NC-NB
A
3、已知:
如图,在△ABC中,/ACB=90,CDLAB于D,E是AC上一点,CF丄BE于F。
求证:
EB-DF=AE-DB
5.已知:
如图,在Rt△ABC中,/C=90°,BO2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点,PDLAB交边AC
于点D(点D与点AC都不重合),E是射线DC上一点,P两点的距离为x,ABEP的面积为y.
(1)求证:
AE=2PE
(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)当厶BEP-与^ABC相似时,求△BEP的面积.
双垂型
1、如图,在△ABC中,/A=60°,BDCE分别是ACAB上的高
求证:
(ABD^AACE
(2)△ADE^AABC;(3)BC=2ED
2、如图,已知锐角△ABC,AD、CE分别是BC、AB边上的高,△ABC和厶BDE的面积分别是27和3,
DE=62,求:
点B到直线AC的距离。
共享型相似三角形
1>△ABC是等边三角形,D、BCE在一条直线上,/DAE=!
20,已知BD=1,CE=3,求等边三角形的边
长.
A
2、已知:
如图,在Rt△ABC中,AB=AC,/DAE=45°
求证:
(1)△ABEs△ACD;
(2)BC22BECD.
一线三等角型相似三角形
例1:
如图,等边△ABC中,边长为
6,D是BC上动点,/EDF=60
(1)求证:
△BDEs\CFD
(2)当BD=1,FC=3时,求BE
例2:
(1)在ABC中,AB
AC5,BC8,点P、Q分别在射线CB、AC上(点P不与点C、
点B重合),且保持APQ
ABC.
1若点P在线段CB上(如图),且BP6,求线段CQ的长;
2
若BPx,CQy,求y与x之间的函数关系式,并写出函数的定义域;
合),且保持APQ90.当CQ1时,求出线段BP的长.
例3:
已知在梯形ABCD中,AD//BC,ADvBC,且AD=5,AB=DC=2.
(1)如图8,P为AD上的一点,满足/BPC=ZA.
①求证;△ABPs^DPC
②求AP的长.
(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足/BPE=ZA,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么
1当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
2当CE=1时,写出AP的长.
例4:
如图,在梯形ABCD中,AD//BC,ABCDBC6,AD3•点M为边BC的中点,以M为顶点作EMFB,射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,联结EF.
(1)求证:
△MEFBEM;
(2)若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形,求EF的长;
(3)若EFCD,求BE的长.
(4)
相关练习:
1、如图,在△ABC中,ABAC8,BC10,D是BC边上的一个动点,点E在AC边上,且
ADEC•
(1)求证:
△ABDDCE;a
⑵如果BDx,AEy,求y与x的函数解析式,并写出自变量x的定义域;
⑶当点D是BC的中点时,试说明厶ADE是什么三角形,并说明理由.
2、如图,已知在厶ABC中,AB=AC=6,BC=5,D是AB上一点,BD=2,E是BC上一动点,联结DE,并作DEFB,射线EF交线段AC于F.
(1)求证:
△DBEECF;
(2)当F是线段AC中点时,求线段BE的长;
(3)联结DF,如果△DEF与厶DBE相似,求FC的长.
BEC
3、已知在梯形ABCD中,AD//BC,ADVBC,且BC=6,AB=DC=4,点E是AB的中点.
(1)如图,P为BC上的一点,且BP=2.求证:
△BEPCPD;
2)如果点P在BC边上移动(点P与点B、C不重合),且满足/EPF=/C,PF交直线CD于点F,同时交直线AD于点M,那么
1当点F在线段CD的延长线上时,设BP=X,DF=y,求y关于X的函数解析式,并写出函数的定义域;
9
2当Sdmf-SbEP时,求BP的长.
4
ADAD
4、如图,已知边长为3的等边ABC,点F在边BC上,CF1,点E是射线BA上一动点,以线段EF
为边向右侧作等边EFG,直线EG,FG交直线AC于点M,N,
(1)写出图中与BEF相似的三角形;
(2)证明其中一对三角形相似;
(3)设bex,MNy,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(4)若AE1,试求GMN的面积.
例1、已知矩形ABCD中,CD=2,AD=3,点P是AD上的一个动点,且和点A,D不重合,过点P作PECP,交边AB于点E,设PDx,AEy,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围。
例2、在ABC中,C90o,AC4,BC3,0是AB上的一点,且-A°-,点P是AC上的一个
AB5
动点,PQ0P交线段BC于点Q,(不与点B,C重合),设APx,CQy,试求y关于x的函数关系,并写出定义域。
【练习2】
在直角三角形ABC中,C90°,ABBC,D是AB边上的一点,E是在AC边上的一个动点,(与A,C
不重合),DFDE,DF与射线BC相交于点F.
(1)、当点D是边AB的中点时,求证:
DEDF
.ADDE砧/古
⑵、当m,求的值
DBDF
AD1
(3)、当ACBC6,——一,设AEx,BFy,求y关于x的函数关系式,并写出定义域
DB2