1多元函数微分学复习课.ppt

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多元函数微分学复习课,一、内容提要,上页,下页,结束,返回,首页,二、典型例题,内容提要,偏导数,注:

（1）,

（2）,（3）,偏导数的求法求函数对一个自变量的偏导数时,只要把其它自变量看作常数,然后按一元函数求导法求导即可.,内容提要,全微分,函数zf（x,y）在点（x,y）可微分:

计算公式:

重要关系,内容提要,复合函数求导公式,设zf（u1,un）可微ui（x,y,）偏导数存在则有,全微分形式不变性,设zf（u,v）具有连续偏导数,则有全微分,无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数,它的全微分形式是一样的.,内容提要,隐函数求导公式,F（x,y）=0确定y=f（x）的导数公式,F（x,y,z）=0确定z=f（x,y）的偏导数公式,内容提要,曲线的切向量,光滑曲线xx（t）,yy（t）,zz（t）在tt0对应点处的切向量为,曲面F（x,y,z）0与曲面G（x,y,z）0的交线的切向量为,曲面的法向量,曲面F（x,y,z）0在点M0（x0,y0,z0）处的法向量为,曲面zf（x,y）在点M0（x0,y0,z0）处的法向量为,内容提要,极值点的必要条件,具有偏导数的极值点必为驻点,极值的充分条件,设f（xy）具有二阶连续偏导数,（x0y0）为f（xy）的驻点,令fxx（x0y0）Afxy（x0y0）Bfyy（x0y0）C则

（1）ACB20时,f（x0y0）为极值:

当A0时为极小值

（2）ACB20时,f（x0y0）不是极值（3）ACB20时,f（x0y0）可能为极值也可能不是极值,内容提要,可微函数最值的求法将函数在有界闭区域D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.,如果函数的最值一定在D的内部取得,而函数在D内只有一个驻点,那么该驻点处的函数值就是函数在D上的最值.,拉格朗日乘数法,函数uf（x,y,z）在条件j（x,y,z）0下的可能极值点为拉格朗日函数L（x,y,z,l）的驻点,其中,例1求下列函数的定义域,并画出定义域的图形.,解

（1）,典型例题,例1求下列函数的定义域,并画出定义域的图形.,典型例题,解

（2）,解

（1）,例2求下列极限.,

（2）,分析:

例2证明极限不存在.,当点（x,y）在直线y=kx上时,有,注:

如果当P以两种不同方式趋于P0时,函数趋于不同的值,则函数的极限不存在.,点（x,y）沿不同的直线y=kx趋于点（0,0）时,函数都趋于0.,若点（x,y）在曲线y=kx3上,则,证明,当点（x,y）在曲线y=kx3上时,有,点（x,y）沿不同的曲线y=kx3趋于点（0,0）时,函数趋于不同的值.,注:

如果当P以两种不同方式趋于P0时,函数趋于不同的值,则函数的极限不存在.,因此,极限不存在.,例2证明极限不存在.,知识点,解1,解2,证,例3验证函数满足拉普拉斯（Laplace）方程,知识点,知识点,解,例3求函数的偏导数.,令,则,知识点,解,例4设zf（2x3y,x2y）g（xy2）,求,记,解,例4设zf（2x3y,x2y）g（xy2）,求,记,解,例4设zf（2x3y,x2y）g（xy2）,求,解,设,则,知识点,解,设,则,注:

本题利用ez=xyz代入后,运算简便得多.,解1,设,则,知识点,方程两边求微分得,解2,知识点,例6求曲线x2y2z26,xyz0在点（2,1,1）处的切线及法平面方程.,解,所求切线方程为,法平面方程为6（y1）6（z1）0,即yz0.,令,则切向量,知识点,解,代入椭球面方程,求得,切平面方程为,例7求椭球面x22y2z21上平行于平面xy2z0的切平面方程.,设所求切点为（a,b,c）,法向量,已知平面法向量,由题设,得,即,代入b的值,得,知识点,令,得驻点,在点（1,1）处,不是极值；,在点（1,-1）处,不是极值；,在点处,且,所以为极小值.,例8求函数f（xy）xlnx（1x）y2的极值,解,知识点,解,得驻点,例8求在区域D上的最值,其中,解方程组,在D的边界上,z（y）的驻点为,f在D上的最小值为,最大值为,z（y）的可能最值为,知识点,例9求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.,设长方体的三棱长为x,y,z,则,2xy2yz2xz=a2,得唯一驻点,解1,此处V取最大值,令,知识点,例9求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.,设长方体的三棱长为x,y,z,则问题就是求函数Vxyz在条件2（xyyzxz）=a2下的最大值.,作拉格朗日函数,解方程组,F（x,y,z）xyzl（2xy2yz2xza2）,因为由问题本身可知最大值一定存在所以最大值就在,这个可能的极值点处取得此时,解2,由,解,例10在第一卦限内作椭球面的切平面,使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小.求这切,平面的切点,并求此最小体积.,设切点坐标为（x,y,z）,则法向量,切平面方程为,得切平面方程为,该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积为,问题转化为求函数,在以下条件

（1）下的极值:

（1）,知识点,作拉格朗日函数,问题转化为求函数,在以下条件

（1）下的极值:

（1）,解方程组,得,这是唯一可能的极值点,所求切点为,所求四面体的最小体积为,在此点体积V取最小值.,知识点,偏导数,注:

（1）,

（2）,（3）,偏导数的求法求函数对一个自变量的偏导数时,只要把其它自变量看作常数,然后按一元函数求导法求导即可.,二阶偏导数,定理如果两个二阶混合偏导数连续,则它们相等.,全微分形式不变性,设zf（u,v）具有连续偏导数,则有全微分,无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数,它的全微分形式是一样的.,重要关系,复合函数求导公式,设zf（u1,un）可微ui（x,y,）偏导数存在则有,约定记号,设zf（u1,u2）具有二阶连续偏导数ui（x,y）偏导数存在则有,隐函数求导公式,F（x,y）=0确定y=f（x）的导数公式,F（x,y,z）=0确定z=f（x,y）的偏导数公式,全微分,函数zf（x,y）在点（x,y）可微分:

计算公式:

曲线的切向量,光滑曲线xx（t）,yy（t）,zz（t）在tt0对应点处的切向量为,曲面F（x,y,z）0与曲面G（x,y,z）0的交线的切向量为,直线的对称式方程,过点M0（x0,y0,z0）,方向向量,的直线方程为,平面的点法式方程,过点M0（x0,y0,z0）,法向量,的平面方程为,曲面的法向量,曲面F（x,y,z）0在点M0（x0,y0,z0）处的法向量为,曲面zf（x,y）在点M0（x0,y0,z0）处的法向量为,平面的点法式方程,过点M0（x0,y0,z0）,法向量,的平面方程为,两向量平行的条件,极值点的必要条件,具有偏导数的极值点必为驻点,极值的充分条件,设f（xy）具有二阶连续偏导数,（x0y0）为f（xy）的驻点,令fxx（x0y0）Afxy（x0y0）Bfyy（x0y0）C则

（1）ACB20时,f（x0y0）为极值:

当A0时为极小值

（2）ACB20时,f（x0y0）不是极值（3）ACB20时,f（x0y0）可能为极值也可能不是极值,可微函数最值的求法将函数在有界闭区域D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.,应用题最值的求法,如果已知可微函数的最值一定在定义域D的内部取得,而函数在D内只有一个驻点,那么该驻点处的函数值就是函数在D上的最值.,拉格朗日乘数法,函数uf（x,y,z）在条件j（x,y,z）0下的可能极值点为拉格朗日函数L（x,y,z,l）的驻点,其中,