版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词Word文件下载.docx
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答案 1
解析 ∵函数y＝tanx在
上是增函数，∴ymax＝tan
＝1.依题意，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值为1.
5．（教材改编）给出下列命题：
①∀x∈N，x3>
x2；
②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；
③∃x0∈R，x
－x0＋1≤0；
④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
则以上命题的否定中，真命题的序号为________．
答案 ①②③
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
例1
（1）已知命题p1：
y＝ln[（1－x）·
（1＋x）]为偶函数；
命题p2：
y＝ln
为奇函数，则下列命题①p1∧p2；
②p1∨（綈p2）；
③p1∨p2；
④p1∧（綈p2）中，是假命题的是________．
（2）已知命题p：
若x>
y，则－x<
－y；
y，则x2>
y2.在命题①p∧q；
②p∨q；
③p∧（綈q）；
④（綈p）∨q中，真命题是________．
答案
（1）④
（2）②③
解析
（1）对于命题p1：
令f（x）＝y＝ln[（1－x）（1＋x）]，由（1－x）（1＋x）>
0得－1<
x<
1，∴函数f（x）的定义域为（－1,1），关于原点对称，∵f（－x）＝ln[（1＋x）·
（1－x）]＝f（x），∴f（x）为偶函数，∴命题p1为真命题；
对于命题p2：
令g（x）＝y＝ln
，易知g（x）的定义域为（－1,1），关于原点对称，g（－x）＝ln
＝－g（x），∴g（x）为奇函数，命题p2为真命题，故p1∧（綈p2）为假命题．
（2）当x>
y时，－x<
－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．
当x>
y时，x2>
y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．
由真值表知：
①p∧q为假命题；
②p∨q为真命题；
③p∧（綈q）为真命题；
④（綈p）∨q为假命题．
思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤：
（1）确定命题的构成形式；
（2）判断其中命题p、q的真假；
（3）确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．
（1）已知命题p：
对任意x∈R，总有2x>
0；
“x>
1”是“x>
2”的充分不必要条件，则下列命题①p∧q；
②（綈p）∧（綈q）；
③（綈p）∧q；
④p∧（綈q）中，为真命题的是________．
（2）若命题p：
关于x的不等式ax＋b>
0的解集是{x|x>
－
}，命题q：
关于x的不等式（x－a）（x－b）<
0的解集是{x|a<
b}，则在命题“p∧q”“p∨q”“綈p”“綈q”中，是真命题的有________．
答案
（1）④
（2）綈p、綈q
解析
（1）p为真命题，q为假命题，故綈p为假命题，綈q为真命题．从而p∧q为假，（綈p）∧（綈q）为假，（綈p）∧q为假，p∧（綈q）为真，④正确．
（2）依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p∧q”为假，“p∨q”为假，“綈p”为真，“綈q”为真．
题型二 含有一个量词的命题
命题点1 全称命题、存在性命题的真假
例2
（1）下列命题中，为真命题的是________．
①∀x∈R，x2≥0;
②∀x∈R，－1<
sinx<
1；
③∃x0∈R,
④∃x0∈R，tanx0＝2.
（2）下列四个命题
p1：
∃x0∈（0，＋∞），
p2：
∃x0∈（0,1），log
x0>
log
x0；
p3：
∀x∈（0，＋∞），
x>
x；
p4：
∀x∈
，
x.
其中真命题是________．
答案
（1）①④
（2）p2，p4
解析
（1）∀x∈R，x2≥0，故①正确；
∀x∈R，－1≤sinx≤1，故②错；
∀x∈R,2x>
0，故③错，故④正确．
（2）根据幂函数的性质，对∀x∈（0，＋∞），
x，故命题p1是假命题；
由于log
x－log
＝
，故对∀x∈（0,1），log
x，所以∃x0∈（0,1），log
x0，命题p2是真命题；
当x∈
时，0<
1，log
1，故
x不成立，命题p3是假命题；
，0<
x，命题p4是真命题．
故p2，p4为真命题．
命题点2 含一个量词的命题的否定
例3
（1）命题“存在实数x，使x>
1”的否定是________________________．
（2）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：
∀x∈A,2x∈B，则綈p为______________．
答案
（1）对任意实数x，都有x≤1
（2）∃x∈A,2x∉B
解析
（1）利用存在性命题的否定是全称命题求解，“存在实数x，使x>
1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．
（2）命题p：
∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定应为存在性命题．
∴綈p：
∃x∈A,2x∉B.
思维升华
（1）判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；
要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p（x0）成立．
（2）对全称命题、存在性命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词．
②对原命题的结论进行否定．
（1）写出下列命题的否定，并判断其真假：
①p：
∀x∈R，x2－x＋
≥0；
②q：
所有的正方形都是矩形；
③r：
∃x0∈R，
④s：
至少有一个实数x0，使
解 ①綈p：
∃x∈R，x2－x＋
<
0，假命题．
②綈q：
至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
③綈r：
∀x∈R，x2＋2x＋2>
0，真命题．
④綈s：
∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．
（2）（2015·
课标全国Ⅰ改编）设命题p：
∃n∈N，n2>
2n，则綈p为______________．
答案 ∀n∈N，n2≤2n
解析 将命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>
2n”改为“n2≤2n”．
题型三 由命题的真假求参数的取值范围
例4 已知p：
∃x∈R，mx2＋1≤0，q：
∀x∈R，x2＋mx＋1>
0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为_______________________________________．
答案 m≥2
解析 依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1>
0恒成立，则有m≥0；
当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<
0，－2<
m<
2.
因此由p，q均为假命题得
，即m≥2.
引申探究
1．本例条件不变，若p∧q为真，则实数m的取值范围为________．
答案 （－2,0）
解析 依题意，当p是真命题时，有m<
当q是真命题时，有－2<
2，
由
可得－2<
0.
2．本例条件不变，若p∧q为假，p∨q为真，则实数m的取值范围为________________．
答案 （－∞，－2]∪[0,2）
解析 若p∧q为假，p∨q为真，则p、q一真一假．
当p真q假时
∴m≤－2；
当p假q真时
∴0≤m<
∴m的取值范围是（－∞，－2]∪[0,2）．
3．本例中的条件q变为q：
∃x∈R，x2＋mx＋1<
0，其他不变，则实数m的取值范围为________．
答案 [0,2]
解析 依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4>
0，
∴m>
2或m<
－2.
得0≤m≤2，
∴m的取值范围是[0,2]．
思维升华 根据命题真假求参数的方法步骤
（1）先根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）；
（2）然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
（3）最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．
“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：
“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是______________．
（2）已知命题“∃x0∈R，使2x
＋（a－1）x0＋
≤0”是假命题，则实数a的取值范围是______________．
答案
（1）{a|a≤－2或a＝1}
（2）（－1,3）
解析
（1）∵“p且q”为真命题，∴p、q均为真命题，
∴p：
a≤1，q：
a≤－2或a≥1，
∴a≤－2或a＝1.
（2）依题意可知“∀x∈R,2x2＋（a－1）x＋
>
0”为真命题，所以Δ＝（a－1）2－4×
2×
0，即（a＋1）（a－3）<
0，解得－1<
a<
3.
1．常用逻辑用语及其应用
一、命题的真假判断
典例 已知命题p：
∃x∈R，x2＋1<
2x；
若mx2－mx－1<
0恒成立，则－4<
0，那么下列说法判断正确的是________．
①“綈p”是假命题；
②q是假命题；
③“p或q”为假命题；
④“p且q”为真命题．
解析 由于x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，
即x2＋1≥2x，所以p为假命题；
对于命题q，当m＝0时，有－1<
0，恒成立，
所以命题q为假命题．
综上可知：
綈p为真命题，
p且q为假命题，p或q为假命题．
答案 ②③
温馨提醒 判断与一元二次不等式有关命题的真假，首先要分清是要求解一元二次不等式，还是要求一元二次不等式恒成立（有解、无解），然后再利用逻辑用语进行判断．
二、求参数的取值范围
“∀x∈[0,1]，a≥ex”；
“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析 若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；
由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.
答案 [e,4]
温馨提醒 含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假，解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围．
三、利用逻辑推理解决实际问题
典例
（1）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：
我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：
我没去过C城市；
丙说：
我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
（2）对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：
甲：
中国非第一名，也非第二名；
乙：
中国非第一名，而是第三名；
丙：
中国非第三名，而是第一名．
竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．
解析
（1）由题意可推断：
甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.
（2）由上可知：
甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．
答案
（1）A
（2）一
温馨提醒 在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．
[方法与技巧]
1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”时，要结合语句的含义理解．
2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；
否定的规律是“改量词，否结论”．
[失误与防范]
1．p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可；
p∧q为真命题，必须p、q同时为真．
2．两种形式命题的否定
p或q的否定：
非p且非q；
p且q的否定：
非p或非q.
3．命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；
“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．
A组 专项基础训练
（时间：
30分钟）
1．已知命题p：
所有有理数都是实数；
正数的对数都是负数，则下列命题①（綈p）∨q；
②p∧q；
③（綈p）∧（綈q）；
④（綈p）∨（綈q）中，为真命题的是________．
答案 ④
解析 不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有（綈p）∨（綈q）为真命题．
2．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的____________条件．
答案 充分不必要
解析 由“綈p为真”可得p为假，故p∧q为假；
反之不成立．
3．已知命题p：
2是x2>
4的充要条件”，命题q：
“若
，则a>
b”，那么下列关于命题的真假判断正确的是________．
①“p或q”为真；
②“p且q”为真；
③p真q假；
④p，q均为假．
解析 由已知得命题p是假命题，命题q是真命题，因此①正确．
4．下列命题中的假命题是________．（填序号）．
①∀x∈R,2x－1>
②∀x∈N*，（x－1）2>
③∃x0∈R，lgx0<
④∃x0∈R，tan
＝5.
答案 ②
解析 ①中，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1>
②中，∵x∈N*，∴当x＝1时，（x－1）2＝0与（x－1）2>
0矛盾；
③中，当x0＝
时，lg
＝－1<
④中，当x∈R时，tanx∈R，故∃x0∈R，tan
5．已知命题p：
若a>
1，则ax>
logax恒成立；
在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q是an＋am＝ap＋aq的充分不必要条件（m，n，p，q∈N*）．则下面为真命题的是______（填序号）．
①（綈p）∧（綈q）;
②（綈p）∨（綈q）；
③p∨（綈q）;
解析 当a＝1.1，x＝2时，
ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>
log1.11.21＝2，
此时，ax<
logax，故p为假命题．
命题q，由等差数列的性质，
当m＋n＝p＋q时，an＋am＝ap＋aq成立，
当公差d＝0时，由am＋an＝ap＋aq不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命题．
故綈p是真命题，綈q是假命题，
所以p∧q为假命题，p∨（綈q）为假命题，（綈p）∧（綈q）为假命题，（綈p）∨（綈q）为真命题．
6．命题p：
∀x∈R，sinx<
∃x∈R，cosx≤－1，则下面为真命题的是________．（填序号）
①p∧q;
②（綈p）∧q；
④（綈p）∧（綈q）．
解析 p是假命题，q是真命题，所以②正确．
7．命题p：
∃x0>
0，x0＋
＝2，则綈p为__________________．
答案 ∀x>
0，x＋
≠2
解析 “∃”的否定为“∀”，“＝”的否定为“≠”．
8．已知命题p：
∃m∈R，m＋1≤0，命题q：
0.若“p∧q”为假命题，则实数m的取值范围是______________．
答案 （－∞，－2]∪（－1，＋∞）
解析 若“p∧q”为假命题，则p，q中至少有一个是假命题，若命题p为真命题，则m≤－1，若q为真命题，则Δ＝m2－4<
0，∴－2<
2，若命题p和命题q都是真命题，则－2<
m≤－1，∴若“p∧q”为假命题，则m≤－2或m>
－1.
9．已知p：
≤2，q：
x2－2x＋1－m2≤0（m>
0），且綈p是綈q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是__________．
答案 [9，＋∞）
解析 由
≤2，得－2≤x≤10，
A＝{x|x>
10或x<
－2}．
由x2－2x＋1－m2≤0（m>
0），
得1－m≤x≤1＋m（m>
∴綈q：
B＝{x|x>
1＋m或x<
1－m，m>
0}．
∵綈p是綈q的必要而不充分条件，
∴BA⇔
且等号不能同时取到，
解得m≥9.
10．若命题“∃x0∈R，x
＋（a－1）x0＋1<
0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
答案 （－∞，－1）∪（3，＋∞）
解析 因为命题“∃x0∈R，x
0”等价于x
＋（a－1）x0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝（a－1）2－4>
0，即a2－2a－3>
0，解得a<
－1或a>
11．已知命题p：
x2＋2x－3>
1，若“（綈q）∧p”为真，则x的取值范围是________．
答案 （－∞，－3）∪（1,2]∪[3，＋∞）
解析 因为“（綈q）∧p”为真，即q假p真，而q为真命题时，
0，得2<
3，所以q假时有x≥3或x≤2；
p为真命题时，由x2＋2x－3>
0，解得x>
1或x<
－3，由
解得x<
－3或1<
x≤2或x≥3，
所以x的取值范围是x<
x≤2或x≥3.
12．下列结论：
①若命题p：
∃x∈R，tanx＝1；
∀x∈R，x2－x＋1>
0.则命题“p∧（綈q）”是假命题；
②已知直线l1：
ax＋3y－1＝0，l2：
x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是
＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题：
“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．
答案 ①③
解析 ①中命题p为真命题，命题q为真命题，
所以p∧（綈q）为假命题，故①正确；
②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；
③正确，所以正确结论的序号为①③.
B组 专项能力提升
（时间：
15分钟）
13．若命题p：
∃x∈R，ax2＋4x＋a<
－2x2＋1是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案 a≥2
解析 若命题p：
－2x2＋1是假命题，则綈p：
∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，即（2＋a）x2＋4x＋a－1≥0恒成立，当a＝－2时不成立，舍去，则有
，解得a≥2.
14．四个命题：
①∀x∈R，x2－3x＋2>
0恒成立；
②∃x∈Q，x2＝2；
③∃x∈R，x2＋1＝0；
④∀x∈R,4x2>
2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
答案 0
解析 ∵x2－3x＋2>
0，Δ＝（－3）2－4×
2>
∴当x>
2或x<
1时，x2－3x＋2>
0才成立，
∴①为假命题．
当且仅当x＝±
时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题．
对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题．
4x2－（2x－1＋3x2）＝x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，
∴④为假命题．
∴①②③④均为假命题．
15．下列结论正确的是________．
①若p：
∃x∈R，x2＋x＋1<
0，则綈p：
∀x∈R，x2＋x＋1<
②若p∨q为真命题，则p∧q也为真命题；
③“函数f（x）为奇函数”是“f（0）＝0”的充分不必要条件；
④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题为真命题．
解析 ∵x2＋x＋1<
0的否定是x2＋x＋1≥0，∴①错；
若p∨q为真命题，则p、q中至少有一个为真，∴②错；
f（x）为奇函数，但f（0）不一定有意义，∴③错；
命题“若x2－3x＋2＝0则x＝1”的否命题为“若x2－3x－2≠0，则x≠1”，是真命题，④对．
16．已知命题p：
“∀x∈R，∃m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________.
答案 （－∞，1]
解析 若綈p是假命题，则p是真命题，
即关于x的方程4x－2·
2x＋m＝0有实数解，
由于m＝－（4x－2·
2x）＝－（2x－1）2＋1≤1，∴m≤1.
17．设p：
方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；
方程x2＋2（m－2）x－3m＋10＝0无实根．则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是________．
答案 （－∞，－2]∪[－1,3）
解析 设方程x2＋2mx＋1＝0的两根分别为x1，x2，由
得m<
－1，
所以命题p为真时，m<
由方程x2＋2（m－2）x－3m＋10＝0无实根，可知Δ2＝4（m－2）2－4（－3m＋10）<
0，得－2<
3，所以命题q为真时，－2<
由p∨q为真，p∧q为假，可知命题p，q一真一假，
当p真q假时，
此时m≤－2；
当p假q真时，
此时－1≤m<
3，
所以所求实数m的取值范围是m≤－2或－1≤m<
18．有下列命题：
①在函数y＝cos
cos
的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；
②函数y＝
的图象关于点（－1,1）对称；
③已知命题p：
对任意的x∈R，都有sinx≤1，则綈p：
存在x0∈R，使得sinx0>
④在△ABC中，若3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则角C等于30°
或150°
.
其中的真命题是________．
解析 对于①，y＝cos
cos2x，相邻两个对称中心的距离为
，①错；
对于②，函数y＝
的图象关于点（1
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