江西专用201x中考数学总复习第二部分专题综合强化专题五几何探究题类型2针对训练.docx

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江西专用201x中考数学总复习第二部分专题综合强化专题五几何探究题类型2针对训练

第二部分　专题五类型二

1．（xx·临沂）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG.

（1）如图，当点E在BD上时．求证：

FD＝CD；

（2）当α为何值时，GC＝GB？

画出图形，并说明理由．

解：

（1）由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，∴∠AEB＝∠ABE.

∵∠ABE＋∠EDA＝90°＝∠AEB＋∠DEF，

∴∠EDA＝∠DEF.

∵DE＝ED，∴△AED≌△FDE（SAS），

∴DF＝AE，

∵AE＝AB＝CD，∴CD＝DF.

（2）当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：

①当点G在AD右侧时，如答图1，取BC的中点H，连接GH交AD于M，

∵GC＝GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，

∴AM＝BH＝

AD＝

AG，

∴GM垂直平分AD，∴GD＝GA＝DA，

∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，

∴旋转角α＝60°；

②当点G在AD左侧时，如答图2，同理可得△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，

∴旋转角α＝360°－60°＝300°.

综上，α为60°或300°时，GC＝GB.

2．（xx·江西）如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B，C重合）．

第一次操作：

将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；

第二次操作：

将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；

依此操作下去…

（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为等边三角形，求此时线段EF的长；

（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH.

①请判断四边形EFGH的形状为正方形，此时AE与BF的数量关系是AE＝BF；

②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．

解：

（1）如题图2，由旋转性质可知EF＝DF＝DE，则△DEF为等边三角形．

在Rt△ADE和Rt△CDF中，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．∴AE＝CF.

设AE＝CF＝x，则BE＝BF＝4－x

∴△BEF为等腰直角三角形．

∴EF＝

BF＝

（4－x）．

∴DE＝DF＝EF＝

（4－x）．

在Rt△ADE中，由勾股定理得AE2＋AD2＝DE2，即x2＋42＝[

（4－x）]2，

解得x1＝8－4

，x2＝8＋4

（舍去）．

∴EF＝

（4－x）＝4

－4

.

△DEF的形状为等边三角形，EF的长为4

－4

.

第2题答图

（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE＝BF.理由如下：

依题意画出图形，如答图所示，连接EG，FH，作HN⊥BC于N，GM⊥AB于M.

由旋转性质可知，EF＝FG＝GH＝HE，

∴四边形EFGH是菱形，

由△EGM≌△FHN，可知EG＝FH，

∴四边形EFGH的形状为正方形，∴∠HEF＝90°.

∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.

∵∠3＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠2＝∠4.

在△AEH和△BFE中，

∴△AEH≌△BFE（ASA），∴AE＝BF.

②利用①中结论，易证△AEH，△BFE，△CGF，△DHG均为全等三角形，

∴BF＝CG＝DH＝AE＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝4－x.

∴y＝S正方形ABCD－4S△AEH＝4×4－4×

·x·（4－x）＝2x2－8x＋16，∴y＝2x2－8x＋16（0＜x＜4）．

∵y＝2x2－8x＋16＝2（x－2）2＋8，

∴当x＝2时，y取得最小值8；当x＝0或4时，y＝16.

∴y的取值范围为8≤y＜16.

3．（xx·江西）【图形定义】如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”；

【探究证明】

（1）请在图1和图2中选择其中一个证明：

“叠弦三角形”（△AOP）是等边三角形．

（2）如图2，求证：

∠OAB＝∠OAE′；

【归纳猜想】

（3）图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为15°，24°；

（4）图n中，“叠弦三角形”是等边三角形（填“是”或“不是”）；

（5）图n中，“叠弦角”的度数为60°－

　.（用含n的式子表示）

解：

（1）∵四边形ABCD是正方形，

由旋转知，AD＝AD′，∠D＝∠D′＝90°，∠DAD′＝∠OAP＝60°，

∴∠DAP＝∠D′AO，∴△APD≌△AOD′（ASA），

∴AP＝AO.

∵∠OAP＝60°，∴△AOP是等边三角形；

第2题答图

（2）如答图，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N.

∵五边形ABCDE是正五边形，

由旋转知，AE＝AE′，∠E＝∠E′＝108°，∠EAE′＝∠OAP＝60°，

∴∠EAP＝∠E′AO.

在Rt△AEM和Rt△ABN中，∠AEM＝∠ABN＝72°，AE＝AB，

∴Rt△AEM≌Rt△ABN（AAS），

∴∠EAM＝∠BAN，AM＝AN.

在Rt△APM和Rt△AON中，AP＝AO，AM＝AN，

∴Rt△APM≌Rt△AON（HL），

∴∠PAM＝∠OAN，∴∠PAE＝∠OAB,

∴∠OAE′＝∠OAB.

（3）由

（1）知，△APD≌△AOD′，

∴∠DAP＝∠D′AO.

在Rt△AD′O和Rt△ABO中，

∴Rt△AD′O≌Rt△ABO（HL），

∴∠D′AO＝∠BAO.

由旋转得，∠DAD′＝60°.∵∠DAB＝90°，

∴∠D′AB＝∠DAB－∠DAD′＝30°，

∴∠D′AO＝

∠D′AB＝15°，

∵题图2的多边形是正五边形，

∴∠EAB＝

＝108°，

∴∠E′AB＝∠EAB－∠EAE′＝108°－60°＝48°，

∴同理可得，∠E′AO＝

∠E′AB＝24°.

（4）是

（5）同（3）的方法得，∠OAB＝[（n－2）×180°÷n－60°]÷2＝60°－

.

4．（xx·赤峰）将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC＝2

cm.

（1）求GC的长；

（2）如图2，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H，C作AB的垂线，垂足分别为M，N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想．

（3）在

（2）的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过

（1）中的点G时，请直接写出DD′的长度．

解：

（1）在Rt△ABC中，∵BC＝2

，∠B＝60°，

∴AC＝BC·tan60°＝6，AB＝2BC＝4

，

在Rt△ADG中，AG＝

＝4，

∴CG＝AC－AG＝6－4＝2.

（2）结论：

DM＋DN＝2

.

理由：

∵HM⊥AB，CN⊥AB，

∴∠AMH＝∠DMH＝∠CNB＝∠CND＝90°.

∵∠A＋∠B＝90°，∠B＋∠BCN＝90°，

∴∠A＝∠BCN，∴△AHM∽△CBN，∴

＝

①，

同理可证：

△DHM∽△CDN，∴

＝

②

由①②可得AM·BN＝DN·DM，∴

＝

，

∴

＝

，∴

＝

.

∵AD＝BD，∴AM＝DN，

∴DM＋DN＝AM＋DM＝AD＝2

.

第4题答图

（3）如答图，作GK∥DE交AB于K.

在△AGK中，AG＝GK＝4，∠A＝∠GKD＝30°，作GH⊥AB于H.

则AH＝AG·cos30°＝2

，

可得AK＝2AH＝4

，此时K与B重合．

∴DD′＝DB＝2

.

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