全等三角形的概念及性质教案横版.docx

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全等三角形的概念及性质教案横版

全等三角形的概念及性质

适用学科

初中数学

适用年级

初中二年级

适用区域

全国新课标

课时时长（分钟）

60分钟

知识点

1、全等三角形的基本概念

2、全等三角形的性质

教学目标

1.通过实例理解全等图形的概念和特征，并能找出全等图形。

2.能叙述全等三角形的定义及相关概念，并能找出两个全等三角形的对应边和对应角。

3.掌握全等三角形的性质，会利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。

教学重点

全等三角形的概念及性质

教学难点

全等三角形的对应顶点要对应写，对应关系要明确

教学过程

一、复习预习

复习多边形的概念及其对角线、内外角和。

1、多边形的定义：

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

2、多边形的对角线：

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

①从n边形的一个顶点出发，可以画

条对角线，将多边形分成n--2个三角形.②n边形一共有

条对角线。

3、多边形的内角和公式：

n边形的内角和为

（n≥2）。

4、多边形的外角和定理：

多边形的外角和等于360°。

二、知识讲解

1、全等三角形的基本概念:

（1）全等形的定义:

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

（2）全等三角形的定义：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

重合的顶点叫做对应顶点。

重合的边叫做对应边。

重合的角叫做对应角。

（3）全等三角形的表示方法：

△ABC≌△A’B’C’

2、全等三角形的性质：

（1）全等三角形的对应边相等；

（2）全等三角形的对应角相等。

考点/易错点1

注意：

对应边，对应角，对边，对角，夹边，夹角容易混淆。

对应边或对应角是对对应的两个三角形说的，是两条边之间或两个角之间的关系，而对边、对角是对同一个三角形中的边和角说的，对边是对某个角说的，对角是对某条边说的，夹边是已知两个角的公共边，夹角是已知两条边所形成的角。

三、例题精析

【例题1】

【题干】下列说法正确的有（）

1用一张底片冲洗出来的10张一寸相片是全等形

2我国国旗上的4颗小五星是全等形

3所有的正方形是全等形

4全等形的面积一定相等

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【解析】用一张底片冲洗出来的10张一寸照片的形状和大小完全相同，它们是全等形，所以①正确；我国国旗上的四颗小五星的形状和大小也完全相同，它们也是全等形；所以②正确；所有的正方形只是形状相同，但大小不一定相同，所以它们不是全等形，所以③不正确；全等形的形状和大小完全相同，所以面积一定相等，所以④正确。

因此，①②和④是正确的，故选C。

【例题2】

【题干】已知：

如图2，△ABD≌△CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（）

A．DBB．BCC．CDD．AD

【答案】C

【解析】由于对应边一定是全等三角形能够重合的边，所以对应边一定相等才可能重合，而DB、BC、AD都不等于AB，所以都不是AB的对应边，所以，AB的对应边是CD。

答案选（C）。

【例题3】

【题干】观察图3中的个各个图形，其中的全等图形为（图形用编号表示）：

_______________。

【答案】

（1）和（6），

（2）和（5），（3）和（8）。

【解析】

（1）和（6）通过平移能够重合，所以

（1）和（6）是全等形；

（2）和（5）通过翻折、平移后能够重合，所以

（2）和（5）是全等形；（3）和（8）是通过旋转、平移后能够重合，所以（3）和（8）是全等形。

因此，本题中的全等形为

（1）和（6），

（2）和（5），（3）和（8）。

【例题4】

【题干】如图4，已知⊿ABD≌⊿ACE，AB=AC，写出这对全等三角形的对应边和对应角。

【答案】∠A与∠A，∠ADB与∠AEC，∠B与∠C是对应角，AB与AC，BD与CE，AD与AE是对应边。

【解析】因为AB=AC，所以∠ADB与∠AEC是对应角，因为∠A=∠A，所以∠A与∠A是公共角，根据三角形的内角和定理180°-∠A-∠ADB=180°-∠A-∠AEC，可得∠B=∠C，所以∠B与∠C是对应角；根据对应角所对的边是对应边，可以知道，AD与AE是对应边，BD与CE对应边。

综上可得，∠A与∠A，∠ADB与∠AEC，∠B与∠C是对应角，AB与AC，BD与CE，AD与AE是对应边。

【例题5】

【题干】如图5，已知⊿ABE≌⊿ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角。

【答案】AB与AC，AE与AD，BE与CD。

【解析】将两个全等的三角形⊿ABE和⊿ACD分离出来，如图5，因为∠1=∠2，∠B=∠C，所以另一组对应角为∠BAE=∠CAD；又因为∠B和∠C的对边分别是AE，AD，∠1和∠2的对边分别是AB和AC，所以它们的对应边为AB与AC，AE与AD，BE与CD。

【例题6】

【题干】如图7，⊿DAC和⊿EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于M、N，有如下结论：

1⊿ACE≌⊿DCB；②CM=CN；③AC=DN，其中正确结论的个数是（）

A．3个B．2个C．1个D．0个

【答案】B。

【解析】∵⊿DAC和⊿EBC均是等边三角形，

∴CA=CD，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，

∴到把⊿ACE绕点C旋转60°后与⊿DCB重合

∴⊿ACE≌⊿DCB

∴∠AEC=∠DBC

∵∠DCN=60°，∠BCN=∠ECM=60°，

∴180°-∠AEC-∠DCE=180°-∠DBC-∠ECB

∴∠CME=∠CNB

又因为CE=CB

∴把⊿MCE绕点C旋转60°后与⊿NCB重合

∴⊿MCE≌⊿NCB

∴CM=CN

∴选B。

【例题7】

【题干】如图8，⊿ABC绕顶点A顺时针旋转，若∠B=20°，∠C=50°。

（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的⊿A’B’C’的顶点C’与原三角形ABC的顶点B和A在同一直线上；

（2）在继续旋转多少度时，C，A，C’在同一直线上（原⊿ABC是指开始位置）。

【答案】

（1）110°，

（2）70°。

【解析】

（1）如图9所示：

∵∠B=20°，∠C=50°，且∠B+∠C+∠CAB=180°

∴∠CAB=180°-20°-50°=110°

∴⊿ABC绕顶点A顺时针旋转110°时，旋转后的⊿A’B’C’的顶点C’与原三角形ABC的顶点B和A在同一直线上。

（2）如图10所示：

∵C，A，C’在同一直线上

∴∠CAC’=180°

180°-110°=70°

【例题8】

【题干】如图11，若⊿ABC≌⊿DCB，且A与D，B与C是对应点，进行怎样的图形变换可使这两个三角形重合呢？

【答案】先将⊿ABC沿BC翻折180°，再将⊿ABC绕点C旋转180°，最后将⊿ABC沿着直线BC向左平移|BC|个单位长度，如图14，⊿ABC和⊿DCB重合。

【解析】根据两个全等三角形的边角对应关系，首先将⊿ABC沿BC翻折180°，再把⊿ABC绕点C旋转180°，最后将⊿ABC沿着直线BC向左平移|BC|个单位就可使得两个三角形重合。

四、课堂运用

【基础】

1、已知△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=75°，则∠F的大小为（）

A.50°B.55°C.65°D.75°

【答案】75°

【解析】∵△ABC≌△DEF，

∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，

已知∠A=30°，∠E=75°，

∴∠C=∠F=180°-∠A-∠B=180°-30°-75°=75°．

故答案为：

75°．

2、如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是（）

【答案】DE=AB=BE＋AE=4＋1=5

【解析】根据三角形全等的性质可以知道：

对应边相等，即：

DE=BA。

3、（2011•呼伦贝尔）如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（　　）

A．20°B．30°C．35°D．40°

【答案】B

【解析】∵△ACB≌△A′CB′，

∴∠ACB=∠A′CB′，

即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，

∴∠ACA′=∠B′CB，

又∠B′CB=30°

∴∠ACA′=30°．

故选：

B．

4、（2009•海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（　　）

A．72°B．60°C．58°D．50°

【答案】D

【解析】∵图中的两个三角形全等

a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角

∴∠α=50°

故选D．

5、如图，在△ABC中，D、E分别是AB，BC上的点，若△ACE≌△ADE≌△BDE，则∠ABC=（　　）

A．30°

B．35°

C．45°

D．60°

【答案】A

【解析】∵△ADE≌△BDE则∠ADE=∠BDE

又∵∠ADE+∠BDE=180°

∴∠ADE=∠BDE=90°

∵△ACE≌△ADE

∴∠C=∠ADE=90°

∴∠CAB+∠B=90°

又∵△ACE≌△ADE≌△BDE

∴∠CAE=∠EAD=∠B=30°故选A．

6、如图所示，若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=3，则EC的长为（　　）

A．2

B．3

C．5

D．2.5

【答案】A

【解析】∵△ABE≌△ACF

∴AC=AB=5

∴EC=AC-AE=2．

故选A．

7.如图，△ABC≌△DEF，DF和AC，FE和CB是对应边．若∠A=100°，∠F=47°，则∠DEF等于（　　）

A．100°

B．53°

C．47°

D．33°

【答案】D

【解析】∵△ABC≌△DEF，DF和AC，FE和CB是对应边，

∴∠A=∠FDE，

又∵∠A=100°，

∴∠FDE=100°；

∵∠F=47°，∠FDE+∠F+∠DEF=180°，

∴∠DEF=180°-∠F-∠FDE=180°-47°-100°=33°；

故选D．

【巩固】

1.如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C=_______度．

【答案】解：

∵△ADB≌△EDB≌△EDC，

∴∠ADB=∠EDB=∠EDC，∠DEC=∠DEB∠=A，

又∵∠ADB+∠EDB+∠EDC=180°，∠DEB+∠DEC=180°

∴∠EDC=60度，∠DEC=90

在△DEC中，∠EDC=60°，∠DEC=90°

∴∠C=30°．

故答案为30．

【解析】因为三个三角形为全等三角形，则对应边相等，从而得到∠C=∠CBD=∠DBA，再利用这三角之和为90°，求得∠C的度数．

2.已知△ABC≌△DEF，且∠A=100°，∠E=35°，则∠F=（　　）

A．35°

B．45°

C．55°

D．70°

【答案】解：

∵△ABC≌△DEF，

∴∠A=∠D，

∵∠A=100°，

∴∠D=100°，

∵∠E=35°，

∴∠F=180°-∠D-∠E=45°，

故选B．

【解析】根据全等三角形的性质得出∠D=∠A=100°，根据三角形的内角和定理求出即可．

3.如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（4，4），∠OAB=90°，有直角三角形与Rt△ABO全等且以AB为公共边，请写出这些直角三角形未知顶点的坐标

．

【答案】解：

（8，0），（8，4），（0，4）

1，

2，

3，

【解析】根据题意我们可知AB为公共边，我们可以以AB为直角边，做直角三角形求解，可知共3种情况．

【拔高】

1.已知△ABC与△DEF全等，∠A=∠D=90°，∠B=37°，则∠E的度数是（　　）

A．37°

B．53°

C．37°或63°

D．37°或53°

【答案】分成两种情况：

1ABC≌△DEF，此时∠B=∠E，∠C=∠F，所以∠E=37°；

2ABC≌△DFE，此时∠B=∠F，∠C=∠E，所以∠E=53°．

综上，∠E的度数为37°或53°，故选D．

【解析】全等三角形对应边相等、对应角相等，要求∠E，只需求∠E的对应角．

2.已知△DEF≌△ABC，AB=AC，且△ABC的周长为23cm，BC=4 cm，则△DEF的边中必有一条边等于_________

【答案】从题中可以得知DE与AB对应，EF与BC对应，DF与AC对应，

所以EF等于BC等于4CM。

又由AB=AC，△ABC的周长为23cm,BC=4cm可得知AB=AC=9.5CM,

所以ED=AB=AC=DF=9.5CM.

【解析】通过三角形全等对应边的对应关系，找到两个三角形的对应边相等进行解答。

3．如图7，⊿DAC和⊿EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于M、N，有如下结论：

①⊿ACE≌⊿DCB；②CM=CN；③AC=DN，其中正确结论的个数是（）

A．3个B．2个C．1个D．0个

【答案】∵⊿DAC和⊿EBC均是等边三角形，

∴CA=CD，CE=CB，∠ACD=∠ECB=600，

∴到把⊿ACE绕点C旋转600后与⊿DCB重合

∴⊿ACE≌⊿DCB

∴∠AEC=∠DBC

∵∠DCN=600，∠BCN=∠ECM=600，

∴1800-∠AEC-∠DCE=1800-∠DBC-∠ECB

∴∠CME=∠CNB

又因为CE=CB

∴把⊿MCE绕点C旋转600后与⊿NCB重合

∴⊿MCE≌⊿NCB

∴CM=CN

∴选B。

【解析】由⊿DAC和⊿EBC均是等边三角形，得到CA=CD，CB=CE，且∠ACD=∠ECB=600，从而想到把⊿ACE绕点C旋转600后与⊿DCB重合，把⊿MCE绕点C旋转600后与⊿NCB重合。

进一步得到⊿ACE≌⊿DCB，⊿MCE≌NCB。

进而得出结论①和②正确；由于CM=CN，∠MCN=600，所以，⊿CMN是等边三角形，所以，⊿CDN不是等边三角形，所以CD≠DN，所以AC≠DN。

4.如图8，⊿ABC绕顶点A顺时针旋转，若∠B=200，∠C=500。

（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的⊿A’B’C’的顶点C’与原三角形ABC的顶点B和A在同一直线上；

（2）再继续旋转多少度时，C，A，C’在同一直线上（原⊿ABC是指开始位置）。

【答案】

（1）如图9所示：

∵∠B=200，∠C=500，且∠B+∠C+∠CAB=1800

∴∠CAB=1800-200-500=1100

∴⊿ABC绕顶点A顺时针旋转1100时，旋转后的⊿A’B’C’

的顶点C’与原三角形ABC的顶点B和A在同一直线上。

（2）如图10所示：

∵C，A，C’在同一直线上

∴∠CAC’=1800

1800-1100=700

∴⊿ABC绕顶点A继续旋转700时，C，A，C’在同一直线上。

【解析】要求⊿ABC绕顶点A顺时针旋转多少度时，使得点C’落在线段AB上，则关键应抓住三角形中的重要线段AC绕A点顺时针旋转多少度时，使得AC’落在AB上，即∠CAC’,根据三角形的内角和求出∠CAC’的度数即可。

第二问，要使得C，A，C’在同一直线上，即使得∠CAC’成为一个平角。

如图10所示。

五、课程小结

1.全等三角形的基本概念

2.全等三角形的性质