指数与对数运算及大小比较教案文档格式.doc
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(2)负整数指数幂
(3)正分数指数幂;
(4)负分数指数幂
(5)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
3.有理指数幂的运算性质
(1)·
;
(2) ;
(3) .
(4)
(5)当是奇数时,
当是偶数时,
4.无理指数幂
一般地,无理数指数幂是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
5.对数的概念
一般地,如果,那么数叫做以为底的对数(Logarithm),记作:
—底数,—真数,—对数式
两个重要对数:
常用对数(commonlogarithm):
以10为底的对数;
自然对数(naturallogarithm):
以无理数为底的对数的对数.
6.对数式与指数式的互化
对数式 指数式
对数底数 ← →幂底数
对数 ← →指数
真数 ← →幂
7.对数的性质
(1)负数和零没有对数;
(2)1的对数是零:
;
(3)底数的对数是1:
(4)对数恒等式:
(5).
8.对数的运算性质
如果,且,,,那么:
·
+;
-;
.
9.换底公式
(,且;
,且;
).
利用换底公式可推导下面的结论
(1)对数的降幂公式:
;
(2)
“六法”比较指数幂大小
对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.
1.转化法
例1 比较与的大小.
解:
∵,
∴.
又∵,
∴函数在定义域上是减函数.
∴,即.
评注:
在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.
2.图象法
例2 比较与的大小.
设函数与,则这两个函数的图象关系如图.
当,且时,;
当时,.
对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确.
3.媒介法
例3 比较,,的大小.
∴.
当底数与指数都不相同时,选取适当的“媒介”数(通常以“0”或“1”为媒介),分别与要比较的数比较,从而可间接地比较出要比较的数的大小.
4.作商法
例4 比较与()的大小.
又∵,∴,.
∴,即.∴.
当底数与指数都不同,中间量又不好找时,可采用作商比较法,即对两值作商,根据其值与1的大小关系,从而确定所比值的大小.当然一般情况下,这两个值最好都是正数.
5.作差法
例5 设,,且,试比较与的大小.
.
(1)当时,∵,∴.
又∵,,从而.
∴.∴.
(2)当时,∵,即.
又∵,∴,,故.
综上所述,.
作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法,即对两值作差,看其值是正还是负,从而确定所比值的大小.
6.分类讨论法
例6 比较与(,且)的大小.
分析:
解答此题既要讨论幂指数与的大小关系,又要讨论底数与1的大小关系.
解:
(1)令,得,或.
①当时,由,
从而有;
②当时,.
(2)令,得,.
(3)令,得.
评注:
分类讨论是一种重要的数学方法,运用分类讨论法时,首先要确定分类的标准,涉及到指数函数问题时,通常将底数与1的大小关系作为分类标准.