高等数学武大社教案10第十章多元函数微分学Word文档下载推荐.docx

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如果不需要强调邻域半径δ，则用U（P0）表示点P0的邻域.点P0的去心邻域记作U.（P0）.

2.区域

设D为一平面点集，若有点P的某邻域U（P）D,则称点P为点集D的内点.

若点集D的点都是内点，则称D为开集.例如，点集D={（x,y）|1＜x2+y2＜4}就是开集.

设D为一开集,若对D中的任意两点,都可以用完全落在D内的折线连接起来,则称D具有连通性.

连通的开集称为区域或开区域.如点集{（x,y）|x+y＞0}及{（x,y）|1＜x2+y2＜4}都是区域.

若点P的任一邻域内既有属于D的点也有不属于D的点（点P本身可以属于D，也可以不属于D），则称P为D的边界点.D的边界点的全体称为D的边界.

开区域与其边界的并集称为闭区域.例如，点集{（x,y）|1≤x2+y2≤4}是闭区域.

对于点集D，若存在一个正实数M，使得D内任意两点的距离都不大于M，则称D为有界点集，否则，称D为无界点集.

若D为闭区域而且有界，则称D为有界闭区域.例如，点集{（x,y）|1≤x2+y2≤4}是有界闭区域，而点集{（x,y）|x+y≥0}就是无界区域.

邻域、区域等概念可以很容易地推广到三维及以上空间.

二、多元函数的概念

在实际生活中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系，如矩形面积S与它的长x、宽y之间具有关系

S=xy.

这里，当x,y在集合{（x,y）|x＞0,y＞0}内取定一对值（x,y）时，S的对应值就随之确定.

又如圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系

V=πr2h.

这里，当r,h在集合{（r,h）|r＞0,h＞0}内取定一对值（r,h）时，V的对应值就随之确定.

定义1设D是xOy平面上的一个点集，若对D中的每一点P（x,y）,变量z按照一定的法则总有确定的值与之对应，则称z为变量x,y的二元函数（或点P的函数），记为

z=f（x,y）（或z=f（P））.

点集D称为该函数的定义域，x,y称为自变量，z称为因变量.数集

M={z|z=f（x,y）,（x,y）∈D}

称为该函数的值域.

z是x,y的函数，有时也记为z=z（x,y）.

类似地，可定义三元函数u=f（x,y,z）及三元以上函数.二元及二元以上函数统称为多元函数.

【例1】求下列函数的定义域:

（1）

（2）

【解】

（1）要使函数的解析式有意义，x,y必须满足

所以函数的定义域是

即以原点为圆心、半径为R的圆内及圆周上一切点P（x,y）的集合，如图（a）所示.

（2）要使函数的解析式有意义，x,y必须满足不等式组

所以函数的定义域是

即以原点为圆心、半径为1，2的两个同心圆之间的一切点P（x,y）的集合，如图（b）所示

三、二元函数的极限

定义2设二元函数z=f（x,y）在点P0（x0,y0）的某邻域内有定义（点P0可以除外）.如果点P（x,y）在该邻域内以任意方式无限趋于点P0（x0,y0）时，对应的函数值f（x,y）无限接近于一个确定的常数A，则称A是二元函数f（x,y）当（x,y）→（x0,y0）时的极限，记作

与一元函数极限的定义相比较，形式上无多大区别，但二元函数的极限过程要比一元函数复杂得多，即点P（x,y）→P0（x0,y0）的方式有无穷多种.二元函数极限定义要求点P（x,y）无论以什么方式趋于点P0（x0,y0），对应的函数值必须无限接近于同一个常数A，因此，如果点P（x,y）沿两个不同的途径趋于点P0（x0,y0）时，对应的函数值趋于两个不同的常数，则二元函数的极限不存在.

【例2】证明极限

不存在.

【证明】当点（x,y）沿着x轴趋于原点（0，0），即y=0且x→0时，有

当点（x,y）沿直线y=x趋于原点（0,0）即y=x,x→0时,有

所以,极限

四、二元函数的连续性

定义3设函数f（x,y）在区域（或闭区域）D内有定义,P0（x0,y0）是D的内点（或边界点）且P0∈D.若

则称函数f（x,y）在点P0（x0,y0）处连续.

若函数f（x,y）在区域（或闭区域）D内的每一点都连续,则称f（x,y）在D内连续,或称f（x,y）是D内的连续函数.

若函数f（x,y）在点P0（x0,y0）处不连续,则称点P0为函数f（x,y）的间断点.

以上关于二元函数的连续性概念,可相应地推广到多元函数上去.

性质1（最值定理）在有界闭区域上的连续函数必有最大值与最小值.

性质2（介值定理）在有界闭区域D上的连续函数,在D上必能取得介于其在D上的最大值与最小值之间的任何值至少一次.

【例5】讨论函数

在点（0,0）处的连续性.

【解】由例2知,

的极限不存在,所以函数f（x,y）在点（0,0）处不连续,即f（x,y）在点（0,0）处间断.

类似于一元函数,如果函数f（x,y）在点P0（x0,y0）处无定义,那么函数f（x,y）就在点P0处不连续,即P0（x0,y0）就为函数f（x,y）的间断点.二元函数的间断点可以形成一条曲线例如,函数

在圆周

上没有定义,所以该圆周上各点都是间断点.

第二节偏导数

一、一阶偏导数

1.一阶偏导数的概念

一定量的理想气体的体积V与压强p和绝对温度T之间,遵循波义耳-马略特定律,即这三者之间存在如下的函数关系:

V=RT/p（比例系数R是常数）.

2.一阶偏导数的几何意义

函数z=f（x,y）在点P0（x0,y0）处的偏导数fx′（x0,y0）,在数学上反映了z关于自变量x的变化率；

在几何上，则是方程为z=f（x,y）的曲面与平面y=y0的交线ly,在点P0处的切线P0T与x轴正向夹角α的正切.同理，偏导数fy′（x0,y0）在数学上反映了z关于自变量y的变化率；

在几何上则是方程为z=f（x,y）的曲面与平面x=x0的交线lx，在点P0处的切线P0T1与y轴正向夹角β的正切.

3.一阶偏导函数

如果函数z=f（x,y）在区域D内每一点P（x,y）处对x或y的偏导数都存在，那么求偏导数的结果还是x,y的函数，称为函数z=f（x,y）对自变量x或y的偏导函数，记作

有了函数的偏导函数，那么在某点P0处的偏导数就是相应偏导函数在P0处的函数值.在不会引起混淆的地方，也把偏导函数简称为偏导数.

4.一阶偏导数的计算

例：

求z=2x2sin3y的偏导数.

z′x=4xsin3y,z′y=6x2cos3y.

【例2】求

的偏导数.

【例3】求函数

对各自变量的一阶偏导数.

二、高阶偏导数

二元函数的二阶偏导数用下列记号来表示：

同样地，如果函数z=f（x,y）的二阶偏导数还存在一阶偏导数，则继续求一阶偏导数的结果，就称为z=f（x,y）的三阶偏导数，其记号与二阶偏导数类似.

依此类推，函数z=f（x,y）的n-1阶偏导数的偏导数，就称为该函数的n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

【例4】求函数

的二阶偏导数.

【解】先求一阶偏导数

再求二阶偏导数

定理如果函数z=f（x,y）在区域D内存在连续的一阶偏导数fx′（x,y）,fy′（x,y）和连续的二阶混合偏导数fxy″（x,y）,则在D上另一混合偏导数fyx″（x,y）也存在，且fyx″（x,y）≡fxy″（x,y）.

第三节全微分及其应用

一、全微分的定义

对一元函数y=f（x）,我们讨论了函数的微分dy,它与函数的增量Δy有关系

Δy=dy+o（Δx）=f′（x）Δx+o（Δx）.

即函数的微分是函数增量的线性主部.

定义如果函数z=f（x,y）在点（x,y）处的全增量Δz可表示为

Δz=fx′（x,y）Δx+fy′（x,y）Δy+o（ρ）.

称z=f（x,y）在点（x,y）处可微,而将上式中Δx和Δy的线性项部分称为z=f（x,y）在点（x,y）处的全微分,记作dz,即

dz=fx′（x,y）Δx+fy′（x,y）Δy.

自变量的增量Δx,Δy又称为自变量的微分,分别记为dx,dy,则函数的全微分又可表示为

由全微分的定义可见,若z=f（x,y）在点（x,y）处可微,则函数在该点的偏导数存在.且由

知z=f（x,y）在点（x,y）处连续.

定理（全微分存在的必要条件）如果函数z=f（x,y）在点（x,y）处可微,则函数在该点处必定连续且偏导数fx′（x,y）,fy′（x,y）存在.

的全微分.

二、全微分的应用

利用全微分的概念，可进行函数的近似计算.设函数z=f（x,y）在点（x,y）处可微，则全增量可表示为

略去高阶无穷小o（ρ）,当|Δx|,|Δy|充分小时，全增量近似用全微分表示为

Δz=f（x+Δx,y+Δy）-f（x,y）≈fx′（x,y）Δx+fy′（x,y）Δy,

即有近似计算公式

f（x+Δx,y+Δy）≈f（x,y）+fx′（x,y）Δx+fy′（x,y）Δy.

【例5】利用全微分求1.0012.99的近似值.

【解】设z=f（x,y）=xy,x=1,Δx=0.001;

y=3,Δy=-0.01,则有

于是

1.0012.99=f（1+0.001,3-0.01）

≈f（1,3）+fx′（1,3）×

0.001+fy′（1,3）×

（-0.01）

=1+3×

0.001+0×

=1.003

第四节多元复合函数和隐函数的求导法则

一、多元复合函数的求导法则

定理如果函数u=u（x,y）,v=v（x,y）在点（x,y）处的偏导数都存在，函数z=f（u,v）在对应点（u,v）处偏导数存在且连续，则复合函数z=f［u（x,y）,v（x,y）］在点（x,y）处的偏导数存在，并有如下求偏导数的公式：

【例3】设

，求

【解】如图所示，可知

此题也可以将u=sinx，v=cosx代回z中，则

因此

二、隐函数的求导法则

设y=f（x）是由方程F（x,y）=0所确定的一元隐函数,在恒等式F（x,f（x））=0两边对x求全导数,得

Fx′（x,y）+Fy′（x,y）dy/dx=0.

当Fy′（x,y）≠0时,解得

Dy/dx=-Fx′（x,y）/Fy′（x,y）=-Fx′/Fy′.

这样,我们用偏导数给出了一元隐函数的求导公式.

同样,设方程F（x,y,z）可确定一个二元隐函数z=f（x,y）,在恒等式F（x,y,f（x,y））=0两边分别对x和y求偏导数,得

当Fz′≠0时,解得

上式可作为二元隐函数求一阶偏导数的公式.

【例9】设z=f（x,y）是由方程x2+y2+z2-4z=0确定的隐函数,求

【解】方程两边对x求偏导,有

解得

同理可求得

.再求二阶偏导数,其中z还是要看成x,y的函数,有

第五节偏导数在几何上的应用

一、空间曲线的切线与法平面

设空间曲线Γ的参数方程为

x=φ（t）,y=ψ（t）,z=ω（t）.

假设φ（t）,ψ（t）,ω（t）都可导,且其导数不全为零.

当t=t0时,对应于曲线上的定点M0（x0,y0,z0）,且φ′（t0）,ψ′（t0）,ω′（t0）不全为零.在t0处有增量Δt,当t=t0+Δt时,对应于曲线上另一点M（x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz）,则割线M0M的方程为

x-x0/Δx=y-y0/Δy=z-z0/Δz.

用Δt去除上式各分母,得

x-x0/Δx/Δt=y-y0/Δy/Δt=z-z0/Δz/Δt.

仍表示割线M0M的方程.

让点M沿曲线Γ无限趋于点M0（即Δt→0）,割线开始绕点M0转动,若割线有极限位置M0T,则称M0T为曲线Γ在点M0处的切线,这时

于是,切线方程为

其中,切线的方向向量记作T,则

T={φ′（t0）,ψ′（t0）,ω′（t0）}

称T为曲线在点M0处的切向量.

过点M0且与切线垂直的平面称为曲线Γ在点M0处的法平面.这时,曲线的切向量T是曲线的法平面的法向量,则法平面方程为

φ′（t0）（x-x0）+ψ′（t0）（y-y0）+ω′（t0）（z-z0）=0.

【例1】求螺旋线x=cost,y=sint,z=3t在对应于

的点P处的切线及法平面方程.

【解】当

时,

得点

.又

代入

得

所以切线方程为

法平面方程为

即

二、曲面的切平面与法线

设曲面∑的方程为F（x,y,z）=0,点M0（x0,y0,z0）为曲面∑上的一点,函数F（x,y,z）在点M0处具有连续的偏导数,且不同时为零.

可以证明,在曲面∑上作过点M0的任何曲线,如果它们在M0处有切线,则这些切线都在同一平面上,称该平面为曲面∑在点M0处的切平面.这时,切平面的法向量

n={Fx′（x0,y0,z0）,Fy′（x0,y0,z0）,Fz′（x0,y0,z0）}.

称n为曲面∑在点M0处的法向量.

所以,曲面∑在点M0（x0,y0,z0）处的切平面方程为

Fx′（x0,y0,z0）（x-x0）+Fy′（x0,y0,z0）（y-y0）+Fz′（x0,y0,z0）（z-z0）=0.

过点M0且垂直于切平面的直线,称为曲面在点M0处的法线.

这时,曲面在点M0处的法向量n可作为法线的方向向量,所以法线的方程为

x-x0/Fx′（x0,y0,z0）=y-y0/Fy′（x0,y0,z0）=z-z0/Fz′（x0,y0,z0）.

特别地,若曲面∑的方程由显函数z=f（x,y）给出,函数f（x,y）在点（x0,y0）处具有连续偏导数,这时曲面∑由三元方程f（x,y）-z=0所确定,其中

F（x,y,z）=f（x,y）-z.

曲面∑在点M0处的法向量为

n={fx′（x0,y0）,fy′（x0,y0）,-1}.

所以,曲面在点M0处的切平面方程为

fx′（x0,y0）（x-x0）+fy′（x0,y0）（y-y0）-（z-z0）=0.

法线方程为

x-x0/fx′（x0,y0）=y-y0/fy′（x0,y0）=z-z0/-1.

【例4】在曲面z=xy上求一点,使该点处的法线垂直于平面2x+y-z+2=0,并求在该点处曲面的法线和切平面方程.

【解】设所求的点为M0（x0,y0,z0）,由于zx′=y,zy′=x,所以可得曲面在M0处的法向量为

因为法线垂直于已知平面,从而法线的方向向量

平行于已知平面法向量

又由向量平行的充分必要条件,有

即x0=1,y0=2.代入曲面方程z=xy中,得z0=2.于是,所求的点为M0（1,2,2）,这时,曲面在点M0处的法向量为

由式（10-5）,得所求的法线方程为

由式（10-4）,得所求的切平面方程为

第六节多元函数的极值

一、多元函数的极值

定义设函数z=f（x,y）在点（x0,y0）的某个邻域内有定义,如果对于该邻域内的任意点（x,y）,有

f（x,y）≤f（x0,y0）（或f（x,y）≥f（x0,y0））.

则称f（x0,y0）为函数f（x,y）的极大值（或极小值）,而称点（x0,y0）为函数的极大值点（或极小值点）.函数的极大值与极小值统称极值,极大值点与极小值点统称极值点.

定理（极值存在的必要条件）设二元函数z=f（x,y）在点（x0,y0）处具有一阶偏导数且取得极值,则必有

fx′（x0,y0）=fy′（x0,y0）=0.

定理（极值存在的充分条件）若函数z=f（x,y）在点（x0,y0）的某邻域有连续二阶偏导数，且点（x0,y0）是它的驻点，记A=fxx″（x0,y0）,B=fxy″（x0,y0）,C=fyy″（x0,y0）,则

（1）当B2-AC＜0时，f（x0,y0）是极值，且当A＜0时为极大值，A＞0时为极小值；

（2）当B2-AC＞0时，f（x0,y0）不是极值；

（3）当B2-AC=0时，f（x0,y0）可能是极值，也可能不是极值.

【例1】求函数

的极值.

【解】先求函数的驻点和使偏导数不存在的点，由方程组

解得两个驻点（0，0）和（1，1），且没有使偏导数不存在的点.

再由二阶偏导数值判定：

由

在点（0，0）处，A=0，B=-3，C=0，由于Δ=B2-AC=9＞0,所以驻点（0，0）不是极值点，即函数在点（0，0）处无极值.在点（1，1）处，由于A=6＞0，B=-3，C=6，Δ=B2-AC=-27＜0,所以驻点（1，1）为函数的极小值点，且极小值为f（1,1）=-1.

二、二元函数的最值

如果二元函数z=f（x,y）在有界闭区域D上连续，则f（x,y）在D上一定有最大值和最小值.但是，最大值和最小值可能在D的内部取得，也可能在D的边界上取得.因此，需要求出f（x,y）在D内部的所有驻点和使偏导数不存在的点.如果这些点是有限个，将这些点的函数值与函数在D的边界上的最大值和最小值作比较，其中最大的就是二元函数f（x,y）的最大值，最小的就是f（x,y）的最小值.

三、条件极值

1.转化为无条件极值

对一些简单的条件极值问题，利用附加条件，消去函数中的某些自变量，将条件极值转化为无条件极值.

2.拉格朗日乘数法

（1）构造拉格朗日函数

F（x,y）=f（x,y）+λφ（x,y）.

其中,λ是某个常数.

（2）将函数F（x,y）分别对x,y求偏导数，并令它们都为0，然后与方程φ（x,y）=0联立，组成方程组

（3）求出方程组的解

则点（x0,y0）就是使函数z=f（x,y）可能取得极值且满足条件φ（x0,y0）=0的可能极值点.

至于如何确定所求得的点是否为极值点，在实际问题中往往根据问题本身的性质加以确定.

【例3】利用拉格朗日乘数法求解例2.（【例2】用薄板做一个容量为V的长方体箱子，问应选择怎样的尺寸，才能使做此箱子的材料最省？

）

【解】设箱子的长、宽、高分别为x,y,z,容量为V（常数），表面积为S，则所要解决的问题就是求函数

在条件

限制之下的最小值.

构造拉格朗日函数

求出函数

的三个偏导数，并令它们都为0，然后与条件方程

联立，组成方程组

解此方程组，得

因为点

是唯一驻点，而由问题本身可知表面积S一定存在最小值，所以

就是所求的最小值点，即当箱子的长、宽、高都相等时，所用的材料最少.