初中数学竞赛专题培训.docx

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初中数学竞赛专题培训

初中数学竞赛专题培训第一讲：

因式分解

（一）

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

　　1．运用公式法

　　在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；

　　（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

　　（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．

　　下面再补充几个常用的公式：

　　（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；

　　（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；

　　（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n为正整数；

　　（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n为偶数；

　　（9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1），其中n为奇数．

　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

　　例1分解因式：

（1）-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；

（2）x3-8y3-z3-6xyz；

　　（3）a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；

　　（4）a7-a5b2+a2b5-b7．

　　解

（1）原式=-2xn-1yn（x4n-2x2ny2+y4）

　　　　　　　=-2xn-1yn[（x2n）2-2x2ny2+（y2）2]

　　　　　　　=-2xn-1yn（x2n-y2）2

　　　　　　　=-2xn-1yn（xn-y）2（xn+y）2．

（2）原式=x3+（-2y）3+（-z）3-3x（-2y）（-Z）

　　　　　=（x-2y-z）（x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz）．

　　（3）原式=（a2-2ab+b2）+（-2bc+2ca）+c2

　　　　　＝（a-b）2+2c（a-b）+c2

　　　　　=（a-b+c）2．

　　本小题可以稍加变形，直接使用公式（5），解法如下：

　　原式=a2+（-b）2+c2+2（-b）c+2ca+2a（-b）

　　　　=（a-b+c）2

　　（4）原式=（a7-a5b2）+（a2b5-b7）

　　　　　=a5（a2-b2）+b5（a2-b2）

　　　　　=（a2-b2）（a5+b5）

　　　　　=（a+b）（a-b）（a+b）（a4-a3b+a2b2-ab3+b4）

　　　　　=（a+b）2（a-b）（a4-a3b+a2b2-ab3+b4）

　　例2分解因式：

a3+b3+c3-3abc．

　　本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式（6）．

　　分析我们已经知道公式

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

　　的正确性，现将此公式变形为

a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）．

　　这个

式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．

　　解原式=（a+b）3-3ab（a+b）+c3-3abc

　　　　　=［（a+b）3+c3］-3ab（a+b+c）

　　　　　=（a+b+c）［（a+b）2-c（a+b）+c2]-3ab（a+b+c）

　　　　　=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）．

　　说明公式（6）是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：

我们将公式（6）变形为

　　a3+b3+c3-3abc

　　显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．

　　如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有

　　等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．

　　例3分解因式：

x15+x14+x13+…+x2+x+1．

　　分析这个多项式的特点是：

有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解．

　　解因为

　　x16-1=（x-1）（x15+x14+x13+…x2+x+1），

　　所以

　　说明在本题的分解过程中，用到先乘以（x-1），再除以（x-1）的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．

　　2．拆项、添项法

　　因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

　　例4分解因式：

x3-9x+8．

　　分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．

　　解法1将常数项8拆成-1+9．

　　原式=x3-9x-1+9

　　　　=（x3-1）-9x+9

　　　　=（x-1）（x2+x+1）-9（x-1）

　　　　=（x-1）（x2+x-8）．

　　解法2将一次项-9x拆成-x-8x．

　　原式=x3-x-8x+8

　　　　=（x3-x）+（-8x+8）

　　　　=x（x+1）（x-1）-8（x-1）

　　　　=（x-1）（x2+x-8）．

　　解法3将三次项x3拆成9x3-8x3．

　　原式=9x3-8x3-9x+8

　　　　=（9x3-9x）+（-8x3+8）

　　　　=9x（x+1）（x-1）-8（x-1）（x2+x+1）

　　　　=（x-1）（x2+x-8）．

　　解法4添加两项-x2+x2．

　　原式=x3-9x+8

　　　　=x3-x2+x2-9x+8

　　　　=x2（x-1）+（x-8）（x-1）

　　　　=（x-1）（x2+x-8）．

　　说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．

　　例5分解因式：

（1）x9+x6+x3-3；

（2）（m2-1）（n2-1）+4mn；

　　（3）（x+1）4+（x2-1）2+（x-1）4；

　　（4）a3b-ab3+a2+b2+1．

　　解

（1）将-3拆成-1-1-1．

　　原式=x9+x6+x3-1-1-1

　　　　=（x9-1）+（x6-1）+（x3-1）

　　　　=（x3-1）（x6+x3+1）+（x3-1）（x3+1）+（x3-1）

　　　　=（x3-1）（x6+2x3+3）

　　　　=（x-1）（x2+x+1）（x6+2x3+3）．

（2）将4mn拆成2mn+2mn．

　　原式=（m2-1）（n2-1）+2mn+2mn

　　　　=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn

　　　　=（m2n2+2mn+1）-（m2-2mn+n2）

　　　　=（mn+1）2-（m-n）2

　　　　=（mn+m-n+1）（mn-m+n+1）．

　　（3）将（x2-1）2拆成2（x2-1）2-（x2-1）2．

　　原式=（x+1）4+2（x2-1）2-（x2-1）2+（x-1）4

　　　　=［（x+1）4+2（x+1）2（x-1）2+（x-1）4]-（x2-1）2

　　　　=［（x+1）2+（x-1）2]2-（x2-1）2

　　　　=（2x2+2）2-（x2-1）2=（3x2+1）（x2+3）．

　　（4）添加两项+ab-ab．

　　原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab

　　　　=（a3b-ab3）+（a2-ab）+（ab+b2+1）

　　　　=ab（a+b）（a-b）+a（a-b）+（ab+b2+1）

　　　　=a（a-b）［b（a+b）+1]+（ab+b2+1）

　　　　=[a（a-b）+1]（ab+b2+1）

　　　　=（a2-ab+1）（b2+ab+1）．

　　说明（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．

　　3．换元法

　　换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

　　例6分解因式：

（x2+x+1）（x2+x+2）-12．

　　分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．

　　解设x2+x=y，则

　　原式=（y+1）（y+2）-12=y2+3y-10

　　　　=（y-2）（y+5）=（x2+x-2）（x2+x+5）

　　　　=（x-1）（x+2）（x2+x+5）．

　　说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．

　　例7分解因式：

（x2+3x+2）（4x2+8x+3）-90．

　　分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．

　　解原式=（x+1）（x+2）（2x+1）（2x+3）-90

　　　　　=[（x+1）（2x+3）][（x+2）（2x+1）]-90

　　　　　=（2x2+5x+3）（2x2+5x+2）-90．

　　令y=2x2+5x+2，则

　　原式=y（y+1）-90=y2+y-90

　　　　=（y+10）（y-9）

　　　　=（2x2+5x+12）（2x2+5x-7）

　　　　=（2x2+5x+12）（2x+7）（x-1）．

　　说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元（y）的基础．

　　例8分解因式：

（x2+4x+8）2+3x（x2+4x+8）+2x2．

　　解设x2+4x+8=y，则

　　原式=y2+3xy+2x2=（y+2x）（y+x）

　　　　=（x2+6x+8）（x2+5x+8）

　　　　=（x+2）（x+4）（x2+5x+8）．

　　说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．

　　例9分解因式：

6x4+7x3-36x2-7x+6．

　　解法1原式=6（x4+1）＋7x（x2-1）-36x2

　　　　　　　=6［（x4-2x2+1）+2x2］+7x（x2-1）-36x2

　　　　　　　=6[（x2-1）2+2x2]+7x（x2-1）-36x2

　　　　　　　=6（x2-1）2+7x（x2-1）-24x2

　　　　　　　=[2（x2-1）-3x］［3（x2-1）+8x]

　　　　　　　=（2x2-3x-2）（3x2+8x-3）

　　　　　　　=（2x+1）（x-2）（3x-1）（x+3）．

　　说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．

　　解法2

　　原式=x2[6（t2+2）+7t-36]

　　　　=x2（6t2+7t-24）=x2（2t-3）（3t+8）

　　　　=x2[2（x-1/x）-3][3（x-1/x）+8]

　　　　=（2x2-3x-2）（3x2+8x-3）

　　　　=（2x+1）（x-2）（3x-1）（x+3）．

　　例10分解因式：

（x2+xy+y2）-4xy（x2+y2）．

　　分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．

　　解原式=[（x+y）2-xy]2-4xy[（x+y）2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则

　　原式=（u2-v）2-4v（u2-2v）

　　　　=u4-6u2v+9v2

　　　　=（u2-3v）2

　　　　=（x2+2xy+y2-3xy）2

　　　　=（x2-xy+y2）2．

练习一

　　1．分解因式：

（2）x10+x5-2；

　　（4）（x5+x4+x3+x2+x+1）2-x5．

　　2．分解因式：

（1）x3+3x2-4；　　

（2）x4-11x2y2+y2；

　　（3）x3+9x2+26x+24；　　（4）x4-12x+323．

　　3．分解因式：

（1）（2x2-3x+1）2-22x2+33x-1；

（2）x4+7x3+14x2+7x+1；

　　（3）（x+y）3+2xy（1-x-y）-1；

　　（4）（x+3）（x2-1）（x+5）-20．

初中数学竞赛专题培训第二讲：

因式分解

（二）

　　1．双十字相乘法

　　分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式．

　　例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-（5+7y）x-（22y2-35y+3），

　　可以看作是关于x的二次三项式．

　　对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

　　即：

-22y2+35y-3=（2y-3）（-11y+1）．

　　再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

　　所以，原式=［x+（2y-3）］［2x+（-11y+1）］

　　　　=（x+2y-3）（2x-11y+1）．

　　上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：

　　它表示的是下面三个关系式：

　　（x+2y）（2x-11y）=2x2-7xy-22y2；

　　（x-3）（2x+1）=2x2-5x-3；

　　（2y-3）（-11y+1）=-22y2+35y-3．

　　这就是所谓的双十字相乘法．

　　用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

（1）用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图（有两列）；

（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

　　例1分解因式：

（1）x2-3xy-10y2+x+9y-2；

（2）x2-y2+5x+3y+4；

　　（3）xy+y2+x-y-2；

　　解

（1）

　　原式=（x-5y+2）（x+2y-1）．

（2）

　　原式=（x+y+1）（x-y+4）．

　　（3）原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．

原式=（2x-3y+z）（3x+y-2z）．

2．求根法

　　我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0（n为非负整数）的代数式称为关于x的一元多项式，并用f（x），g（x），…等记号表示，如

　　f（x）=x2-3x+2，g（x）=x5+x2+6，…，

　　当x=a时，多项式f（x）的值用f（a）表示．如对上面的多项式f（x）

　　f

（1）=12-3×1+2=0；

　　f（-2）=（-2）2-3×（-2）+2=12．

　　若f（a）=0，则称a为多项式f（x）的一个根．

　　定理1（因式定理）若a是一元多项式f（x）的根，即f（a）=0成立，则多项式f（x）有一个因式x-a．

　　根据因式定理，找出一元多项式f（x）的一次因式的关键是求多项式f（x）的根．对于任意多项式f（x），要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f（x）的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．

　　定理2　　

　　的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f（x）的整数根均为an的约数．

　　我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．

　　例2分解因式：

x3-4x2+6x-4．

　　分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：

±1，±2，±4，只有

　　f

（2）=23-4×22+6×2-4=0，

　　即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．

　　解法1用分组分解法，使每组都有因式（x-2）．

　　原式=（x3-2x2）-（2x2-4x）+（2x-4）

　　　　=x2（x-2）-2x（x-2）+2（x-2）

　　　　=（x-2）（x2-2x+2）．

　　解法2用多项式除法，将原式除以（x-2），

　　所以

原式=（x-2）（x2-2x+2）．

　　说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．

　　例3分解因式：

9x4-3x3+7x2-3x-2．

　　分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±

为：

　　所以，原式有因式9x2-3x-2．

　　解9x4-3x3+7x2-3x-2

　　　=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2

　　　=x2（9x3-3x-2）+9x2-3x-2

　　　=（9x2-3x-2）（x2+1）

　　　=（3x+1）（3x-2）（x2+1）

　　说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式

　　可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．

　　总之，对一元高次多项式f（x），如果能找到一个一次因式（x-a），那么f（x）就可以分解为（x-a）g（x），而g（x）是比f（x）低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g（x）进行分解了．

　　3．待定系数法

　　待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．

　　在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

　　例4分解因式：

x2+3xy+2y2+4x+5y+3．

　　分析由于

　　（x2+3xy+2y2）=（x+2y）（x+y），

　　若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．

　　解设

　　x2+3xy+2y2+4x+5y+3

　　=（x+2y+m）（x+y+n）

　　=x2+3xy+2y2+（m+n）x+（m+2n）y+mn，

　　比较两边对应项的系数，则有

　　解之得m=3，n=1．所以

原式=（x+2y+3）（x+y+1）．

　　说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．

　　例5分解因式：

x4-2x3-27x2-44x+7．

　　分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7（7的约数），经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为（x2+ax+b）（x2+cx+d）的形式．

　　解设

　　原式=（x2+ax+b）（x2+cx+d）

　　　　=x4+（a+c）x3+（b+d+ac）x2+（ad+bc）x+bd，

　　所以有

　　由bd=7，先考虑b=1，d=7有

　　所以

　　原式=（x2-7x+1）（x2+5x+7）．

　　说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．

　　本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．

练习二

　　1．用双十字相乘法分解因式：

（1）x2-8xy+15y2+2x-4y-3；

（2）x2-xy+2x+y-3；

（3）3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．

　　2．用求根法分解因式：

（1）x3+x2-10x-6；

（2）x4+3x3-3x2-12x-4；

　　（3）4x4+4x3-9x2-x+2．

　　3．用待定系数法分解因式：

（1）2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；

（2）x4+5x3+15x-9．

初中数学竞赛专题培训第三讲实数的若干性质和应用

实数是高等数学特别是微积分的重要基础．在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念．这一概念对中学生而言，有一定难度．但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的．因此，适当学习一些有关实数的基础知识，以及运用这些知识解决有关问题的基本方法，不仅是为高等数学的学习打基础，而且也是初等数学学习所不可缺少的．本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用．

用于解决许多问题，例如，不难证明：

任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数，或者说，有理数对加、减、乘、除（零不能做除数）是封闭的．

　　性质1任何一个有理数都能写成有限小数（整数可以看作小数点后面为零的小数）或循环小数的形式，反之亦然．

　　例1

　　分析要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．

　　证设

　　两边同乘以100得

　　②-①得

　　99x=261.54-2.61=258.93，

无限不循环小数称为无理数．有理数对四则运算是封闭的，而无理

是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质．

　　性质2设a为有理数，b为无理数，则

（1）a+b，a-b是无理数；

　　有理数和无理数统称为实数，即

　　在实数集内，没有最小的实数，也没有最大的实数．任意两个实数，可以比较大小．全体实数和数轴上的所有点是一一对应的．在实数集内进行加、减、乘、除（除数不为零）运算，其结果仍是实数（即实数对四则运算的封闭性）．任一实数都可以开奇次方，其结果仍是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数．

　　例2

　　分析

　　证

　　所以

　　分析要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数与无理数共同组成了