等差数列第一课时教学设计公开课.docx
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等差数列第一课时教学设计公开课
无为二中公开课
教
学
设
计
课题《2.2等差数列》
执教人：
汪桂霞
班级：
高一（10）班
时间：
2017.3.28（星期二）下午第一节
1
高一数学必修5等差数列
第一课时
一、教学目标
（一）知识与技能目标
1.理解等差数列的定义及等差中项的定义
2.掌握等差数列的通项公式及推广后的通项公式
3.灵活运用等差数列，熟练掌握知三求一的解题技巧
（二）过程与方法目标
1.培养学生观察能力
2.进一步提高学生推理、归纳能力
3.培养学生合作探究的能力，灵活应用知识的能力
（三）情感态度与价值观目标
1.体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神；
2.渗透函数、方程、化归的数学思想；
3.培养学生数学的应用意识，参与意识和创新意识。
二、教学重难点
（一）重点
1、等差数列概念的理解与掌握；
2、等差数列通项公式的推导与应用。
（二）难点
1、等差数列的应用及其证明
三、教学过程
（一）背景问题，创设情景
上节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。
这两个公式从不同的角度反映了数列的特点。
下面请同学们观察两个表格的数据并进行填空。
思考问题
（一）：
在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星，请问你能预测出下次人类观测哈雷彗星的时间吗？
1682，1758，1834，1910，1986，（2062）
特点：
后一次观测时间比前一次观测时间增加了76年
我们把这些数据写成数列的形式：
1682，1758，1834，1910，1986，2062......
思考问题
（二）：
通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表填写处空格处的信息吗？
高度h（km）1
2
3
4
5
6
7......
9
温度t（°）2821.5
15
8.5
2
（-4.5）
（-11）......
（-24）
特点：
高度每增加一千米，温度就降低
6.5度。
我们把表格中的数据写成数列的形式：
28,21.5,
15,
8.5,2,,,
-24.......
学生活动
（1）：
学生观察下列三个数列具有怎样的共同特征：
（1）1682，1758，1834，1910，1986，2062......
（2）28,21.5,15,8.5,2,,,-24.......
（3）1,1,1,1,1,1,1,1,1,1......
共同特征：
1.后一项与它的前一项的差等于一个定常数。
2.这个常数可以为正为负，还可以为零。
2
（二）新知概念，例题讲解
1.等差数列的定义：
如果一个数列从第2项起，它的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么我们就称这个数列为等差数列.
要点：
（1）从第二项起；
（2）anan1c（n2,c为常数）或是an1
（3）同一常数c。
2.公差：
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用请同学们大声说出上例三个等差数列的公差为多少
（1）d=76
（2）d=-6.5（3）d=0例1.下列数列是等差数列吗？
为什么？
（1）1,3,5,7,9,2,4,6,8,10......
（2）5，5，5，5，5，5，,
（3）4,7,10,13,16,19,20,23.......
anc（n1）
“d”来表示.
例2.数列{3n-5}是等差数列吗？
如果是，请给以证明；如果不是，请说明理由。
3.等差数列的通项公式
学生活动
（2）:
你能根据规律填空吗
?
（1）1，4，7，10，13，16，（
）,（
）
,
（2）你能求出
（1）中的a20吗？
a2
4
a1
3
a3
7
a2
3
a1
2
3
答案：
a4
10
a3
3
a1
3
3
........
归纳得：
a20
a1
19
3
58
等差数列通项公式的推导过程：
探索、猜想、证明
如果一个数列a1,a2,a3,a4,......,an是等差数列，它的公差为d,那么
老师引导过程:
a2
a1
d
即：
a2
a1
d
a3
a2
d
即：
a3
a2
da1
2d
a4
a3
d
即：
a4
a3
da1
3d
,
由此可得：
an
a1
（n
1）d（n≥2）
当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式
ana1（n1）d
*
）
（n∈N
学生活动（3）:
请同学们思考：
你还能找到证明等差数列通项公式的方法吗？
同学
（一）：
3
a2a1d
a3a2d
a4a3d
......
anan1d
上述式子左右两边分别相加得：
ana1（n1）d,
当n=1时也成立。
整理得：
ana1（n1）d
学生（三）：
因为an
（an
an1）
（an1
an2）...
（a3a2）（a2a1）
a1
又an
an1
d（n
2）
所以有：
an
a1
（n
1）d
教师小结：
大部分学生用不完全归纳法，通过个别同学补充叠加法与拆项法，从而得到
等差数列an
的通项公式为：
an
a1
（n1）d
（n≥2），其中a1
是这个数列的首项,d
是公差。
4.例题讲解
（1）类型：
在等差数列通项公式中，有四个量，a1,d,an,n,知道其中的任意三个量，就可以求
出另一个量，即知三求一.
（2）等差数列的函数意义：
等差数列由一次函数中某些特殊的点组成。
趁热打铁练一练：
活动问题：
等差数列中a1=1,d=2,数列的通项公式是什么？
（an=2n-1）
那么要求等差数列的通项公式只需求什么？
（a1和d）
学生活动（4）：
同学自己编出已知等差数列的首项和公差求通项公式的问题并解决。
通过学生自己亲自尝试、体验，才能深刻理解等差数列的定义及通项公式,对学困生来讲，这样才
能打好基础，这样安排即符合教学论中的巩固性原则，也符合素质教育理论中面向全体的基本要求。
例3：
求等差数列8，5，2,的第20项。
导析：
由a1=8，d=5-8=-3，n=20得，a20=8+（20-1）×（-3）=-49
例4.-401是不是等差数列-5，-9，-13,的项？
如果是，是第几项？
导析：
由a15,d9（5）4
得数列通项公式为：
an54（n1）=-4n-1
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-4n-1成立，解之得n=100，即-401是这个数
列的第100项。
变式训练：
如果已知等差数列中任意两项，能不能求出an呢？
4
学生：
举例：
在等差数列
{an}中，已知a5=10，a12=31，求an。
解：
a1
+4d=10
a
1
+11d=31
解得a1=-2，d=3，则an=3n-5
教师：
此解法是利用数学的函数与方程的思想，函数与方程的思想是重要的数学思想方法之一，应熟练掌握。
问：
由a5=a1+4d，a12=a1+11d能够有什么启示？
生：
a12=a1+11d=a5+（12-5）d，于是有
an=am+（n-m）d，（等差数列通项公式的推广公式）
上题可先求出d=3，那么an=a5+（n-5）d=a12+（n-12）d=3n-5
例5.在等差数列{an}中
（1）若a59
70,a80
112,求a101
解：
由等差数列推广的通项公式得：
a80
a59
（80
59）d
21d
42
d
2
a101
a80
21d
154
（2）
若ap
q,aq
p,求apq
ap
aq
p
qd
q
p
解：
d
1
则有：
ap
q
ap
p
q
pd0
apq
0
（3）
若a12
23,a42
143,an
263,求n
解：
a42
a12
30d
120
d
4
又
an
a12
n
1
d
23
n
1
d263n61
（三）形成检测，反馈回授
1、求等差数列3，7，11，,的第4项与第10项。
2、100是不是等差数列2，9，16，,的项？
如果是，是第几项？
如果不是，说明理由。
3、-20是不是等差数列0,-3.5，-7，,的项？
如果是，是第几项？
如果不是，说明理由。
4、已知a4=10，a7=19，求a1与d。
5、已知a3=9，a9=3，求a12
（四）课时小结，反思巩固
学生活动5：
这节课你们学到了什么？
教师鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。
以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。
并用多媒体把学生的归纳用一张表展示出来。
生：
（1）等差数列定义：
即
aa
n1
d（n≥2）
或an+1-an=d
（n∈N*）
n
（2）等差数列通项公式
：
an
a1（n1）d
*
（n∈N）
5
推导出公式：
anam（nm）d
（3）等差数列通项公式的应用:
知三求一
（五）知识延伸，作业布置
作业：
习题1、2、3、4
六：
板书设计
等差数列
一、定义
1．anan1d
（n≥2）
公式推导过程例题讲解
二、通项公式
1．ana1（n1）d
七、教后反思
学生课后的评价是：
有新鲜感，生动有趣，思路开阔。
最大的感悟是学生的学习潜能是无穷的，只要我们积极地去开发引导，他们的智慧必定会放出耀眼的光芒，从而为数学教学增光添彩。
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