证明直线与圆相切的常见方法Word文档格式.doc

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且∠PAC=∠B.

求证:

PA是⊙O的切线.

图1

分析：

要证明PA是⊙O的切线，因为AB是⊙O的直径，所以只要证明AB⊥AP.可结合直径所对的圆周为直角进行推理.

证明：

因为AB为⊙O的直径，

所以∠ACB=90°

，所以∠CAB+∠B=90°

，

因为∠PAC=∠B，

所以∠CAB+∠PAC=90°

，即∠BAP=90°

，

所以PA是⊙O的切线.

二、若给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径，则连结公共点和圆心，然后根据“经过半径外端且垂直这条半径的直线是圆的切线”来证明.简记为“作半径，证垂直”.

　例2如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．

求证：

DE是⊙O的切线．

　证明：

连接OC，则OA=OC，

　所以∠CAO=∠ACO，

　因为AC平分∠EAB，

　所以∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，

　所以AE∥CO，

　又AE⊥DE，

　所以CO⊥DE，

　所以DE是⊙O的切线．

三、若直线与圆的公共点不明确时，则过圆心作该直线的垂线段，然后根据“圆心到直线的距离等于圆的半径，该直线是圆的切线”来证明.简记为“作垂直，证相等”.

例3如图3，已知，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F.

求证：

CD与⊙O相切．

图3

分析：

要识别“CD与⊙O相切”，由于不知道CD经过圆上哪一点，所以先过点O作：

ON⊥CD于N，再证明ON是⊙O半径。

易知OM是⊙O的半径，只要证明：

OM=ON即可.

连结OM，作ON⊥CD于N，

因为⊙O与BC相切，

所以OM⊥BC.

因为四边形ABCD是正方形，

所以AC平分∠BCD.

所以OM=ON.图4

所以CD与⊙O相切.

总结：

切线判断并不难，认真审题是重点；

直线与圆有交点，连接半径是关键，推得垂直是切线；

若没明确是切点，作过圆心垂线段，半径相等得切线.