分式方程的应用同步培优题典解析版.docx
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分式方程的应用同步培优题典解析版
专题5.8分式方程的应用
姓名：
__________________班级：
______________得分：
_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•绵阳）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：
“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：
“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（ ）
A．1.2小时B．1.6小时C．1.8小时D．2小时
【分析】设乙驾车时长为x小时，则甲驾车时长为（3﹣x）小时，根据两人对话可知：
甲的速度为
km/h，乙的速度为
km/h，根据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可．
【解析】设乙驾车时长为x小时，则甲驾车时长为（3﹣x）小时，
根据两人对话可知：
甲的速度为
km/h，乙的速度为
km/h，
根据题意得：
，
解得：
x1＝1.8或x2＝9，
经检验：
x1＝1.8或x2＝9是原方程的解，
x2＝9不合题意，舍去，
故选：
C．
2．（2020•昆明）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（ ）
A．1600元B．1800元C．2000元D．2400元
【分析】设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x元，根据“实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元”列出方程求解即可．
【解析】设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x元，根据题意得：
，
解得：
x＝2000，
经检验：
x＝2000是原方程的解，
答：
原计划每间直播教室的建设费用是2000元，
故选：
C．
3．（2020•河北模拟）某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠20元．若该校花费4400元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为（ ）
A．197元B．198元C．199元D．200元
【分析】设A商家每张餐桌的售价为x元，则B商家每张餐桌的售价为（x+20），根据“花费4400元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A商家购买餐桌的张数”列方程即可．
【解析】设A商家每张餐桌的售价为x元，则B商家每张餐桌的售价为（x+20），根据题意列方程得：
，
解得：
x＝200
经检验：
x＝200是原方程的解，
故选：
D．
4．（2020•龙岗区校级模拟）某车间加工12个零件后，采用新工艺，工效比原来提高了50%，这样加工同样多的零件就少用1小时，那么采用新工艺前每小时加工的零件数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】设采用新工艺前每小时加工的零件数为x个，根据题意列出方程即可求出答案．
【解析】设采用新工艺前每小时加工的零件数为x个，
根据题意可知：
1
，
解得：
x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，
故选：
B．
5．（2020•路北区一模）某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，列方程为
，根据方程可知省略的部分是（ ）
A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务
B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果延误30天完成了这一任务
C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务
D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务
【分析】根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合所列分式方程，即可找出省略的条件，此题得解．
【解析】设原计划每天绿化的面积为x万平方米，
∵所列分式方程为
30，
∴
为实际工作时间，
为原计划工作时间，
∴省略的条件为：
实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务．
故选：
C．
6．（2020•锦州二模）小亮的妈妈到超市购买大米，第一次按原价购买，用了100元，几天后，遇上这种大米按原价降低了20%出售，她用120元又购买了一些，两次一共购买了50kg．设这种大米的原价是每千克x元，则根据题意所列的方程是（ ）
A．
50B．
50
C．
50D．
【分析】设这种大米的原价是每千克x元，根据两次一共购买了50kg列出方程，求解即可．
【解析】设这种大米的原价是每千克x元，
根据题意，得
50，
故选：
B．
7．（2020•梁溪区校级二模）“绿水青山就是金山银山”．为改造太湖水质，某工程队对2400平方公里的水域进行水质净化，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前了40天完成任务．设实际每天净化的水域面积为x平方公里，则下列方程中正确的是（ ）
A．
40
B．
40
C．
40
D．
40
【分析】直接利用提高工作效率后，提前了40天完成任务得出等式求出答案．
【解析】设实际每天净化的水域面积为x平方公里，根据题意可得：
40．
故选：
C．
8．（2020秋•三水区校级月考）南京市某花卉种植基地欲购进甲、乙两种兰花进行培育，每株甲种兰花的成本比每株乙种兰花的成本多100元，且用1200元购进的甲种兰花与用900元购进的乙种兰花数量相同，求甲、乙两种兰花每株成本分别为多少元？
若设乙种兰花的成本是x元．则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用用1200元购进的甲种兰花与用900元购进的乙种兰花数量相同得出等式求出答案．
【解析】设乙种兰花的成本是x元，则甲种兰花的成本为（x+100）元，根据题意可得：
．
故选：
B．
9．（2020秋•温州月考）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多20元．李老师购买篮球花费900元，购买足球花费400元，结果购得的篮球数量是足球数量的1.5倍．设购买的足球数量是x个，则下列选项中所列方程正确的是（ ）
A．
20B．
20
C．
20D．
20
【分析】设购买的足球数量是x个，则购买篮球数量是1.5x个，根据“篮球的单价比足球的单价多20元”列出方程即可．
【解析】设购买的足球数量是x个，则购买篮球数量是1.5x个，
根据题意，得
20．
故选：
C．
10．（2020春•翠屏区期中）小兰乘301公共汽车从叙州区到相距40千米的南溪区办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车快20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了
小时，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据公共汽车的平均速度为x千米/时，得出出租车的平均速度为（x+20）千米/时，再利用回来时路上所花时间比去时节省了
小时，得出分式方程即可．
【解析】设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/时，
根据题意得出：
．
故选：
C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•西湖区校级月考）商场销售某种商品，1月份销售了若干件，共获利润30000元，2月份把这种商品的单价降低了0.4元，但销售量比1月份增加了5000件，从而获得的利润比1月份多2000元，求调价前每件商品的利润是多少元？
解：
设调价前每件商品的利润是x元，可列出方程 ．
【分析】根据题目中的数据和题意，可以列出相应的方程，等量关系是降价前的销售量+5000＝降价后的销售量．
【解析】由题意可得，
所列方程为：
，
故答案为：
．
12．（2020•黄岛区二模）甲、乙两组学生去距学校4千米的敬老院开展慰问活动，甲组学生步行出发20分钟后，乙组学生骑自行车开始出发，两组学生同时到达敬老院．已知骑自行车速度是步行速度的3倍，设步行速度为x千米/时，则根据题意可以列出方程 ．
【分析】设步行速度为x千米/时，则骑自行车速度为3x千米/时，根据时间＝路程÷速度结合骑自行车的同学比步行的同学少用20分钟，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解析】设步行速度为x千米/时，则骑自行车速度为3x千米/时，
依题意，得：
．
故答案为：
．
13．（2020•宿迁二模）小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：
路线A的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟，若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程
．
【分析】设走路线A时的平均速度为x千米/小时，则走路线B时的平均速度为（1+60%）x千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合走路线B的全程能比走路线A少用15分钟（即
小时），即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解析】设走路线A时的平均速度为x千米/小时，则走路线B时的平均速度为（1+60%）x千米/小时，
依题意，得：
．
故答案为：
．
14．（2020春•襄汾县期末）某工程队修建一条长1200m的道路；采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务，设这个工程队原计划每天修建道路xm，则列出的方程为
．
【分析】设原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路（1+50%）x米，根据工作时间相差4天，列方程解答即可．
【解析】设原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路（1+50%）x米，
根据题意，列方程为：
4．
故答案是：
4．
15．（2020春•西工区校级月考）某工程队由甲乙两队组成，承包我市河东东街改造工程，规定若干天完成，已知甲队单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，乙队单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果甲乙两队先合作20天，剩下的甲队单独做，则延误两天完成，那么规定时间是 28 天．
【分析】设规定的时间是x天，则甲队单独完成需要（x+32）天，乙队单独完成需要（x+12天），根据甲乙合作完成的工作量+乙独做完成的工作量＝工作总量建立方程求出其解就可以了．
【解析】设规定的时间是x天，则甲队单独完成需要（x+32）天，乙队单独完成需要（x+12天），由题意，得
20
1，
解得：
x＝28．
经检验，x＝28是元方程的解．
答：
规定的时间是28天．
故答案是：
28．
16．（2020春•越秀区期末）甲和乙同时从A地出发，匀速行走到B地．甲走完一半路程时，乙才走了4千米，乙走完一半路程时，甲已走了9千米．当甲走完全程时，乙未走完的路程还有 4 千米．
【分析】设A，B两地之间的路程为x千米，根据两人的速度之比为定值，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论，再结合“甲走完一半路程时，乙才走了4千米”，即可求出结论．
【解析】设A，B两地之间的路程为x千米，
依题意，得：
，
化简，得：
x2＝144，
解得：
x1＝12，x2＝﹣12，
经检验，x1＝12，x2＝﹣12均为原方程的解，x1＝12符合题意，x2＝﹣12不符合题意，舍去，
∴x﹣4×2＝4．
故答案为：
4．
17．（2020•北碚区模拟）武汉某超市在疫情前用3000元购进某种干果销售，发生疫情后，为了保障附近居民的生活需求，又调拨9000元购进该种干果．受疫情影响，交通等成本上涨，第二次的进价比第一次进价提高了20%，但是第二次购进干果的数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市先按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，最后的600千克按原售价的7折售完．售卖结束后，超市决定将盈利的资金捐助给武汉市用于抗击新冠肺炎疫情．那么该超市可以捐助 5280 元．
【分析】设第一次购进干果的单价为x元/千克，则第二次购进干果的单价为1.2x元/千克，根据数量＝总价÷单价结合第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出x的值，进而即可求出第一、二次购进干果的数量，再利用利润＝销售收入﹣成本即可得出结论．
【解析】设第一次购进干果的单价为x元/千克，则第二次购进干果的单价为1.2x元/千克，
根据题意得：
2
300
，
解得：
x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，
则
600，
1500，
1500×9+600×9×0.7﹣3000﹣9000＝5280（元）．
答：
该超市可以捐助5280元．
故答案为：
5280．
18．（2020•沈河区一模）某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用4000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，该服装商又用9000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了5元．则该服装商第一批进货的单价是 40 元．
【分析】设第一批进货的单价为x元/件，根据第二批这种衬衫所购数量是第一批购进数量的2倍，列出方程即可解决问题．
【解析】设第一批进货的单价为x元/件，
由题意2
，
解得x＝40，
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
答：
第一次进货单价为40元/件，
故答案为：
40．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020•邗江区校级三模）某社区计划对1200m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且甲、乙两队在分别独立完成面积为300m2区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？
【分析】设乙施工队每天能完成绿化的面积是xm2，则甲施工队每天能完成绿化的面积是2xm2，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲、乙两队在分别独立完成面积为300m2区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解析】设乙施工队每天能完成绿化的面积是xm2，则甲施工队每天能完成绿化的面积是2xm2，
依题意，得：
3，
解得：
x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝100．
答：
甲施工队每天能完成绿化的面积是100m2，乙施工队每天能完成绿化的面积是50m2．
20．（2020春•高新区期末）2020年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来，苏州某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．求甲、乙两厂房每天各生产多少箱口罩．
【分析】设乙厂房每天生产x箱口罩，则甲厂房每天生产2x箱口罩，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合两厂房各加工6000箱口罩时甲厂房比乙厂房少用5天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解析】设乙厂房每天生产x箱口罩，则甲厂房每天生产2x箱口罩，
依题意，得：
5，
解得：
x＝600，
经检验，x＝600是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x＝1200．
答：
甲厂房每天生产1200箱口罩，乙厂房每天生产600箱口罩．
21．（2020•曲靖二模）请你认真阅读如图对话，解决实际问题．
请根据如图对话内容，求A、B两种客车各有多少个座位？
试试看！
【分析】设A种客车有x个座位，则B种客车有（x+10）个座位，根据租A种客车的数量﹣租B种客车的数量＝1列出方程并解答．
【解析】设A种客车有x个座位，则B种客车有（x+10）个座位，根据题意得
1．
解得x1＝40，x2＝﹣70．
经检验x1＝40，x2＝﹣70都是所列方程的解．
当x＝70时，不符合题意，舍去．
当x＝40时，x+10＝50（个）．
答：
A种客车有40个座位，则B种客车有50个座位．
22．（2020•高州市模拟）新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，开学初购进A、B两种消毒液，其中A消毒液的单价比B消毒液的单价多40元，用3200元购买B消毒液的数量是用2400元购买A消毒液数量的2倍．
（1）求两种消毒液的单价；
（2）学校准备用不多于6800元的资金购买A、B两种消毒液共70桶，问最多购买A消毒液多少桶？
【分析】
（1）设B消毒液的单价为x元，则A消毒液的单价为（x+40）元，根据数量＝总价÷单价结合用3200元购买B消毒液的数量是用2400元购买A消毒液数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买A消毒液y桶，则购买B消毒液（70﹣y）桶，根据总价＝单价×数量结合总价不多于6800元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解析】
（1）设B消毒液的单价为x元，则A消毒液的单价为（x+40）元，
依题意，得：
2
，
解得：
x＝80，
经检验，x＝80是所列分式方程的解，且符合题意，
∴x+40＝120．
答：
A消毒液的单价为120元，B消毒液的单价80元．
（2）设购买A消毒液y桶，则购买B消毒液（70﹣y）桶，
依题意，得：
120y+80（70﹣y）≤6800，
解得：
y≤30．
答：
最多购买A消毒液30桶．
23．（2020•南岗区校级一模）某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的个数是购买洗手液个数的一半．
（1）求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需要多少元；
（2）经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该学校需要洗手液个数是测温枪个数的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过670元，那么该学校最多可购买多少个测温枪？
【分析】
（1）设购买一瓶洗手液需要x元，则购买一个测温枪需要（x+20）元，根据用400元购买测温枪的数量是用160元购买洗手液的一半，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设该学校购买m个测温枪，则购买（2m+8）瓶洗手液，根据总价＝单价×数量结合总价不超过670元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解析】
（1）设购买一瓶洗手液需要x元，则购买一个测温枪需要（x+20）元，
依题意，得：
，
解得：
x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴x+20＝25．
答：
购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元．
（2）设该学校购买m个测温枪，则购买（2m+8）瓶洗手液，
依题意，得：
25m+5（2m+8﹣m）≤670，
解得：
m≤21．
答：
该学校最多可购买21个测温枪．
24．（2020•松北区三模）出于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份售价比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元．
（1）一月份甲型号手机每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元的资金购进这两种手机共20台，至少购进甲型号手机多少台？
【分析】
（1）设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型号手机每台售价为（x﹣500）元，根据数量＝总价÷单价结合“如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进甲型号手机m台，则购进乙型号手机（20﹣m）台，根据总价＝单价×数量结合总价不多于7.6万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小值即可得出结论．
【解析】
（1）设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型号手机每台售价为（x﹣500）元，
依题意，得：
，
解得：
x＝4500，
经检验，x＝4500是原方程的解，且符合题意．
答：
一月份甲型号手机每台售价为4500元．
（2）设购进甲型号手机m台，则购进乙型号手机（20﹣m）台，
依题意，得：
3500m+4000（20﹣m）≤76000，
解得：
m≥8．
答：
至少购进甲型号手机8台．
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