则下列结论不正确的是（）
A．Φ（0）=
C．P（|ξ|<
1
2
a）=2Φ（a）―1D．P（|ξ|>
B．Φ（x）=1―Φ（―x）a）=1―Φ（a）
10．
已知正方体ABCD―ABCD的棱长为1，则直线DA与
11111
AC的距离为（）
A．
3
B．
3
C．
1
D．
1
11．
已知
3
lim
x2
f（2x4）x2
2
3
2，则lim的值为（）
x2f（3x6）
A．
1
B．
1
C．
2
D．
1
3236
12．如右图，A、B、C、D是某煤矿的四个采煤点，l是公路，图中所标线段为道路，ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形。
已知A、B、C、D四个采煤点每天的采煤量之比约为5：
1：
2：
3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比。
现要从P、Q、R、S中选出一处设立一个运煤
ABC
D
l
PQRS
1
c
与的夹角为θ，与
a
c
b
c
中转站，使四个采
煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（）A．P点B．R点C．Q点D．S点
二、填空题（本题满分16分，每小题4分）
13．
不等式
（4|x2|）1x0
的解集是____________。
14．
在条件
0x2
0y2
下，z
=3+2x―
y
的最小值是_________。
yx1
15．
已知a，a，a，……，a是有限项等差数列，且a+a+a=17，
123k4710
a+a+a，+……+a=77。
若a=13，则k=_________。
45614k
16．
甲、乙二人各有一个装有3张卡片的盒子，从中取卡片来比胜
负，甲的盒子中卡片的号码是2张1，1张3；乙的盒子中卡片的号码是1
张1，2张2，甲乙两人同时从自己的盒子中取出1张比较，取出的不再放
回，直到二人取的卡片号码不相同时，号码大的一方为胜，则甲获胜的概率是________。
三、解答题（共74分）
17．（12分）一学生在上学途中要经过6个路口，假设他在各个路口遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是。
3
（1）求他通过第3个路口时，首次遇到红灯的概率；
（2）（理）求他在途中遇到红灯数ξ的期望和方差。
（文）求这名学生在途中恰好遇到3次红灯的概率。
18．
（12分）设向量
a=（1+cosα，sinα），b=（1+cosβ，sin
β），
=（1，0），
α∈（0，
），β∈（
，2
），
1
的夹角为θ
2
，
且θ―θ=，求12
3
sin
2
的值。
19．
设f（x）=alnx
+bx2
+x
在x=1与x=2时取得极值，12
AD,AM
HP
PM
n
n
·
·…·
）
（1）试确定a、b的值；
（2）求f（x）的单调增区间和减区间；
（3）判断f（x）在x、x处是取极大值还是极小值。
12
20．（12分）如图，在长方体ABCD―ABCD中，AB=5，AD=8，
1111
AA=4，M为BC上一点，且BM=2，点N在线段AD上，AD⊥AN，111111
求：
（1）cos（
）；
1
（2）直线AD与平面ANM所成的角的大小；
A
1
D
1
（3）平面ANM与平面ABCD所成角（锐角）
B
1
M
N
C
1
的大小。
A
21．（12分）已知点H（0，―3），点
B
P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足3
。
PMMQ
2
D
C
0
，
（1）当点P在x
轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C的方程；
（2）过定点A（a，b）的直线与曲线C相交于两点S、R，求证：
抛物线S、R两点处的切线的交点B恒在一条直线上。
22．（14分）y
=f（x）的定义域为R，对任意实数m、n有f（m+n）
=f（m）f（n），且当x<0时，f（x）>1，数列{a}满足a=f（0）且
1
f（a
n1
）
1f（2a）
n
（nN
*）。
（1）求证：
y
=f（
x）在R上单调递减；
（2）求数列{a}的通项公式；
（3）是否存在正数k，使
（1
111
（1）
（1）k2n1aaa
12n
，对一切
n∈
）（1―）×=
∴
）
6
，
）
ac
bc
，
2
∴
1
2
N*均成立，若存在，试求出k的最大值并证明，若不存在，说明理由。
参考答案
一、选择题
题
号
答
案
1
D
2
C
3
A
4
D
5
D
6
B
7
A
8
B
9101112
CDAC
二、填空题
13．{x|x≤―2或x=1}14．715．1816．
4
9
三、解答题（共74分）
17．
（1）∵这名学生在第一、二个路口没遇到红灯，第三个路口遇到红灯。
∴概率P=（1―
1114
33327
（2）（理）
B（6,
11114
E62D6
（1）
33333
（文）
11160PC3（）3
（1）3
33729
18．∵α∈（0，
），β∈（
，2
），∴
（0,（,
2222
）
又
cos
1
|a||c|
1cos（1cos）2
sin
2
1coscos
22
，
（0,
1
）
∴
1
2
又
cos
2
|b||c|
1cos（1cos）2
sin
2
1cossincos（
2222
）
（0,
2
）
且
（0,）
22222
∴
（）
22222326
a
（1）
（2）
B
0∴
cosAD,AM01
ADAM
1
和
AA
NA
∴
sin
1sin（）
262
19．解
（1）令
f（x）2bx10则2bx2
x
+x+a=0
由题意知：
x=1，2是上方程两根，由韦达定理：
112
2b
a12
2b
∴
21a,b
3b
（2）由
（1）知：
f
211
（x）xx1xx
333x
令
f（x）0
则
（x-1）（x-2）
x
0解得：
x<0或1∴f（x）的单调增区间为（1，2）
减区间是（0，1）和（2，+）
（3）由
（2）知：
f（x）在x=1处取极小值，在x=2处取极大值。
12
20．
（1）以A为原点，AB、AD、AA所在直线为x轴，y轴，z轴。
1
则D（0，8，0），A（0，0，4），M（5，2，4）
1
∴
∵
AD（0,8,4）AM（5,2,4）1
11
A
M
N
C
1
D
1
（2）由
（1）知AD⊥AM，又由已知AD⊥AN，
11
∴AD⊥平面AMN，垂足为N。
B
1
因此AD与平面所成的角即是∠DAN。
易知∠DAN=AAD=arctan2
1
（3）∵AA⊥平面ABCD，AN⊥平面AMN，
11
C
D
∴
11
分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。
设平面AMN与平面ABCD所成的角（锐角）为
，则
=（AA，NA）=∠AA1N=AA1D=arccos11
5
5
21．
（1）解：
设P（a,0），Q（0，b）
（,3）（,）30
a
a
2
），
11
22
4
4
1
即4
11
1
1
1
即4
22
2
2
2
x12
12
1
1
4
则：
HPPQaaba2b
∴a23b
设M（x,y）∵
3PMHQ
2
∴
3
b
x2y3b33
11
22
∴
1
yx
4
2
（2）解法一：
设A（a,b），
11S（x,x2R（x,x2）
44
（x1
≠
x
2
）
则：
直线SR的方程为：
11x2x2
121yx2
4xx
21
（xx
1
）
，即4y=（x1+x2）x－x1x2
∵A点在SR上，∴4b=（
x+x
12
）a－xx12
①
对
1
yx
4
2
求导得：
y′=
1
2
x
∴抛物线上S、R处的切线方程为：
11
y
x2x（xx）y2xxx42
11
yx2x（xx）y2xxx42
2
2
2
3
联立②③，并解之得
xx
2，代入①得：
ax－2y－2b=01
yxx
4
故：
B点在直线ax－2y－2b=0上解法二：
设A（a,b）
当过点A的直线斜率不存在时l
与抛物线有且仅有一个公共点，与题意不
符，可设直线SR的方程为y－b=k（x－a）
与
1
yx
4
2
联立消去y得：
x2
－4kx+4ak－4b=0
设
1S（x,x2
4
）
，
1R（x,x2
22
）
（x1≠x2）
则由韦达定理：
xx4k12
xx4（akb）12
12
1
n
n
n+1n
n+1n
n
111
=.
k
∴
又过S、R点的切线方程分别为：
4y2xxx
11
2，
4y2xxx
2
2
2
xxk
x12
联立，并解之得22
1
yxxakb4
消去k，得：
ax－2y－2b=0故：
B点在直线2ax－y－b=0上
（k
为参数）
22．解
（1）令m=－1，n=0则：
f（–1）=f（–1）
f（0），而f（–1）>1∴f（0）=1
令m=x>0，n=–x<0则f（x–x）=f（x）·f（–x）=1
∴f（x）=
1f（x）
（0,1），即x>0时0设x=0∴0（x–x
21
）·
f
（x
1
）–
f
（x
1
）=f
（x
1
）[f
（x–x）–1]<0∴f（x）即y
=f
（x）在R上单调递减
（2）由f（an+1）=，nN*
f（2a）
n
得：
f（a+1）·f（–2–
a）=1
∴f（a–a–2）=f
（0）由
（1）知：
a–a–2=0
即an+1–an=2（nN*）∴{an}是首项为a1=1，公差为2的等差数列∴a=2n–1
（3）假设存在正数k，使（1+
）
（1）...
（1）k2n1对nN*恒成立aaa
12n
记F（n）=
（1
111）
（1）...
（1）
aaa
12n
2n1
即
F（n1）F（n）
2（n1）4（n1）21
1
∴F（n）是递增数列，F
（1）为最小值。
由F（n）k恒成立知k
F
（1）
2323
max
33
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