圆与扇形经典题汇总.docx
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圆与扇形经典题汇总
圆与扇形(经典题汇总)
圆与扇形
公式与割补
内容提要
本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念,及周长、面积公式等.下面我们来说说这方面的基础知识.圆是我们在生活中经常见到的图形,它也是最完美的平面图形:
有无数条通过圆心的对称轴,绕圆心旋转任何角度还保持原状.而且,所有的平面图形在周长相同的情况下,圆的面积是最大的.
我们知道,圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数,这正是圆周率,用π表示.另外,一般把直径记作d,半径记作r,如图1所示.
rd图1
所以,圆的周长Cd2r,圆的面积Sr2.
如图3,组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形.它是圆的一部分,所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论.
n°
r图3
扇形的圆心角为n°时,它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的所以,扇形弧长=
我们先来熟悉一下这些公式.练习:
n.360nn2r,面积=r2.3603601.半径是2的圆的面积和周长分别是多少?
2.直径是5的圆的面积和周长分别是多少?
3.周长是10π的圆的面积是多少?
4.面积是9π的圆的周长是多少?
例题
一、基本公式运用
例题1.已知扇形的圆心角为120°,半径为2,则这个扇形的面积和周长各是多少?
例题2.已知扇形面积为平方厘米,圆心角为60°,则这个扇形的半径和周长各是多少?
60°
随堂练习:
1.已知一个扇形的弧长为厘米,圆心角为45,这个扇形的半径和周长各是多少?
2.扇形的面积是平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是多少?
例题3.如图,直角三角形ABC的面积是45,分别以B,C为圆心,3为半径画圆.已知图中阴影部分的面积是.请问:
角A是多少度?
ABC
二、圆中方,方中圆
例题4.如图,左下图和右下图中的正方形边长都是2,那么大圆、小圆的面积分别为________、________.
随堂练习:
1.已知外面大圆的半径是4,里面小圆的面积是多少?
二、割补法
例题5.求下列各图中阴影部分的面积:
3
2
2
随堂练习:
求下图中阴影部分的面积:
4
例题6.求下列各图中阴影部分的面积:
2
例题7.已知图中正方形的边长为2,分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心,那么图中阴影部分的面积为________.
例题8.根据图中所给数值,求下面图形的外周长和总面积分别是多少?
2
4
随堂练习:
1.根据下图中给出的数值,求这个图形的外周长和面积.
6
例题9.求图中阴影部分的面积.
45o45o20厘米
思考题
图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?
作业:
1.半径为4厘米的圆的周长是________厘米,面积是________平方厘米;
2.半径为4厘米,圆心角为90的扇形周长是________厘米,面积是________平方厘米.
3.家里来客人了,淘气到超市买了4瓶啤酒,售货员阿姨将4瓶啤酒捆扎在一起
捆4圈至少要用绳子________厘米.
4.求下列各图中阴影部分的面积:
7厘米O1101110
5.下列图形中的正方形的边长为2,则下图中各个阴影部分面积的大小分别为______、______.
6.用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料,从中裁出了7个同样大小
的圆铝板.问:
所余下的边角料的总面积是多少平方厘米?
O
圆与扇形
旋转与重叠
知识总结:
学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积;学会分析几何图形的运动过程,并此得出点的轨迹和图形扫过的区域.
例题:
一、重叠问题
例题1.下图中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米,且半圆的半径是10厘米,那么其中直角三角形的另一条直角边的长度是多少?
甲乙
例题2.下图中有一个等腰直角三角形ABC,一个以AB为直径的半圆,和一个以BC为半径的扇形.已知
ABBC10厘米.图中阴影部分的面积为多少平方厘米?
AEDC随堂练习
B
1.如图17-13,以AB为直径做半圆,三角形ABC是直角三角形,阴影部分①比阴影部分②的面积小28
平方厘米,AB长40厘米.求BC的长度.
C②
①B
A
例题3.如图,直角三角形的两条直角边分别为3和5,分别以三条边做了3个半圆,那么阴影部分的面积为______.
453
例题4.图1是一个直径是3厘米的半圆,AB是直径.如图2所示,让A点不动,把整个半圆逆时针转60°,此时B点移动到C点.请问:
图中阴影部分的面积是多少平方厘米?
C60图1
A图2
B
二、动态扫面积问题
例题5.如图,正方形ABCD边长为1厘米,依次以A、B、C、D为圆心,以AD、BE、CF、DG为半径画出四个直角扇形,那么阴影部分的面积为________平方厘米.
EAFBDCH
G
例题6.如图所示,以等边三角形的B、C、A三点分别为圆心,分别以AB、CD、AE为半径画弧,这样形成的曲线ADEF被称为正三角形ABC的渐开线,如果正三角形ABC的边长为3厘米,那么此渐开线的长度为多少厘米,图中I、II、III三部分的面积之和是多少平方厘米?
IIICAIBIIDE
三、运动圆扫面积
例题7.图中正方形的边长是4厘米,而圆环的半径是1厘米.当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时,其扫过的面积有多大?
随堂练习
1.图中长方形的长是10厘米,宽是4厘米,而圆环的半径是1厘米.当圆环绕正方形无滑动地滚动一
周又回到原来位置时,其扫过的面积有多大?
例题8.图中等边三角形的边长是3厘米,而圆环的半径是1厘米.当圆环绕等边三角形无滑动地滚动一周又回到原来位置时,其扫过的面积有多大?
思考题
如图所示,一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处,四周都是空地.绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置.小狗的活动范围是多少平方米?
狗
作业:
1.图17-14一个长方形与两个90角的扇形构成,其中阴影部分的面积是_______平方厘米.
25图17-14
2.图中有一个矩形和两个半径分别为5和2的直角扇形,那么两个阴影部分的面积相差为
_______.
3.如图,直角三角形的两条直角边长分别是10cm和6cm,分别以直角边为直径作出两个半圆,这
两个半圆的交点恰好落在斜边上,那么阴影部分的面积是_______cm2.
6cm10cm
4.图1是一个直径是3厘米的半圆,AB是直径.如图2所示,让A点不动,把整个半圆逆时针转
60°,此时B点移动到C点.请问:
图中阴影部分的面积是_______平方厘米
CC40图1
A图2
B
5.图中正方形的边长是6厘米,而圆环的半径是1厘米.当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到
原来位置时,其扫过的面积有______.
6.图中等边三角形的边长是5厘米,圆形的半径是1厘米.当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原
来位置时,扫过的面积有________.
几何计数
知识总结:
例题:
一、枚举或分类解题
利用枚举法以及分类的方法进行几何计数,特别是对于正方形和三角形的计数问题.通常按照面积的大小或者包含基本图形的多少来对图形进行分类.
例题1.小杰瑞把巧克力棒摆成了如图所示的形状,其中每一条小短边代表一个巧克力棒.请问:
一共有多少个巧克力棒?
这些巧克力棒共构成了多少个三角形?
嘴馋的小杰瑞吃掉一个巧克力棒后,剩下的图形中还有多少个三角形?
随堂练习
1.图中共有_______个三角形;
例题2.如图,它是18个大小相同的小正三角形拼成的四边形,其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形.图中包含“”的各种大小的正三角形一共有_______.
例题3.如图,AB,CD,EF,MN互相平行,则图中三角形个数是_______.
AEM
BDFN
例题4.图中有多少个正方形?
二、与排列组合有关的计数
利用排列组合的方法进行几何计数,特别是对于矩形和四边形的计数问题例题5.如图,线段AB,BC,CD,DE的长度都是3厘米.请问:
图中一共有多少条线段?
这些线段的长度之和是多少厘米?
3厘米A
B
随堂练习
1.求图中一共有多少条线段.
3厘米
C
3厘米
D
3厘米
E
例题6.求图中一共有多少条线段.求图中一共有多少个矩形. 随堂练习
1.如图,四条边长度都相等的四边形称为菱形.用16个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形.数一
数,图中共有多少个菱形?
例题7.右图是一个长为9,宽为4的长方形网格,每一个小格都是一个正方形,那么:
1)从中可以数出_______个矩形.2)从中可以数出_______个正方形.
3)从中可以数出包含_______个,正方形有________个.
随堂练习
图中包含★的长方形有_______个.包含的正方形又有_______个.图中同时包含和★的长方形有_______个.
★
三、与容斥原理有关的几何计数
例题8.图中一共包含多少个矩形?
多少个正方形?
随堂练习
1.图中有_______个矩形
思考题
用16个边长为1的等边三角形拼成一个边长为4的大等边三角形,那么组成的图形中可以找出多少个平行四边形?
作业
1.数一数图中一共有多少条线段?
2.图中共有_______个三角形.
【分析与解】按边长分类数,图中共有93113个三角形;平行四边形共有333215个.3.在图中,包含※的长方形共有________个.
※
4.图中有_______个矩形,_______个正方形.
【分析与解】图中共有718个正方形,19个长方形.这道题适合按大小分类数.5.图中有三角形_______个,梯形_______个.
ABC
【分析与解】三角形有312318个,梯形有1212318个.6.图中有_______个正方形,_______个长方形.
【分析与解】答案是38,144.长方形有123123452123123144个,正方形有352413294138个.
行程
知识总结:
本讲重点学习在小升初中和各个杯赛中的较复杂的行程问题,行程问题主要有三组共9个基本公式:
路程速度时间;速度路程时间;时间路程速度;
相遇路程速度和时间;速度和相遇路程时间;时间相遇路程速度和;追及路程速度差时间;速度差追及路程时间;时间追及路程速度差.要会灵活运用公式,通过已知的条件求出未知的路程、速度或时间.此时,我们还经常需要用到以下这三个基本倍数关系:
当运动的速度相同时,时间的倍数关系等于路程的倍数关系;当运动的时间相同时,速度的倍数关系等于路程的倍数关系;
当运动的路程相同时,时间的倍数关系等于速度的倍数关系,但注意时间长的速度慢,时间短的速度快.
例题1.甲、乙两地间的路程是600千米,上午8点客车以平均每小时60千米的速度从甲地开往
乙地,货车以平均每小时50千米的速度从乙地开往甲地.要使两车在全程的中点相遇,货车必须在上午几点出发?
例题2.某学校组织学生去春游,以2米/秒的速度前进,一名学生以4米/秒的速度从队尾跑
到队头,再回到队尾,共用6分钟,那么队伍的总长为多少米?
例题3.A城在一条河的上游,B城在这条河的下游.A、B两城的水路距离为396千米.一艘在静水中速
度为每小时12千米的渔船从B城往A城开,一艘在静水中速度为每小时30千米的治安巡逻艇从A城往B城开.已知河水的速度为每小时6千米,从A流向B.两船在距离A城180千米的地方相遇.巡逻艇在到达B城后得到消息说他们刚才遇到的那艘渔船上有一名逃犯,于是巡逻艇立刻返回去追渔船.请问巡逻艇能不能在渔船到达A城之前追上渔船?
如果能的话,请问巡逻艇在距A城多远的地方追上渔船;如果不能的话,请算出巡逻艇比渔船慢多少小时到A城.
例题4.蜗牛沿着公路前进,对面来了一只兔子,他问兔子:
“后面有乌龟吗?
”,兔子回答说:
“10分钟
前我超过了一只乌龟”,接着蜗牛继续爬了10分钟,遇到了乌龟.已知乌龟的速度是蜗牛速度的10倍,那么兔子速度是乌龟速度的________倍.
例题5.甲、乙二人相距100米的直路上来回跑步,甲每秒钟跑米,乙每秒钟跑米.他们同时分别在直
路两端出发,当他们跑了30分钟时,这段时间内相遇了几次?
例题6.甲乙两车同时从A、B两地出发相向而行,两车在距离B地64千米的地方第一次相遇,相遇后两
车继续原速前进,并且在到达对方出发点之后,立即沿原路返回,途中在距离A点48千米处第二次相遇,问:
两次相遇点距离是多少千米?
例题7.甲、乙两车分别从A、B两地出发,在A、B之间不断往返行驶,已知甲车的速度是每小时15千
米,乙车的速度是每小时35千米,并且甲、乙两车第三次相遇的地点与第四次相遇的地点恰好相距120千米,那么,A、B两地之间的距离等于_________千米.
例题8.快、中、慢3辆车同时从同一地点出发,沿同一公路追赶前面的一个骑车人.这3辆车分别用6
分钟、10分钟、12分钟追上骑车人.现在知道快车每小时走24千米,中车每小时走20千米,那么,慢车每小时走多少千米?
例题9.有甲乙丙三车各以一定的速度从A到B,乙比丙晚出发10分钟,出发后40分钟追上丙,甲比乙
又晚出发10分钟,出发后60分钟追上丙,问,甲出发后多少分钟可以追上乙?
思考题
一次越野赛跑中,当小明跑了1600米时,小刚跑了1450米,此后两人分别以每秒a米和每秒b米匀速跑,又过100秒时小刚追上小明,200秒时小刚到达终点,300秒时小明到达终点,这次越野赛跑的全程为多少?
作业
1.现有两列火车同时同方向齐头行进,快车每秒行18米,慢车每秒行10米,行12秒后快车超过慢
车.如果这两辆火车车尾相齐同时同方向行进,则9秒后快车超过慢车.那么快慢两车的车长分别是几米?
2.一辆中巴车6点从A城出发,以每小时40千米的速度向B城驶去,3小时后一辆
小轿车以每小时75千米的速度也从A出发到B.当小轿车到达B后,中巴车离B还有90千米.那么中巴车是几点几分到达B的?
3.甲、乙两人从相距为46千米的A、B两地出发相向而行,甲比乙先出发一个小时.他们两人在乙
出发后4小时相遇,又已知甲比乙每小时快2千米,那么乙的速度为每小时多少千米?
4.甲、乙两人分别从南北两地相对而行.已知甲每分钟走50米,乙走完全程要30分钟.相对而行
10分钟后,甲、乙仍相距100米.那么还要过多少秒钟,甲、乙第一次相遇?
5.一个和尚每天早晨都到河边去提一桶水。
他提空桶时每秒走3米,提满桶时每秒2米,来回一趟需10分钟。
寺庙距河边有多少米?
6.(首师大附中考题)甲,乙两人在一条长100米的直路上来回跑步,甲的速度3米/秒,乙的速度2
米/秒。
如果他们同时分别从直路的两端出发,当他们跑了10分钟以后,共相遇了多少次?
圆与扇形
公式与割补
内容提要
本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念,及周长、面积公式等.下面我们来说说这方面的基础知识.圆是我们在生活中经常见到的图形,它也是最完美的平面图形:
有无数条通过圆心的对称轴,绕圆心旋转任何角度还保持原状.而且,所有的平面图形在周长相同的情况下,圆的面积是最大的.
我们知道,圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数,这正是圆周率,用π表示.另外,一般把直径记作d,半径记作r,如图1所示.
rd图1
所以,圆的周长Cd2r,圆的面积Sr2.
如图3,组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形.它是圆的一部分,所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论.
n°
r图3
扇形的圆心角为n°时,它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的所以,扇形弧长=
我们先来熟悉一下这些公式.练习:
n.360nn2r,面积=r2.3603601.半径是2的圆的面积和周长分别是多少?
2.直径是5的圆的面积和周长分别是多少?
3.周长是10π的圆的面积是多少?
4.面积是9π的圆的周长是多少?
例题
一、基本公式运用
例题1.已知扇形的圆心角为120°,半径为2,则这个扇形的面积和周长各是多少?
例题2.已知扇形面积为平方厘米,圆心角为60°,则这个扇形的半径和周长各是多少?
60°
随堂练习:
1.已知一个扇形的弧长为厘米,圆心角为45,这个扇形的半径和周长各是多少?
2.扇形的面积是平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是多少?
例题3.如图,直角三角形ABC的面积是45,分别以B,C为圆心,3为半径画圆.已知图中阴影部分的面积是.请问:
角A是多少度?
ABC
二、圆中方,方中圆
例题4.如图,左下图和右下图中的正方形边长都是2,那么大圆、小圆的面积分别为________、________.
随堂练习:
1.已知外面大圆的半径是4,里面小圆的面积是多少?
二、割补法
例题5.求下列各图中阴影部分的面积:
3
2
2
随堂练习:
求下图中阴影部分的面积:
4
例题6.求下列各图中阴影部分的面积:
2
例题7.已知图中正方形的边长为2,分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心,那么图中阴影部分的面积为________.
例题8.根据图中所给数值,求下面图形的外周长和总面积分别是多少?
2
4
随堂练习:
1.根据下图中给出的数值,求这个图形的外周长和面积.
6
例题9.求图中阴影部分的面积.
45o45o20厘米
思考题
图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?