高三数学专题复习集合与逻辑doc.docx

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高三数学专题复习01集合与逻辑

一、填空题

1.已知集合P={x|x（x-l）>0）,Q={x|^=ln（x-l）},则

【答案】（1,杪）

2.已知A={x|x2—3x+2=0},B={x|ax—2=0}Fl.AUB=A,则实数Q组成的集合为

【解析】・・・AUB=A・・・BUA

又A={x|x2—3x+2=0}={1,2}・：

B="或{1}或{2}C={0,1,2}3・设全集U={（x,y）\x,yeR}^合M=<（x』）|牛=1},N={（x,y）\yx-4）么

（CMgN*.

【解析】根据题意，对集合M==变形可得M={（x,y）\y=x-4,x^2]f

分析可得集合M表示直线y=x-4上除点（2,-2）Z外的所有点，进而可得CUM代表直线

尹二兀_4外的所有点和点（2,-2）；同理可得集合N代表直线y=x-4外的所有点，以及C“N

代表直线丿=x-4上的所有点，由交集的概念可得（C〃M）n（C〃N）={（2,-2）}・

4.集合A】,A?

满足A]UA2=A，贝!

]称（A】,A?

）为集合A的一种分拆,并规定：

当且仅当A]=A?

时，（APA2）与（A2,A.）为集合A的同一种分拆，贝慄合A={a,b,c}的不同分拆种数为

【解析】当A|=（p时，A2=A，此时只有1种分拆：

当A|为单元素集时，A2=CaA1或A,此时A】有三种情况，故拆法为6种；

当A]为双元素集时,如A]={a,b},A2={c}>{a,c}、{b,c}、{a,b,c},此时A】有三种情

况，故拆法为12种；当A】为A时，A?

可取A的任何了集，此时A?

有8种情况，故拆法为8种;

综上，共27种拆法.

5.命题“若异+川=0,则a=OH.b=（T的逆否命题是•

3

命题p:

t€3xgR,使-{-ax+—>0”的否定~p是.

3

【答案】若QH0或bHO,则夕+圧h0；Vxe/?

®2^2+6/x+-<0

8

6.已知下列命题:

1命题“mx^R,x2+l>3xn的否定是“0xWR,x2+1<3x,5；

2已知p,q为两个命题，若“pVq”为假命题，贝lJ“（-ip）/\（->q）为真命题”；

3“a>2”是“a>5”的充分不必要条件;

4“若xy=O,则x=0且y=0"的逆否命题为真命题.

其中所有真命题的序号是.

【解析】命题TxWR,x2+1>3x,9^否定是“0xWR,x2+l<3xn,故①错误；“p\/q”为假命题说明p假q假，贝U（「p）/\（「q）为真命题，故②正确；a>5^a>2,但a>2^/a>5,故是“a>5”的必要不充分条件,故③错误;因为“若xy=0,则x=0或y=0”,所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错误.答案②

7.设集合”={（兀,尹）|兀wR,y丘R、,A={（x,p）|2兀一y+m〉0},B={（x,y）卜+尹一刃50},

那么点卩（2,3）"c（C“B）的充要条件是.

【解析】C“B={（x,p）卜+夕一77>0},・•・把点P坐标代入相应的不等式得：

m<-l,n<5.

8.设集合P={t\数列q”=A?

+加（”丘nJ单调递增}，集合Q={t\函数/（兀）=kx2+tx在

区间［l,+oo）±单调递增},若“虫i是SW0”的充分不必要条件，贝IJ实数力的最小值

为•

【解析】由数列。

”=川+仍SwNj单调递增得：

。

”+厂色no对乃wM恒成立，即

2/7+14-/>0,/>-（2/7+1）对weN*恒成立,所以冷［一（2斤+l）］max=-3.由函数

f\x）=kx2+tx在区间［1,+Q上单调递增得：

k=O,f〉O或k〉0,孑G.因为“虫戶”是

33

7e0”的充分不必要条件，所以k>0,2k>（-/）_=3,即k>-,kmin=-.

9.在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,有下列命题：

①在△ABC中，A>B

是sinA>sinB的充分不必耍条件;②在AABC中,A>B是cosA

中，A>B是tanA>tanB的必要不充分条件.其中止确命题的序号为.

【答案】②

【解析】由正弦定理，可知A>Ba>bsinA>sinB,故A>B是sinA>sinB的充要条件，

所以①错；由于函数y=cosx在（0,兀）内为减函数，故在Z\ABC中，A>B是cosAVcosB的充

Ji7i

要条件，所以②对；当A=—,B=——时，tanA>tanB,而此时AVB,当A=——,B=—吋,

6336

A>B,但tanAB是tanA>tanB的既不充分也不必要条件,所以

③错.故填②.

10.设命题p：

非零向量a,b,\a\=\b\是（a+b）丄（a—b）的充要条件；命题q：

平面上M为一■动

点剧，B,C三点共线的充要条件是存在角a,使面=s^aMB+cos2aMC,下列命题①pNq；

②p\q；③「P'q；中假命题的序号是.（将所有假命题的序号都填上）

【答案】①③④

【解析】（g+b）丄（a—b）o（d+“（a—6）=/—方2=阀2—|刖=000|=|方|,故p是真命题.

若B,C三点共线，则存在兀，尹WR,

使M/l=xMB+yMC（x+y=l）；

若MA=sirraMB+co^aMC,则昇，B,C三点共线.

故q是假命题.

故p/\q、rp/\q、fp'q为假命题.

11.记实数x/2,...xj"的最人数为max{x},x2,...xj,最小数为min{札兀，…£}•己知

MBC的三边边长为a、b、c（a

t=max{?

上,£}•min{?

上,£}，则％1"是“\ABC为等边三角形”的。

bcabca

（填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必耍条件）

【解析】若\ABC为等边三角形时，即a=b=c,则

caJ[bca

则r=l；若\ABC为等腰三角形，如a=2.b=2,c=3时，贝ij

maxJY，-,-U|,minJy,-,-[=-|,此时心1仍成立但MBC不为等边三角形，所以

[bca]2[bca]3

“7=1"是“MBC为等边三角形"的必要而不充分的条件.

4兀+3尹-12A0

12.设命题p>k-x>0gR且Z:

>0）;命题g:

（x-3）2+y2V27（xjw7?

）,

兀+3y=12

若p是q的充分不必要条件.则k的取值范围是

【答案】（0,6]

【解析】命题/?

表示的范围是图4*MBC内部（含边界），命题q

表示的范围是以点（3,0）为圆心，3石为半径的圆及圆内部分，p是q的充分不必要条件，说明MBC在圆内，实际上只须久B,C三点都在鬪内（或鬪上）即可.

13.对于非空实数集/,定义A*={z\^任意.设非空实数集CoZ）^（-oo,l].现给出以下命题:

（1）对■于任意给定符合题设条件的集合C,D,必有Dp

（2）对于任意给定符合题设条件的集合C,D,必有C*"DH0:

（3）对于任意给定符合题设条件的集合C,Q,必有CflD=0；

（4）对'于任意给定符合题设条件的集合C,D,必存在常数q,使得对任意的bwC,恒有a+bwDl以上命题正确的是

【答案】

（1）（4）

【解析】

（1）对任意dwD*,根据题意，对任意xwD,冇〃Ax,因为C^D,所以对任意的cgC,一定冇d»c,所以dwC*,即Q*uC*,

（1）正确；

（2）如C=（-oo,0）=Q,则c*二[0,+oo）,但C*AZ）=0,

（2）错误；（3）如如C=（yo,O]=D，则Z）*=[0,+oo）,但C*flD=｛0｝,（3）错误；（4）首先对任意集合力，由定义知一定有最小值，又由

（1）

D工C*,设d的最小值分别为c,d,即C*=[c,+oo）,DJ0,+00）,只要取a>d-c,则对任意的bwC*,a+b>d-c+b=d+（b-c）、d,即a+bwD*,（4）正确，故

（1）

（4）正确.

14.给定有限单调递增数列｛xn｝（neN\数列仇｝至少有两项）且x^0（i<^

（1）给出下列四个命题，其小正确的序号是.

1数列｝:

-2,2具有性质P;

2数列｛儿｝：

・2,・1丄3具有性质P;

3若数列"”｝具有性质卩，贝U｛x”｝中一定存在两项兀宀,使得兀+©=0;

4若数列｛xn｝具有性质P,西=一1,兀>°且£>1（心3），则兀2=1•

⑵若数列｛兀”｝只有2014项且具有性质P,x｝=-l,x3=2，则｛兀”｝的所有项和S则=•

【答案】⑴①③④；

（2）22013-2

【解析】

（1）.对于数列｛%｝,若4（・2,2）,则A（2,2）；若£（・2厂2）,则A（2,-2）；均满足04丄°力2，所以具有性质P,故①正确；

对于数列｛儿｝,当«（-2,3）时，若存在/（X，刃满足CM】丄丸，即一2x+3尹=0,数列｛儿｝｝中不存在这样的数x,y,因此不具冇性质P,故②不正确；取4（心兀），又数列｛百｝具有性质P,所以存在点心,©）使得04丄042，即x^x.+xixj=0,乂兀.hO,所以兀/•+»•=（）,故③正确：

数列｛兀〃｝中一定存在两项心◎使得兀+厂=0；又数列"补是单调递增数列且X2>

0,兀〉1（沦3）,所以x2=1,故④正确；

⑵由

（1）矢口，x2=l.若数列｛%｝只有2014项且具有性质P,可得兀=4,x5=8,

猜想数列｛百｝从笫二项起是公比为2的等比数列则S20]4=T+=22013-2.

1-2

二、解答题

15.E1知aWR,bWR,A={2,4,x2-5x+9},B={3,x'+ax+a},C={x24-（a+1）x・3,1}:

求

（1）A={2,3,4}的x值；

（2）使2WB,B£A,求d,兀的值；

（3）使B=C的g兀的值.

【解析】

（1）依题意,x2-5x+9=3,.*.x=2或x=3；

（2）V2eB,B・A,•e.x2+ax+a=2.flx2-5x+9=3,

当x=2时，当x=3时，a=-I；

（3）VB={3,x2+ax+a}=C={x2+（a+1）x-3,1},

2

x+ax+a=l

o整理得：

x=5+a,

x+（a+1）x_3=3

将x=5+a代入x2+ax+a=l得：

a2+8a+12=0,解得a=-2或a=-6・

当a=-2时，x=3或・1；

当a=-6时，x=・1或x=7（当a=-6,x=7时代入x2+（a+1）x-3=3不成立所以舍去）.

综上所述{x|x=-1或3}{a|a=-6或-2}.

16.已知函数/（x）=lg（—1）的定义域为集合力，g（x）=J-F+4qx-3q（q>0）的定

x-\

义域为集合B,集合C=\x\258〉1}

（1）若A

（2）如果若〃则C为真命题，求实数。

的取值范围.

72

【答案】

（1）-<6/<1；

（2）Ovav—或d〉4.

33

【解析】集合/={%11

[^<12

（1）因为A^JB=B,所以AuB,所以彳=^>—<<7<1

一36/>23

（2）C={x\x<2或x>4}・若B则力为真命题，所以B^C,所以或d>4,所[3a<2

2

以。

的取值范围是04

3

17.已知命题：

"Hrw{x|-1vxV1},使等式x2-x-m=0成立”是真命题.

（1）求实数加的取值集合

（2）设不等式（x-67）（x+67-2）<0的解集为N,若xeN是xwM的必要条件，求。

的取值范围.

【解析】

（1）由题意知，方程X2-x-m=0在（一1,1）上有解，

即加的取值范围就为函数"x?

—X在（一1,1）上的值域，易得M=\m~

⑵因为xeN是兀wM的必要条件，所以M^N

当。

=1时，解集N为空集，不满足题意

当q>1时，q>2-q,此时集合N={x|2-gvxvq}

C1

2—67<—9

则4,解得67>-

…4

当qvI时，a<2-a,此时集合N={x\a

a<——1

则<4

4

2-a>2

18.设命题p:

函数f（x）=\g（ax2-x+^-a）的定义域为R,命题g:

不等式\/3x+lvl+ax对一

10

切止实数x均成立，如果命题pyq为真，PM为假,求实数a的収值范围.

【答案】

-

2

【解析】

因为命题p7q为真，p^q为假，所以命题p与命题q—•真一假.p为真

卩为真“皿―+佥〉0恒成立,

当Q=0时不合，.I

67>0

=G>2

3x

A<0

!

—[对一切x〉0均成立,

x（j3x+l+l）V3X+1+1

p7q为真p为假

19.已知集合/二{xI（x-1）S-2q-3）v0},函数尹二『-3+2）的定义域为集合b.2a_x

（1）若<7=1,求集合AcCrB；

⑵已知a>-l^XEA”是“x€B”的必要不充分条件，求实数a的収值范围.

【解析】⑴若。

=1,则集合A={x（x-1）（兀-5）<0}=（1,5）,

所以C』=（-g,2]U[3,+oo）,从而冇C/0=（12]U[3,5）；

（2）因为a>-1,所以2o+3>1,q~+2—2。

=（。

一1）~+1>0n/+2>2。

从而集合/={x|（x-1）（x—2q—3）<0}=（1,2q+3）.

的必要不充分条件，所以BuA,从而有

得实数a的取值范围为[丄,1+V2].

1y-p-

20.已知命题〃：

“存在xwR,2x2+（/77-l）x+—<0^,命题g：

“曲线G:

—+=1表

2trr2m+8

示焦点在X轴上的椭厨,，命题S：

，训线G:

丄一+—=1表示双曲线”

m-tm-t

（1）若“p且g”是真命题,求加的取值范围;

（2）若g是s的必要不充分条件，求/的取值范围。

【答案】

（1）一4<加<一2或加〉4；

（2）-44

.1

【解析】解：

（1）若"为真：

A=（m-l）2-4x2x->0

解得加5-1或m>3

解得一4<加<一2或加>4

<一1或加>3

若“p且厂是真命题，贝IJ十

[-44

解得一4v加v-2或加〉4

（2）若s为真，贝0（m-t）（m-/-1）<0,B|JZ

由q是s的必要不充分条件，

则nJ*得{m\t4}

f/>-4

即£或C4

[/+1<-2

解得一4G5—3或宀4