实验七多元函数微分数学实验课件习题答案Word文档下载推荐.docx
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其余类推．
2．求全微分命令Dt
该命令只用于求二元函数
的全微分时，其形式为
Dt[f[x,y]]
其输出的表达式中含有Dt[x]，Dt[y]，它们分别表示自变量的微分dx，dy．若函数
的表达式中还含有其他用字符表示的常数，例如a，则Dt[f[x，y]]的输出中还会有Dt[a]．若采用选项Constants一>
{a}，就可以得到正确结果，即只要输入
Dt[f[ｘ，ｙ]，Constants一>
{a}]
3．在Oxy平面上作二元函数
的等高线命令ContourPlot
命令ContourPlot的基本形式是
ContourPlot[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2}]
例如输入
ContourPlot[x^2-y^2，{x，-2，2}，{y，-2，2}]
【实验环境】
系统
MicrosoftWindowsXP
Professional
版本2002
ServicePack3
GhostXP_SP3电脑公司快速装机版V2011.07
Intel（R）Core（TM）i3CPU
5503.20GHz
3.19GHz,1.74GB的存
Mathematica5.2
二、实验容：
【实验方案】
1．求多元函数的偏导数与全微分
2．微分学的几何应用
3．多元函数的极值
4．梯度场
【实验过程】
（实验步骤、记录、数据、分析）
例7.1 设
，求
Clear[z]；
z=Sin[x*y]+Cos[x*y]^2；
D[z，x]
D[z，y]
D[z，{x，2}]
D[z，x，y]
例7.2 设
和全微分
Clear[z]；
z=（1+x*y）^y；
Dt[z]
例7.3 设
，其中
是常数，求
Clear[z，a]；
z=（a+x*y）^y；
wf=Dt[z，Constants{a}]//Simplify
wf/.{Dt[x，Constants{a}]dx，Dt[y，Constants{a}]dy}
例7.4 设
eq1=D[xE^u+u*Sin[v]，x，NonConstants{u，v}]
eq2=D[yE^u-u*Cos[v]，x，NonConstants{u，v}]
Solve[{eq1，eq2}，{D[u，x，NonConstants{u，v}]，D[v，x，NonConstants{u，v}]}]//Simplify
2．微分学的几何应用
例7.5 求曲面
在点
处的切平面方程，并把曲面和它的切平面作在同一图形里．
Clear[k，z]；
k[x_，y_]=4/（x^2+y^2+1）；
kx=D[k[x，y]，x]/.{x1/4，y1/2}；
ky=D[k[x，y]，y]/.{x1/4，y1/2}；
z=kx*（x-1/4）+ky*（y-1/2）+k[1/4，1/2]；
qm=Plot3D[k[x，y]，{x，-2，2}，{y，-2，2}，PlotRange->
{0，4}，BoxRatios{1，1，1}，PlotPoints30，DisplayFunctionIdentity]；
qpm=Plot3D[z，{x，-2，2}，{y，-2，2}，DisplayFunctionIdentity]；
Show[qm，qpm，DisplayFunction$DisplayFunction]
例7.6 求
的极值
Clear[f]；
f[x_，y_]=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x；
fx=D[f[x，y]，x]
fy=D[f[x，y]，y]
critpts=Solve[{fx0，fy0}，{x，y}]
fxx=D[f[x，y]，{x，2}]；
fyy=D[f[x，y]，{y，2}]；
fxy=D[f[x，y]，x，y]；
disc=fxx*fyy-fxy^2
data={x，y，fxx，disc，f[x，y]}/.critpts；
TableForm[data，TableHeadings{None，{"
x"
，"
y"
disc"
"
f}}]
d2={x，y}/.critpts；
g4=ListPlot[d2，PlotStylePointSize[0.02]，DisplayFunctionIdentity]；
g5=ContourPlot[f[x，y]，{x，-5，3}，{y，-3，5}，Contours40，PlotPoints60，ContourShadingFalse，FrameFalse，AxesAutomatic，AxesOrigin{0，0}，DisplayFunctionIdentity]；
Show[g4，g5，DisplayFunction$DisplayFunction]
FindMinimum[f[x，y]，{x，-1}，{y，1}]
例7.7 求函数
在条件
下的极值．
Clear[f，g，la]；
f[x_，y_]=x^2+y^2；
g[x_，y_]=x^2+y^2+x+y-1；
la[x_，y_，r_]=f[x，y]+r*g[x，y]；
extpts=Solve[{D[la[x，y，r]，x]0，D[la[x，y，r]，y]0，D[la[x，y，r]，r]0}]
f[x，y]/.extpts//Simplify
dian={x，y}/.Table[extpts[[s，j]]，{s，1，2}，{j，2，3}]
g1=ListPlot[dian，PlotStylePointSize[0.03]，DisplayFunctionIdentity]
cp1=ContourPlot[f[x，y]，{x，-2，2}，{y，-2，2}，Contours20，PlotPoints60，ContourShadingFalse，FrameFalse，AxesAutomatic，AxesOrigin{0，0}，DisplayFunctionIdentity]；
cp2=ContourPlot[g[x，y]，{x，-2，2}，{y，-2，2}，Contours{0}，PlotPoints60，ContourShadingFalse，FrameFalse，AxesAutomatic，ContourStyleDashing[{0.01}]，AxesOrigin{0，0}，DisplayFunctionIdentity]；
Show[g1，cp1，cp2，AspectRatio1，DisplayFunction$DisplayFunction]
4．梯度场
例7.8 设
，作出
的图形和等高线，再作出它的梯度向量grad的图形．把上述等高线和梯度向量的图形叠加在一起，观察它们之间的关系．
<
<
Graphics\PlotField.m
f[x_，y_]=x*Exp[-x^2-y^2]；
dgx=ContourPlot[f[x，y]，{x，-2，2}，{y，-2，2}，PlotPoints60，Contours25，ContourShadingFalse，AxesAutomatic，AxesOrigin{0，0}]
td=PlotGradientField[f[x，y]，{x，-2，2}，{y，-2，2}，FrameFalse]
Show[dgx，td]
【实验结论】
（结果）
通过用mathematica5.2在计算机上输入相应的命令程序，解决以下问题：
3．多元函数的极值求解
4．梯度场的画法
【实验小结】
（收获体会）
通过本节的学习，基本掌握了求
的偏导数，求
的二阶偏导数，求
的混合偏导数的方法，求二元函数
的全微分，以及在Oxy平面上作二元函数
的等高线的问题，在上机做实验的过程中加深了对此类问题的理解。
三、指导教师评语及成绩：
评语
评语等级
优
良
中
及格
不及格
1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强
2.实验方案设计合理
3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）
4实验结论正确.
成绩：
指导教师签名：
批阅日期：
附录1：
源程序
第1题
Dt[z]
第2题
eq1=D[xE^u+u*Sin[v],y,NonConstants{u,v}]
eq2=D[yE^u-u*Cos[v],y,NonConstants{u,v}]
Solve[{eq1,eq2},{D[u,y,NonConstants{u,v}],D[v,y,NonConstants{u,v}]}]//Simplify
第3题
Clear[z];
z[x_,y_]=f[x*y,y]
D[z[x,y],{x,2}]
D[z[x,y],{y,2}]
D[z[x,y],x,y]
f[xy,y]
第4题
D[g[x,y],x]
D[g[x,y],y]
D[g[x,y],x,y]
第5题
Clear[f];
f[x_,y_]=-120x^3-30x^4+18x^5+5x^6+30x*y^2;
fx=D[f[x,y],x]
fy=D[f[x,y],y]
critpts=Solve[{fx0,fy0}]
60xy
{{y0,x-3},{y0,x-2},{y0,x0},{y0,x0},{y0,x0},{y0,x0},{y0,x2}}
fxx=D[f[x,y],{x,2}];
fyy=D[f[x,y],{y,2}];
fxy=D[f[x,y],x,y];
disc=fxx*fyy-fxy^2
data={x,y,fxx,disc,f[x,y]}/.critpts;
TableForm[data,TableHeadings{None,{"
"
fxx"
f"
}}]
第6题
Clear[f,g,la];
f[x_,y_]=x^2+4y^3;
g[x_,y_]=x^2+4y^2-1;
la[x_,y_,r_]=f[x,y]+r*g[x,y];
extpts=Solve[{D[la[x,y,r],x]0,D[la[x,y,r],y]0,D[la[x,y,r],r]0}]
f[x,y]/.extpts//Simplify
dian={x,y}/.Table[extpts[[s,j]],{s,1,2},{j,2,3}]
g1=ListPlot[dian,PlotStylePointSize[0.03],DisplayFunctionIdentity]
cp1=ContourPlot[z[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3},Contours20,PlotPoints60,ContourShadingFalse,
Frame->
False,AxesAutomatic,AxesOrigin{0,0},DisplayFunctionIdentity];
cp2=ContourPlot[g[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3},Contours{0},PlotPoints60,
ContourShadingFalse,Frame->
False,AxesAutomatic,ContourStyleDashing[{0.01}],
AxesOrigin{0,0},DisplayFunctionIdentity];
Show[g1,cp1,cp2,AspectRatio1,DisplayFunction$DisplayFunction]
{{-1,0},{1,0}
附录2：
实验报告填写说明
1．实验项目名称：
要求与实验教学大纲一致。
2．实验目的：
目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。
3．实验原理：
简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4．实验环境：
实验用的软、硬件环境。
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：
这是实验报告极其重要的容。
概括整个实验过程。
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。
对于设计性和综合性实验，在上述容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。
对于创新性实验，应注明其创新点、特色。
6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：
写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。
7．实验结论（结果）：
根据实验过程中得到的结果，做出结论。
8．实验小结：
本次实验心得体会、思考和建议。
9．指导教师评语及成绩：
指导教师依据学生的实际报告容，给出本次实验报告的评价。
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