高中数学选修22第一章导数及其应用单元测试题doc.docx
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高中数学选修22第一章导数及其应用单元测试题doc
数学选修2-2第一章
单元测试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）
内的图像如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）
A．1
个
B．2
个
C．3
个
D．4
个
1
1
2．在区间
[
2，2]
上，函数
f（x）＝x2＋px＋q
与
g（x）＝2x＋x2在
1
同一点处取得相同的最小值，那么f（x）在[2，2]上的最大值是（）
C．8D．4
2
3．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为
α，则α的取值范围是（
）
π
π3
A．[0，2]
B．[0，2]∪[4π，π）
3
π3
C．[4π，π）
D．[2，4π]
1
4．已知函数f（x）＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f（x）＋9≥0恒成立，
则实数m的取值范围是（）
3
3
A．m≥2
B．m＞2
3
3
C．m≤2
D．m＜2
2
2x
5．函数f（x）＝cosx－2cos
2的一个单调增区间是（）
fx
0＋3
－
f
x
0
Δx
＝1，
6．设f（x）在x＝x0处可导，且lim
Δx
Δx→0
则f′（x0）等于（
）
A．1
B．0
C．3
x＋9
7．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为（）
A．x＋y＝0
B．x＋25y＝0
C．x＋y＝0或x＋25y＝0
D．以上皆非
8．函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－
3b＜0时，f（x）是（）
A．增函数
B．减函数
C．常数
D．既不是增函数也不是减函数
1
3
2
9．若a>2，则方程3x
－ax＋1＝0
在（0,2）
上恰好有（）
A．0个根
B．1个根
C．2个根
D．3个根
1
10．一点沿直线运动，如果由始点起经过
t
s后距离为s＝4t4－
5
3t3＋2t2，那么速度为零的时刻是（
）
A．1s末
B．0s
C．4s末
D．0,1,4s
末
x2，
x∈[0，1]，
2f（x）dx等于（）
11．设f（x）＝
则
2－x，x∈1，2]，
0
D．不存在
sinx
sinx1
sinx2
12．若函数f（x）
＝x，且0，b＝x2
，
则a，b的大小关系是（
）
A．a>b
B．aC．a＝b
D．a、b的大小不能确定
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填
在题中横线上）
1
3
2
13．若f（x）＝3x
－f′
（1）x
＋x＋5，则f′
（1）＝________.
ππ
14．已知函数f（x）
满足f（x）
＝f（π－x），且当x∈－2，2
时，
f（x）
＝x＋sin
x，设
a＝f
（1）
，b＝f
（2）
，c＝f（3）
，则
a、b、c
的大小
关系是________．
15．已知函数
f（x）
为一次函数，其图像经过点
（2,4）
，且
1f（x）
dx＝3，则函数
f（x）
的解析式为
________．
0
16．（2010·江苏卷
）函数
2y＝x（x＞0）的图像在点
2
（ak，ak）处的切
线与
x轴的交点的横坐标为
ak＋1，其中
k∈
N*.
若
a1＝16，则
a1＋a3＋
a5的值是________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、
证明过程或演算步骤）
17．（10分）如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图
形为面积相等的两部分，求k的值．
18．（12分）已知函数f（x）＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]上单
调递增，在区间[1,2）上单调递减．
（1）求a的值；
（2）若点A（x0，f（x0））在函数f（x）的图像上，求证：
点A关于直
线x＝1的对称点B也在函数f（x）的图像上．
19．（12分）设x＝－2与x＝4是函数f（x）＝x3＋ax2＋bx的两个
极值点．
（1）求常数a，b；
（2）试判断x＝－2，x＝4是函数f（x）的极大值还是极小值，并说明理由．
20．（12分）已知f（x）＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，
最小值为－29，求a，b的值．
21．（12分）（2010·重庆卷）已知函数f（x）＝ax3＋x2＋bx（其中常
数a，b∈R），g（x）＝f（x）＋f′（x）是奇函数．
（1）求f（x）的表达式；
（2）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1,2]上的最大值与最小
值．
1－x
22．（12分）已知函数f（x）＝ln（ax＋1）＋1＋x，x≥0，其中a>0.
（1）若f（x）在x＝1处取得极值，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．
参考答案
1.答案A
解析设极值点依次为x1，x2，x3且a＜x1＜x2＜x3＜b，则f（x）
在（a，x1），（x2，x3）上递增，在（x1，x2），（x3，b）上递减，因此，
x1、x3是极大值点，只有x2是极小值点．
2.答案D
3.答案B
4.答案A
1
解析因为函数f（x）＝2x4－2x3＋3m，
所以f′（x）＝2x3－6x2.
令f′（x）＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最
27
小值点，所以函数的最小值为f（3）＝3m－2.不等式f（x）＋9≥0恒成
273
立，即f（x）≥－9恒成立，所以3m－2≥－9，解得m≥2.
5.答案A
解析f（x）＝cos2x－cosx－1，
∴f′（x）＝－2sinx·cosx＋sinx＝sinx·（1－2cosx）．
令f′（x）>0，结合选项，选A.6.答案D
7.答案D
8.答案A
9.答案B
解析
132
设f（x）＝3x－ax＋1，则
2f′（x）＝x－2ax＝x（x－2a），
当x∈（0,2）时，f′（x）<0，f（x）在（0,2）上为减函数，又f（0）f
（2）＝
8
11
13－4a＋1
＝3－4a<0，
f（x）＝0在（0,2）
上恰好有一个根，故选B.
10.答案D
11.答案C
解析数形结合，如图．
2f（x）dx＝1x2dx＋2（2－x）dx
0
0
1
1
3
1
1
2
2
＝
3x
0
＋
2x－2x
1
11
＝3＋（4－2－2＋2）5
＝6，故选C.
12.答案A
f′（x）＝
xcosx－sinx
解析
x2，
令g（x）＝xcosx－sinx，则
g′（x）＝－xsinx＋cosx－cosx＝－xsinx.
∵0b，故选A.
2
13.答案
3
2
2
解析
f′（x）＝x－2f′
（1）x
＋1，令x＝1，得f′
（1）＝3.
14.答案c解析
f
（2）＝f（π－2），f（3）
＝f（π－3）
，因为f′（x）＝1＋
ππ
π
cosx≥0，故f（x）在－2，2上是增函数，∵
2>π－2>1>π－3>0，
∴f（π－2）>f
（1）>f（π－3），即c
28
15.答案f（x）＝3x＋3
解析设函数f（x）＝ax＋b（a≠0），因为函数f（x）的图像过点（2,4），所以有b＝4－2a.
∴1f（x）
dx＝1
（ax
＋4－2a）dx
0
0
1
2
1
1
＝[
ax＋（4－2a）x]
|0＝a＋4－2a＝1.
2
2
2
8
2
8
∴a＝3.∴b＝3.∴f（x）＝3x＋3.
16.答案21
解析
2
2
∵y′＝2x，∴过点（ak，ak）处的切线方程为
y－ak＝2ak（x
1
－ak），又该切线与x轴的交点为（ak＋1,0），所以ak＋1＝2ak，即数列{ak}
1
是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝2，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3
＋a5＝21.
17.解析抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，
所以，抛物线与x轴所围图形面积S＝
1
2
）dx＝
x2
x3
11
（x－x
2－3
0＝2－
0
1
1
3＝6.
y＝x－x2，
又由此可得抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横y＝kx，
S
－
2x3
－
坐标
x
3＝，
4＝－
，所以＝1-k
（x
－
x
2
kx）dx
＝
1k
x－
1
k
－
0
0x
1k
2
0
2
3
13
＝6（1－k）.
3
又S＝，所以（1－k）3＝1，∴k＝1－4.
6221
18.解析
（1）由函数f（x）＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]单调递增，在区间[1,2）单调递减，
∴x＝1时，取得极大值，∴f′
（1）＝0.
又f′（x）＝4x3－12x2＋2ax，∴4－12＋2a＝0?
a＝4.
（2）点A（x0，f（x0））关于直线x＝1的对称点B的坐标为（2－x0，
f（x0）），
f（2－x0）＝（2－x0）4－4（2－x0）3＋4（2－x0）2－1
＝（2－x0）2[（2－x0）－2]2－1
＝x40－4x30＋ax20－1＝f（x0），
∴A关于直线x＝1的对称点B也在函数f（x）的图像上．
19.解析f′（x）＝3x2＋2ax＋b.
（1）由极值点的必要条件可知：
12－4a＋b＝0，
f′（－2）＝f′（4）＝0，即
48＋8a＋b＝0，
解得a＝－3，b＝－24.
或f′（x）＝3x2＋2ax＋b＝3（x＋2）（x－4）
＝3x2－6x－24，
也可得a＝－3，b＝－24.
（2）由f′（x）＝3（x＋2）（x－4）．
当x＜－2时，f′（x）＞0，当－2＜x＜4时，f′（x）＜0.
∴x＝－2是极大值点，而当x＞4时，f′（x）＞0，
∴x＝4是极小值点．
20.解析a≠0（否则f（x）＝b与题设矛盾），
由f′（x）＝3ax2－12ax＝0及x∈[－1,2]，得x＝0.
（1）当a＞0时，列表：
x
（－1,0）
0
（0,2）
f′（x）
＋
0
－
f（x）
增
极大值b
减
由上表知，f（x）在[－1,0]上是增函数，
f（x）在[0,2]上是减函数．
则当x＝0时，f（x）有最大值，从而b＝3.
又f（－1）＝－7a＋3，f
（2）＝－16a＋3，∵a＞0，∴f（－1）＞f
（2）．
从而f
（2）＝－16a＋3＝－29，
得a＝2.
（2）当a＜0时，用类似的方法可判断当x＝0时f（x）有最小值．当x＝2时，f（x）有最大值．
从而f（0）＝b＝－29,f
（2）＝－16a－29＝3，
得a＝－2.
综上，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
21.解析
（1）由题意得f′（x）＝3ax2＋2x＋b.因此g（x）＝f（x）＋
f′（x）＝ax3＋（3a＋1）x2＋（b＋2）x＋b.因为函数g（x）是奇函数，所以
g（－x）＝－g（x），即对任意实数x，有a（－x）3＋（3a＋1）（－x）2＋（b
＋2）（－x）＋b＝－[ax3＋（3a＋1）x2＋（b＋2）x＋b]，从而3a＋1＝0，b
＝0，解得a＝－1，b＝0，因此f（x）的解析式为f（x）＝－x3＋x2.
331
（2）由
（1）知g（x）＝－1x3＋2x，所以g′（x）＝－x2＋2.3
令g′（x）＝0，解得x1＝－2，x2＝2，则当x<－2或x>2时，g′（x）<0，从而g（x）在区间（－∞，－2]，[2，＋∞）上是减函数；当－20，从而g（x）在[－2，2]上是增函数．
由前面讨论知，g（x）在区间[1,2]
上的最大值与最小值只能在
x＝
1，
2，2时取得，而
g
（1）
5
＝3，g（
2）＝
42
3
，g
（2）
4
＝3.
因此
g（x）在
区间[1,2]
上的最大值为
g（
2）＝
42
，最小值为
3
g
（2）
4
＝3.
22.分析
解答本题，应先正确求出函数
f（x）的导数
f′（x），再
利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并
注意在定义域范围内求解．
a
2
ax2＋a－2
解析
（1）f′（x）＝ax＋1－
1＋x
2＝
ax＋1
1＋x
2，
∵f（x）在x＝1处取得极值，
2
∴f′
（1）＝0，即a·1＋a－2＝0，解得a＝1.
（2）f′（x）＝
ax2＋a－2
2，
ax＋1
1＋x
∵x≥0，a>0，∴ax＋1>0.
①当a≥2时，在区间[0，＋∞）上，f′（x）>0，
∴f（x）的单调增区间为[0，＋∞）．②当0由f′（x）>0，解得x>
2－a
a.
由f′（x）<0，解得x<
2－a
a.
∴f（x）的单调减区间为（0,
2－a
2－a
a），单调增区间为（
a，
＋∞）．
（3）当a≥2时，由
（2）①知，f（x）的最小值为f（0）＝1；
当0（2）②知，f（x）在x＝
2－a
a处取得最小值，且
2－a
f（
a）综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，＋∞）．
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