直线与平面的平行的判定和性质.docx
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直线与平面的平行的判定和性质
典型例题一
例1简述下列问题的结论，并画图说明：
（1）直线a平面，直线baA，则b和的位置关系如何?
（2）直线a，直线b//a，则直线b和的位置关系如何？
分析：
（1）由图
（1）可知：
b或bA；
（2）由图
（2）可知：
b//或b.
说明：
此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法.
典型例题二
只要在该平面内找到一条直线和已知直
分析：
要证明平面外的一条直线和该平面平行,线平行就可以了.
证明：
如图所示，连结AC，交BD于点0,
•••四边形ABCD是平行四边形
•••AOCO，连结0Q，则0Q在平面BDQ内,
且0Q是APC的中位线，
•/PC在平面BDQ外,
•PC//平面BDQ.
说明：
应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直
线平行，怎样找这一直线呢？
由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如
果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论.这一个证明线面平行的步骤可以
总结为：
过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行.
典型例题三
例3经过两条异面直线a,b之外的一点P，可以作几个平面都与a,b平行？
并证明你的结论.
分析：
可考虑P点的不同位置分两种情况讨论.
解：
（1）当P点所在位置使得a,P（或b,P）本身确定的平面平行于b（或a）时，过P点再作不出与a,b都平行的平面；
（2）当P点所在位置a,P（或b,P）本身确定的平面与b（或a）不平行时，可过点P作a//a,b//b•由于a,b异面，则a,b不重合且相交于P•由于abP,a,b确定的平面，则由线面平行判定定理知：
a//,b//•可作一个平面都与a,
b平行.
故应作“o个或1个”平面.
说明：
本题解答容易忽视对P点的不同位置的讨论，漏掉第
（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论•可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论.
典型例题四
例4平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另平面.
已知：
直线a//b,a//平面，b.
求证：
b//.
证明：
如图所示，过a及平面内一点A作平面
•/a//,
•••a//c.
又ta//b,
•b//c.
tb,c,
•b//.
说明：
根据判定定理，只要在内找一条直线c//b，根据条件a//，为了利用直线
和平面平行的性质定理，可以过a作平面与相交，我们常把平面称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化.
和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例
如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的.
典型例题五
例5已知四面体SABC的所有棱长均为a•求：
（1）异面直线SC、AB的公垂线段EF及EF的长;
（2）异面直线EF和SA所成的角.
分析：
依异面直线的公垂线的概念求作异面直线离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解.
解：
（1）如图，分别取SC、AB的中点E、F，
SF、CF•
由已知，得SAB也CAB•
•••SFCF,E是SC的中点,
•••EFSC•
同理可证EFAB
•-EF是SC、AB的公垂线段.
J31
在RtSEF中，SFa,SE丄a•
22
•-EF.SF2SE2
（2）取AC的中点G，连结EG，则EG//SA.
•EF和GE所成的锐角或直角就是异面直线EF和SA所成的角.
•-GEF45•
故异面直线EF和SA所成的角为45•
说明：
对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出
来，然后再求值.
典型例题六
例6如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直
线必在这个平面内.
已知：
直线all,B,Bb,b//a.
求证：
b.
分析：
由于过点B与a平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面外,不存在过B与a平行的直线,
•••all，二b'//
这样过B点就有两条直线b和b'同时平行于直线a,与平行公理矛盾.
•••b必在内.
说明：
（1）本例的结论可以直接作为证明问题的依据.
⑵本例还可以用同一法来证明，只要改变一下叙述方式.
如上图，过直线a及点B作平面，设b'.Ta//,•b'//
这样，b'与b都是过B点平行于a的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条,
二b与b'重合.•••b',•b.
典型例题七
例7下列命题正确的个数是（）.
（1）若直线I上有无数个点不在平面内，则1〃；
（2）若直线I平行于平面内的无数条直线，则1〃；
（3）若直线I与平面平行，则I与平面内的任一直线平行；
⑷若直线I在平面夕卜，则I//.
A.0个B.1个C.2个D.3个
分析：
本题考查的是空间直线与平面的位置关系.对三种位置关系定义的准确理解是解
本题的关键.要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数来分类，还可
以按照直线是否在平面内来分类.
解：
（1）直线I上有无数个点不在平面内，并没有说明是所在点都不在平面内，因
而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交.解题时要注意“无数”并非“所有”.
（2）直线
l虽与内无数条直线平行，但I有可能在平面内，所以直线l不一定平行•（3）这是初学直线与平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到•当1〃时，若m且
m//l，则在平面内，除了与m平行的直线以外的每一条直线与I都是异面直线.（4）直线I在平面夕卜，应包括两种情况：
I//和I与相交，所以I与不一定平行.
故选A•
说明：
如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时更要注意分类要完整，考虑要全面.如直线I、m都平行于，则I与m的位置关系可能平行，可能相交也有可能
异面；再如直线l//m、1〃，则m与的位置关系可能是平行，可能是m在内.
典型例题八
例8如图，求证：
两条平行线中的一条和已知平面相交，则另一条也与该平面相交.
已知：
直线a//b,a平面P•求证：
直线b与平面相交.
分析：
利用a//b转化为平面问题来解决，由a//b可确定一辅助平面，这样可以把题中相关元素集中使用，既创造了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识能够运用.
解：
•/a//b,
•••a和b可确定平面
•••aP,
•平面和平面相交于过点P的直线I.
t在平面内I与两条平行直线a、b中一条直线a相交，
•I必定与直线b也相交，不妨设bIQ，又因为b不在平面内（若b在平面内,
贝U和都过相交直线b和I，因此与重合，a在内，和已知矛盾）.
所以直线b和平面相交.
说明：
证明直线和平面相交的常用方法有：
证明直线和平面只有一个公共点；否定直线在平面内以及直线和平面平行；用此结论：
一条直线如果经过平面内一点，又经过平面外一点，则此直线必与平面相交（此结论可用反证法证明）
典型例题九例9如图，求证：
经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行.已知：
a与b是异面直线•求证：
过b且与a平行的平面有且只有一个.
分析：
本题考查存在性与唯一性命题的证明方法.解题时要理解“有且只有”的含义•“有”
就是要证明过直线b存在一个平面，且a//，“只有”就是要证满足这样条件的平面是
唯一的•存在性常用构造法找出（或作出）平面，唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结
论.
证明：
（1）在直线b上任取一点A，由点A和直线a可确定平面
在平面内过点A作直线a,使a//a，则a和b为两相交直线，
所以过a'和b可确定一平面.
•/b,a与b为异面直线，
•••a.
又ta//a,a,
•-a//•
故经过b存在一个平面与a平行.
（2）如果平面也是经过b且与a平行的另一个平面，
由上面的推导过程可知也是经过相交直线b和a'的.
由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知，平面与重合，
即满足条件的平面是唯一的.
说明：
对于两异面直线a和b,过b存在一平面且与a平行，同样过a也存在一平面
且与b平行•而且这两个平面也是平行的（以后可证）•对于异面直线a和b的距离，也
可转化为直线a到平面的距离，这也是求异面直线的距离的一种方法.
典型例题十
例10如图，求证：
如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行.
已知：
丨，a//,a//，求证：
a//l•
分析：
本题考查综合运用线面平行的判定定理和性质定理的能力.利用线面平行的性质
定理，可以先证明直线a分别和两平面的某些直线平行，即线面平行可得线线平行.然后再
用线面平行的判定定理和性质定理来证明a与I平行.
证明：
在平面内取点P，使PI，过P和直线a作平面交于b.
•••a//,a,b,
a//b•
同理过a作平面交于c•
•••a//,a
•a//c•
•b//c•
•••b
•b//
又•••b,
•••a//,•a//l1,
•••a//,•a//l2,
但过一点只能作一条直线与另一直线平行.
•直线li和l2重合.
又•h,12,
二直线li、I2都重合于直线l,
二a//l•
说明：
“线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以相互转化的，这种转化的思想在立体几何中非常重要.
典型例题十一
例11正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各取一点P、Q，且APDQ•求证：
PQ//面BCE.
分析：
要证线面平行，可以根据判定定理，转化为证明线线平行•关键是在平面BCE
中如何找一直线与PQ平行•可考察过PQ的平面与平面BCE的交线，这样的平面位置不同，所找的交线也不同.
证明一：
如图，在平面ABEF内过P作PM//AB交BE于M,
在平面ABCD内过Q作QN//AB交BC于N，连结MN•
ABAE
又•••QN//AB//CD,
.QNBQ加QNBQ
…，即——
DCBDABBD
•••正方形ABEF与ABCD有公共边AB,
•••AEDB•
•/APDQ,•PEBQ•
•PMQN•
又•••PM//AB,QN//AB,
•PM//QN•
•四边形PQNM为平行四边形.
•••PQ//MN.
又•••MN面BCE,
•PQ//面BCE•
证明二：
如图，连结AQ并延长交BC于S，连结ES•
又•••正方形ABEF与正方形ABCD有公共边AB,
AE
DB,
AP
DQ,
•PEQB
AP
DQ
AQ
PE
QB
QS•
PQ//
ES,
•-ES
面BEC,
•PQ//面BEC•
说明：
从本题中我们可以看出，证线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定.此题中我们可以把“两个有公共边的正方形”这一条件改为“两个全等
的矩形”，那么题中的结论是否仍然成立？
典型例题十二
例12三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或平行、或相交于一点.
已知：
a,b,c.
求证：
a、b、c互相平行或相交于一点.
分析：
本题考查的是空间三直线的位置关系，我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系
入手，根据共面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系.
证明：
•••a,b,
a与b平行或相交.
①若a//b，如图
又•••
•••a//b//c.
②若a与b相交，如图，设
又•••a,b
•O,O
又•••c,•Oc.
•直线a、b、c交于同一点O.
说明：
这一结论常用于求一个几何体的截面与各面交线问题，如正方体ABCD中,
M、N分别是CCi、A1B1的中点，画出点D、M、N的平面与正方体各面的交线，并
说明截面多边形是几边形？
典型例题十三
例13已知空间四边形ABCD,ABAC,AE是ABC的BC边上的高，DF是
BCD的BC边上的中线，求证：
AE和DF是异面直线.
证法一：
（定理法）如图
由题设条件可知点E、F不重合，设BCD所在平面
DF
A
二AE和DF是异面直线.
E
EDF
证法二：
（反证法）
若AE和DF不是异面直线，则AE和DF共面，设过AE、DF的平面为•
（1）若E、F重合，则E是BC的中点，这与题设ABAC相矛盾.⑵若E、F不重合，
•/BEF,CEF,EF,二BC.
•-A,D,
•••A、B、C、D四点共面，这与题设ABCD是空间四边形相矛盾.综上，假设不成立.
故AE和DF是异面直线.
说明：
反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用.
首先看一个有趣的实际问题：
“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？
”对于这个问题，同学们可试验做一做.
也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的.那么你怎样才能清
楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？
用反证法可以轻易地解决这个问题•假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则9
个单数之和仍为单数，与36这个双数矛盾•只须两句话就解决了这个问题.
典型例题十四
例14已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别是AB、
BC、CD的中点，求证：
平面EFG和AC平行，也和BD平行.
分析：
欲证明AC//平面EFG，根据直线和平面平等的判定定理只须证明AC平行平
面EFG内的一条直线，由图可知，只须证明AC//EF.
•AC//EF•于是AC//平面EFG.同理可证，BD//平面EFG.
（1）根据直线和平面平行定
说明：
到目前为止，判定直线和平面平行有以下两种方法:
义；
（2）根据直线和平面平行的判定定理.
典型例题十五
例15已知空间四边形ABCD,P、Q分别是ABC和BCD的重心，
求证：
PQ//平面ACD.
分析：
欲证线面平行，须证线线平行，即要证明PQ与平面ACD中的某条直线平行,
根据条件，此直线为AD，如图.
证明：
取BC的中点E.
•/P是ABC的重心，连结AE,
则AE：
PE3：
1，连结DE,
•/Q为BCD的重心，
•••DE:
QE3：
1,
•••在AED中，PQ//AD.
又AD平面ACD,PQ平面ACD,
•PQ//平面ACD.
说明：
（1）本例中构造直线AD与PQ平行，是充分借助于题目的条件：
P、Q分别是
ABC和BCD的重心，借助于比例的性质证明PQ//AD，该种方法经常使用，望注意
把握.
（2）“欲证线面平行，只须证线线平行”•判定定理给我们提供了一种证明线面平等的方
法.根据问题具体情况要熟练运用.
典型例题十六
例16正方体ABCDA1B1C1D1中，E、G分别是BC、C1D1的中点如下图.
求证：
EG//平面BB1D1D.
分析：
要证明EG//平面BB1D1D，根据线面平等的判定定理，需要在平面BB1D1D内
找到与EG平行的直线，要充分借助于E、G为中点这一条件.
证明：
取BD的中点F，连结EF、D1F.
•/E为BC的中点，
1
•••EF为BCD的中位线，贝UEF//DC，且EFCD.
2
•-G为CiDi的中点，
1
•D1G//CD且D1GCD,
2
•••EF//D1G且EFD1G,
•四边形EFD1G为平行四边形,
•D1F//EG，而D1F平面BDD1B1,EG平面BDD1B1,
•-EG//平面BDD1B1.
典型例题十七
A.一条直线不相交
C.无数条直线不相交
B.两条相交直线不相交
D•任意一条直线都不相交
解：
根据直线和平面平行定义，易知排除A、B.对于C,无数条直线可能是一组平行
线，也可能是共点线，•C也不正确，应排除C.
与平面内任意一条直线都不相交，才能保证直线a与平面平行，•D正确.
•应选D.
说明：
本题主要考查直线与平面平行的定义.
典型例题十八
）.
例18分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（
解：
如图中的甲图，分别与异面直线a、b平行的两条直线c、d是相交关系;如图中的乙图，分别与异面直线a、b平行的两条直线c、d是相交关系.
综上，可知应选D.
说明：
本题主要考查有关平面、线面平行等基础知识以及空间想象能力.
典型例题十九
例19a、b疋两条异面直线，
F列结论正确的是（
）.
A
.过不在a、b上的任
亠占
八、、：
可作一个平面与
a、
b平行
B.
.过不在a、b上的任
-占
八、、：
可作一个直线与
a、
b相交
C.
.过不在a、b上的任
-占
八、、：
可作一个直线与
a、
b都平行
D
.过a可以并且只可以作-
平
面与b平行
解:
A错，若点与a所确定的平面与b平行时，
就不能使这个平面与
平行了
B错，若点与a所确定的平面与b平等时，就不能作一条直线与a,b相交.C错，假如这样的直线存在，根据公理4就可有a//b，这与a,b异面矛盾.
D正确，在a上任取一点A，过A点做直线c//b,则c与a确定一个平面与b平行，这个平面是惟一的.
应选D.
说明：
本题主要考查异面直线、线线平行、线面平行等基本概念.
典型例题二十
例20
（1）直线a//b,a//平面，贝Ub与平面的位置关系是.
（2）A是两异面直线a、b外的一点，过A最多可作个平面同时与a、b
平行.
解：
⑴当直线b在平面夕卜时，b//；当直线b在平面内时，b.
•••应填：
b//或b.
（2）因为过A点分别作a,b的平行线只能作一条，
（分别称a,b）经过a,b的平面也是惟一的.所以只能作一个平面；
还有不能作的可能，当这个平面经过a或b时，这个平面就不满足条件了.
•应填：
1.
说明：
考虑问题要全面，各种可能性都要想到，是解答本题的关键.
典型例题二十
例21如图，all,A是的另一侧的点，B,C,Da，线段AB,AC,AD交
于E,F,G，若BD4,CF4,AF5，则EG=.
解：
•/all,EG平面ABD.
•••allEG，即BDllEG，
•EF
FG
AF
EF
FG
EGAF
…BC
CD
AC
BC
CD
BDAFFC
则EG
AF
BD
54
20
AF
FC
54
9•
•应填：
20
9
说明：
本题是一道综合题，考查知识主要有：
直线与平面平行性质定理、相似三角形、比例性质等•同时也考查了综合运用知识，分析和解决问题的能力.
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