高中数学第一单元常用逻辑用语132命题的四种形式教学案新人教B版选修1.docx

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高中数学第一单元常用逻辑用语132命题的四种形式教学案新人教B版选修1

2019-2020年高中数学第一单元常用逻辑用语1.3.2命题的四种形式教学案新人教B版选修1

学习目标　1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　四种命题的概念

思考　给出以下四个命题：

（1）当x＝2时，x2－3x＋2＝0；

（2）若x2－3x＋2＝0，则x＝2；

（3）若x≠2，则x2－3x＋2≠0；

（4）若x2－3x＋2≠0，则x≠2.

你能说出命题

（1）与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？

梳理　对命题的条件和结论进行“换位”和“换质”（否定）后，可以构成四种不同形式的命题：

（1）原命题：

________________；

（2）逆命题：

________________（“换位”）；

（3）否命题：

________________（“换质”）；

（4）逆否命题：

________________（“换位”又“换质”）．

知识点二　命题的四种形式之间的关系

思考1　为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“如果p，则q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示？

思考2　原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？

原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？

原命题的逆命题与其否命题呢？

梳理　四种命题间的相互关系

知识点三　四种命题的真假关系

思考1　知识点一的“思考”中四个命题的真假性是怎样的？

思考2　如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？

它的否命题呢？

它的逆否命题呢？

梳理　

（1）在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是________________．

（2）两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性________________．

类型一　四种命题及其相互关系

命题角度1　四种命题的概念

例1　写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．

（1）若x∈A，则x∈A∪B；　

（2）若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；

（3）在△ABC中，若a>b，则A>B.

反思与感悟　四种命题的转换方法

（1）交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．

（2）同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．

（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．

跟踪训练1　命题“若函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是（　　）

A．若loga2<0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内不是减函数

B．若loga2≥0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内不是减函数

C．若loga2<0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数

D．若loga2≥0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数

命题角度2　四种命题的相互关系

例2　若命题p：

“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是（　　）

A．互为逆命题

B．互为否命题

C．互为逆否命题

D．同一命题

反思与感悟　判断四种命题之间四种关系的两种方法

（1）利用四种命题的定义判断；

（2）巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系．

跟踪训练2　已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a＝1且b＝2，则a＋b<4”，则命题p的否命题是__________________________________．

类型二　四种命题的真假判断

例3　有以下命题：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题，其中真命题为（　　）

A．①②B．②③

C．④D．①②③

反思与感悟　原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，与逆命题或否命题的真假性没有关系．逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．

跟踪训练3　命题“若a>b，则ac2>bc2（a，b，c∈R）”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（　　）

A．0B．2C．3D．4

类型三　等价命题的应用

例4　判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．

引申探究　

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2>0的解集为R，则a<

”的逆否命题的真假．

反思与感悟　由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．

跟踪训练4　证明：

若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.

1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是（　　）

A．若a∉A，则b∉BB．若a∈A，则b∉B

C．若b∈B，则a∉AD．若b∉B，则a∉A

2．命题“如果x2<1，则－1

A．如果x2≥1，则x≥1，或x≤－1

B．如果－1

C．如果x>1或x<－1，则x2>1

D．如果x≥1或x≤－1，则x2≥1

3．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是（　　）

A．真命题

B．假命题

C．不一定是真命题

D．不一定是假命题

4．下列命题：

①“全等三角形的面积相等”的逆命题；

②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；

③“若k<0，则方程x2＋（2k＋1）x＋k＝0必有两相异实数根”的逆否命题．

其中真命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

5．已知命题“若m－1

1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：

（1）找出命题的条件p和结论q；

（2）写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；

（3）按照四种命题的结构写出所有命题．

2．一个命题都有条件和结论，要分清条件和结论．

3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．

学习目标　1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分、必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．

知识点一　全称命题与存在性命题

1．全称命题与存在性命题真假的判断方法

（1）判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例．

（2）判断存在性命题为真命题，需要举出正例，而判断存在性命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．

2．含有一个量词的命题否定的关注点

全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．

知识点二　简易逻辑联结词“且、或、非”命题的真假判断

可以概括为口诀：

“p与綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假．

p

q

綈p

p∨q

p∧q

真

真

假

真

真

真

假

假

真

假

假

真

真

真

假

假

假

真

假

假

知识点三　充分条件、必要条件的判断方法

1．直接利用定义判断：

即若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．（条件与结论是相对的）

2．利用等价命题的关系判断：

p⇒q的等价命题是綈q⇒綈p，即若綈q⇒綈p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

3．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件

若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件

若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件

若A＝B，则p，q互为充要条件

若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

其中p：

A＝{x|p（x）成立}，q：

B＝{x|q（x）成立}．

知识点四　四种命题的关系

原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题．

类型一　命题的关系及真假的判断

例1　将下列命题改写成“如果p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假．

（1）垂直于同一平面的两条直线平行；

（2）当mn<0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．

反思与感悟　

（1）四种命题的改写步骤

①确定原命题的条件和结论．

②逆命题：

把原命题的条件和结论交换．

否命题：

把原命题中条件和结论分别否定．

逆否命题：

把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论．

（2）命题真假的判断方法

跟踪训练1　下列四个结论：

①已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”；②命题“若x－sinx＝0，则x＝0”的逆命题为“若x≠0，则x－sinx≠0”；③命题p的否命题和命题p的逆命题同真同假；④若|C|>0，则C>0.

其中正确结论的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

类型二　逻辑联结词与量词的综合应用

例2　已知p：

∃x∈R，mx2＋2≤0.q：

∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B．（－∞，－1]

C．（－∞，－2]D．[－1,1]

反思与感悟　解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：

p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．

跟踪训练2　已知命题p：

方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：

只有一个实数x0满足不等式x

＋2ax0＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．

类型三　充分条件与必要条件

命题角度1　充分条件与必要条件的判断

例3　

（1）设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

（2）已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

反思与感悟　条件的充要关系的常用判断方法

（1）定义法：

直接判断若p则q，若q则p的真假．

（2）等价法：

利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

（3）利用集合间的包含关系判断：

若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．

跟踪训练3　使a>b>0成立的一个充分不必要条件是（　　）

A．a2>b2>0B．>>0

C．lna>lnb>0D．xa>xb且x>0.5

命题角度2　充分条件与必要条件的应用

例4　设命题p：

x2－5x＋6≤0；命题q：

（x－m）（x－m－2）≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．　

反思与感悟　利用条件的充要性求参数的范围

（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．

（2）注意利用转化的方法理解充分必要条件：

若綈p是綈q的充分不必要（必要不充分、充要）条件，则p是q的必要不充分（充分不必要、充要）条件．

跟踪训练4　已知p：

2x2－9x＋a<0，q：

2

1．已知命题p：

∀x>0，总有（x＋1）ex>1，则綈p为（　　）

A．∃x≤0，使得（x＋1）ex≤1

B．∃x>0，使得（x＋1）ex≤1

C．∀x>0，总有（x＋1）ex≤1

D．∀x≤0，总有（x＋1）ex≤1

2．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为______________．

4．已知命题p：

若x>y，则－x<－y；命题q：

若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（綈q）；④（綈p）∨q中，真命题是________．

5．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．

1．否命题和命题的否定是两个不同的概念

（1）否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．

（2）命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为“如果p，则q”，则该命题的否命题是“如果綈p，则綈q”；命题的否定为“如果p，则綈q”．

2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．

3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．

4．注意常见逻辑联结词的否定

一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：

“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．

答案精析

问题导学

知识点一

思考　命题

（1）的条件和结论与命题

（2）的条件和结论恰好互换了．命题

（1）的条件与结论恰好是命题（3）条件的否定和结论的否定．命题

（1）的条件和结论恰好是命题（4）结论的否定和条件的否定．

梳理　

（1）如果p，则q　

（2）如果q，则p　（3）如果綈p，则綈q　（4）如果綈q，则綈p

知识点二

思考1　逆命题：

如果q，则p.否命题：

如果綈p，则綈q.逆否命题：

如果綈q，则綈p.

思考2　互逆、互否、互为逆否．

梳理　如果p，则q　如果q，则p　如果綈p，则綈q　如果綈q，则綈p

知识点三

思考1　

（1）真命题，

（2）假命题，（3）假命题，（4）真命题．

思考2　原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题．

梳理　

（1）逆否命题　

（2）没有关系

题型探究

例1　解　

（1）逆命题：

若x∈A∪B，

则x∈A.

否命题：

若x∉A，则x∉A∪B.

逆否命题：

若x∉A∪B，则x∉A.

（2）逆命题：

若a＋b是偶数，则a，b都是偶数．

否命题：

a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数．

逆否命题：

若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数．

（3）逆命题：

在△ABC中，若A>B，则a>b.

否命题：

在△ABC中，若a≤b，则A≤B.

逆否命题：

在△ABC中，若A≤B，

则a≤b.

跟踪训练1　B

例2　B　[已知命题p：

若x＋y＝0，

则x，y互为相反数．

命题p的否命题q为：

若x＋y≠0，

则x，y不互为相反数，

命题q的逆命题r为：

若x，y不互为相反数，则x＋y≠0，

∴r是p的逆否命题，

∴r是p的逆命题的否命题，故选B.]

跟踪训练2　若实数a，b满足a＋b≥4，则a≠1或b≠2

解析　由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得．

例3　D　[①②③显然正确；对于④，若A∩B＝B，则B⊆A，

所以原命题为假，故它的逆否命题也为假．]

跟踪训练3　B　[命题“若a>b，

则ac2>bc2（a，b，c∈R）”是假命题，

则其逆否命题是假命题．

该命题的逆命题为“若ac2>bc2，

则a>b（a，b，c∈R）”是真命题，

则其否命题是真命题．故选B.]

例4　解　方法一　原命题的逆否命题：

已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集为∅，判断如下：

抛物线y＝x2＋（2a＋1）x＋a2＋2的开口向上，

令x2＋（2a＋1）x＋a2＋2＝0，

则Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）＝4a－7.

因为a<1，所以4a－7<0，

即关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集为∅.故此命题为真命题．

方法二　利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．

因为关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，

所以（2a＋1）2－4（a2＋2）≥0，

即4a－7≥0，解得a≥

≥1，

所以原命题为真，故其逆否命题为真．

引申探究　

解　先判断原命题的真假如下：

因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2>0的解集为R，且抛物线y＝x2＋（2a＋1）x＋a2＋2的开口向上，

所以Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）

＝4a－7<0，

所以a<

.所以原命题是真命题．

因为互为逆否命题的两个命题同真同假，

所以原命题的逆否命题为真命题．

跟踪训练4　证明　“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．

∵a＝2b＋1，

∴a2－4b2－2a＋1＝（2b＋1）2－4b2－2（2b＋1）＋1

＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.

∴命题“若a＝2b＋1，

则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．

由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．

当堂训练

1．B　2.D　3.A　4.C　5.[1,2]