高中数学第一单元常用逻辑用语112量词教学案新人教B版选修1.docx

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高中数学第一单元常用逻辑用语112量词教学案新人教B版选修1

2019-2020年高中数学第一单元常用逻辑用语1.1.2量词教学案新人教B版选修1

学习目标　1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　全称量词与全称命题

思考　观察下列命题：

①每一个三角形都有内切圆；

②所有实数都有算术平方根；

③对一切有理数x,5x＋2还是有理数．

以上三个命题中分别使用了什么量词？

根据命题的实际含义能否判断命题的真假．　

梳理　

（1）

全称量词

“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”

符号

∀

全称命题p

含有________________的命题

形式

“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为________________

（2）判断全称命题真假性的方法：

对于全称命题“∀x∈M，p（x）”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p（x）成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x＝x0，使p（x0）不成立即可．

知识点二　存在量词与存在性命题

思考　观察下列命题：

①有些矩形是正方形；

②存在实数x，使x>5；

③至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0.

以上三个命题分别使用了什么量词？

根据命题的实际含义能否判断命题的真假．　

梳理　

（1）

存在量词

“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”

符号

∃

存在性命题

含有________________的命题

形式

“存在M中的一个x，使q（x）成立”可用符号简记为____________

（2）判断存在性命题真假性的方法：

要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使q（x0）成立即可，否则，这一存在性命题是假命题．

类型一　全称命题与存在性命题的识别

例1　判断下列语句是全称命题，还是存在性命题．

（1）凸多边形的外角和等于360°；

（2）有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；

（3）对任意a，b∈R，若a>b，则

<

；

（4）有一个函数，既是奇函数，又是偶函数．　

反思与感悟　

（1）判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或存在性命题．

（2）若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是存在性命题．

（3）当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．

跟踪训练1　判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题．

（1）自然数的平方大于或等于零；

（2）对每一个无理数x，x2也是无理数；

（3）有的函数既是奇函数又是增函数；

（4）对于数列

，总存在正整数n，使得an与1之差的绝对值小于0.01.　

类型二　全称命题与存在性命题的真假的判断

例2　判断下列命题的真假：

（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点P；

（2）存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；

（3）每一条线段的长度都能用正有理数来表示；

（4）存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立；

（5）∀x∈R，x2－3x＋2＝0；

（6）∃x∈R，x2－3x＋2＝0.　

反思与感悟　要判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p（x）都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p（x0）不成立，那么这个全称命题就是假命题．

要判定存在性命题“∃x∈M，q（x）”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使q（x0）成立即可；如果在集合M中，使q（x）成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题．

跟踪训练2　有下列四个命题：

①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x∈N，x2≤x；④∃x∈N＋，x为29的约数，其中真命题的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

类型三　全称命题与存在性命题的应用

例3　已知函数f（x）＝x2－2x＋5.

（1）是否存在实数m，使不等式m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；

（2）若至少存在一个实数x，使不等式m－f（x）>0成立，求实数m的取值范围．　

反思与感悟　

（1）一般地，对任意的实数x，a>f（x）恒成立，只需a>f（x）max，若存在一个实数x，使a>f（x）成立，只需a>f（x）min.

（2）有关一元二次不等式ax2＋bx＋c>0（<0）恒成立的问题，一是转化为二次函数的图象运用数形结合求解，二是分离参数法求解．前者主要运用Δ＝b2－4ac的符号，转化为解不等式或不等式组，后者常常转化为求函数的最大（小）值．

跟踪训练3　

（1）已知关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；

（2）令p（x）：

ax2＋2x＋1>0，若对∀x∈R，p（x）是真命题，求实数a的取值范围．

1．下列命题中，不是全称命题的是（　　）

A．任何一个实数乘以0都等于0

B．自然数都是正整数

C．每一个向量都有大小

D．一定存在没有最大值的二次函数

2．下列命题是真命题的是（　　）

A．a>b是ac2>bc2的充要条件

B．a>1，b>1是ab>1的充分条件

C．∀x∈R,2x>x2

D．∃x∈R，ex<0

3．下列存在性命题是假命题的是（　　）

A．存在x∈Q，使2x－x3＝0

B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0

C．有的素数是偶数

D．有的有理数没有倒数

4．若∀x∈[0，

]，tanx≤m是真命题，则实数m的最小值为________．

5．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．

（1）所有的实数x都能使x2＋x＋1>0成立；

（2）对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；

（3）一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；

（4）所有的有理数x都能使

x2＋

x＋1是有理数．

1．判断全称命题的关键：

一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．

2判定全称命题的真假的方法．定义法：

对给定的集合的每一个元素x，p（x）都为真；代入法：

在给定的集合内找出一个x0，使p（x0）为假，则全称命题为假．

3．判定存在性命题真假的方法．代入法：

在给定的集合中找到一个元素x0，使命题q（x0）为真，否则命题为假．

答案精析

问题导学

知识点一

思考　命题①②③分别使用量词“每一个”“所有”“一切”．

命题①③是真命题，命题②是假命题，三个命题中的“每一个”“所有”“一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题②为假命题．

梳理　

（1）全称量词　∀x∈M，p（x）

知识点二

思考　命题①②③分别使用了量词“有些”“存在”“至少有一个”．命题①②是真命题，命题③是假命题．三个命题中的“有些”“存在”“至少有一个”等词都是对某个集合内的个别元素而言，要说明这些命题是真命题，只要举出一个例子即可．所以命题①②是真命题，而任意实数x，x2－2x＋2都大于0，所以命题③为假命题．

梳理　

（1）存在量词　∃x∈M，q（x）

题型探究

例1　解　

（1）可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，是全称命题．

（2）含有存在量词“有些”，故是存在性命题．

（3）含有全称量词“任意”，故是全称命题．

（4）含有存在量词“有一个”，是存在性命题．

跟踪训练1　解　

（1）是全称命题，表示为∀x∈N，x2≥0.

（2）是全称命题，∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．

（3）是存在性命题，∃f（x）∈{函数}，f（x）既是奇函数又是增函数．

（4）是存在性命题，∃n∈N＋，|an－1|＜0.01，其中an＝

.

例2　解　

（1）真命题．

（2）真命题，如函数f（x）＝0，既是偶函数又是奇函数．

（3）假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为

，

就不能用正有理数表示．

（4）假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．

（5）假命题，只有x＝2或x＝1时，等式x2－3x＋2＝0才成立．

（6）真命题，x＝2或x＝1，都使得等式x2－3x＋2＝0成立．

跟踪训练2　C

例3　解　方法一　

（1）不等式m＋f（x）>0可化为

m>－f（x），

即m>－x2＋2x－5＝－（x－1）2－4.

要使m>－（x－1）2－4对于任意x∈R恒成立，

只需m>－4即可．

故存在实数m使不等式m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4.

（2）不等式m－f（x）>0，

可化为m>f（x），

若至少存在一个实数x使不等式m>f（x）成立，只需m>f（x）min.

又f（x）＝（x－1）2＋4，所以f（x）min＝4，所以m>4.

所以实数m的取值范围是（4，＋∞）．

方法二　

（1）要使不等式m＋f（x）>0对∀x∈R恒成立，即x2－2x＋5＋m>0对∀x∈R恒成立．

所以Δ＝（－2）2－4（5＋m）<0，解得m>－4，

所以当m>－4时，m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立．

（2）若至少存在一个实数x，

使m－f（x）>0成立，

即x2－2x＋5－m<0成立．

只需Δ＝（－2）2－4（5－m）>0即可，

解得m>4.

所以实数m的取值范围是（4，＋∞）．

跟踪训练3　解　

（1）∵关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）≥0，

即4a－7≥0，

解得a≥

，∴实数a的取值范围为

.

（2）∵对∀x∈R，p（x）是真命题．

∴对∀x∈R，ax2＋2x＋1>0恒成立，

当a＝0时，不等式为2x＋1>0不恒成立，

当a≠0时，若不等式恒成立，则

∴a>1.

当堂训练

1．D　2.B　3.B　4.1

5．解　

（1）∀x∈R，x2＋x＋1>0，真命题．

（2）∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解，假命题．

（3）∃x，y∈Z,3x－2y＝10，真命题．

（4）∀x∈Q，

x2＋

x＋1是有理数，真命题．

2019-2020年高中数学第一单元常用逻辑用语1.2.1“且”与“或”教学案新人教B版选修1-1

学习目标　1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　含有逻辑联结词“且”“或”的命题

思考1　观察下面三个命题：

①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除，它们之间有什么关系？

思考2　观察下面三个命题：

①3>2，②3＝2，③3≥2，它们之间有什么关系？

梳理　

（1）用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作“________”．

（2）用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作“________”．

知识点二　含有逻辑联结词“且”“或”的命题的真假

思考1　你能判断知识点一思考1中问题描述的三个命题的真假吗？

p且q的真假与p、q的真假有关系吗？

思考2　你能判断知识点一思考2中问题描述的三个命题的真假吗？

p或q的真假与p、q的真假有关系吗？

梳理　含有逻辑联结词的命题真假的判断方法：

（1）“p∧q”形式命题：

当命题p、q都是____________时，p∧q是真命题；当p、q中有一个命题是____________时，则p∧q是假命题．

（2）“p∨q”形式命题：

当p、q至少有一个为真时，p∨q为____________；当p、q均是____________时，p∨q为假命题．

类型一　含有“且”“或”命题的构成

命题角度1　简单命题与复合命题的区分

例1　指出下列命题的形式及构成它的命题．

（1）向量既有大小又有方向；

（2）矩形有外接圆或有内切圆；

（3）2≥2.

反思与感悟　不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题．

判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构上来看是否用逻辑联结词联结两个命题．

跟踪训练1　分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题．

（1）3是质数或合数；

（2）他是运动员兼教练员．

命题角度2　用逻辑联结词构造新命题

例2　分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题．

（1）p：

梯形有一组对边平行，q：

梯形有一组对边相等；

（2）p：

－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：

－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

反思与感悟　

（1）用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并．

（2）用逻辑联结词构造新命题的两个步骤

第一步：

确定两个简单命题p，q；

第二步：

分别用逻辑联结词“且”“或”将p和q联结起来，就得到一个新命题“p∧q”“p∨q”．

跟踪训练2　写出下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题．

（1）p：

是有理数，q：

是整数；

（2）p：

不等式x2－2x－3>0的解集是（－∞，－1），q：

不等式x2－2x－3>0的解集是（3，＋∞）．　

类型二　“p∧q”和“p∨q”形式命题的真假判断

例3　分别指出“p∨q”“p∧q”的真假．

（1）p：

函数y＝sinx是奇函数；q：

函数y＝sinx在R上单调递增；

（2）p：

直线x＝1与圆x2＋y2＝1相切；q：

直线x＝

与圆x2＋y2＝1相交；

（3）p：

不等式x2－2x＋1>0的解集为R；q：

不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.　

反思与感悟　判断p∧q与p∨q形式命题的真假的步骤：

（1）首先判断命题p与q的真假；

（2）对于p∧q，“一假则假，全真则真”，

对于p∨q，只要有一个为真，则p∨q为真，全假为假．

跟踪训练3　分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假．

（1）p：

∅{0}，q：

0∈∅；

（2）p：

是无理数，q：

π不是无理数；

（3）p：

集合A＝A，q：

A∪A＝A；

（4）p：

函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有公共点，q：

方程x2＋3x－4＝0没有实数根．

类型三　逻辑联结词的应用

例4　设有两个命题，命题p：

不等式x2－（a＋1）x＋1≤0的解集是∅；命题q：

函数f（x）＝（a＋1）x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．　

反思与感悟　由p∨q为真知p，q中至少一真；由p∧q为假知p，q中至少一假，因此，p与q一真一假，分p真q假与p假q真两种情况讨论．

跟踪训练4　例4中其他条件不变，把“p∧q为假命题，p∨q为真命题”改为“p∨q为真命题”，求a的取值范围．　

1．命题“方程x2＝1的解是x＝±1”中，使用逻辑联结词的情况是（　　）

A．没有使用逻辑联结词

B．使用了逻辑联结词“或”

C．使用了逻辑联结词“且”

D．使用了逻辑联结词“或”与“且”

2．命题“xy≠0”是指（　　）

A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0

C．x、y至少有一个不为0D．不都是0

3．已知p：

∅⊆{0}，q：

{1}∈{1,2}．在命题“p”，“q”，“p∧q”，和“p∨q”中，真命题有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．0个

4．“p∧q是真命题”则下列结论错误的是（　　）

A．p是真命题B．q是真命题

C．p∨q是真命题D．p∨q是假命题

5．已知命题p：

函数f（x）＝（2a－1）x＋b在R上是减函数；命题q：

函数g（x）＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________．

1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．

2．判断含逻辑联结词的命题真假的步骤：

（1）逐一判断命题p，q的真假．

（2）根据“且”“或”的含义判断“p∧q”“p∨q”的真假．

p∧q为真⇔p和q同时为真，

p∨q为真⇔p和q中至少有一个为真．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　命题③是将命题①②用“且”联结得到的．

思考2　命题③是将命题①②用“或”联结得到的．

梳理　

（1）p∧q　p且q

（2）p∨q　p或q

知识点二

思考1　①是真命题；②是真命题；③是真命题．若p、q都为真命题，则p且q也为真命题．

思考2　①是真命题；②是假命题；③是真命题．若p、q一真一假，则p或q为真命题．

梳理　

（1）真命题　假命题

（2）真命题　假命题

题型探究

例1　解　

（1）是p∧q形式命题．

其中p：

向量有大小，q：

向量有方向．

（2）是p∨q形式命题．

其中p：

矩形有外接圆，q：

矩形有内切圆．

（3）是p∨q形式命题．

其中p：

2>2，q：

2＝2.

跟踪训练1　解　

（1）这个命题是“p或q”形式，其中p：

3是质数，q：

3是合数．

（2）这个命题是“p且q”形式，其中p：

他是运动员，q：

他是教练员．

例2　解　

（1）p或q：

梯形有一组对边平行或有一组对边相等．

p且q：

梯形有一组对边平行且有一组对边相等．

（2）p或q：

－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

p且q：

－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

跟踪训练2　解　

（1）p或q：

是有理数或

是整数；

p且q：

是有理数且

是整数．

（2）p或q：

不等式x2－2x－3>0的解集是（－∞，－1）或不等式x2－2x－3>0的解集是（3，＋∞）；

p且q：

不等式x2－2x－3>0的解集是（－∞，－1）且不等式x2－2x－3>0的解集是（3，＋∞）．

例3　解　

（1）∵p真，q假，

∴“p∨q”为真，“p∧q”为假．

（2）∵p真，q真，

∴“p∨q”为真，“p∧q”为真．

（3）∵p假，q假，

∴“p∨q”为假，“p∧q”为假．

跟踪训练3　解　

（1）∵p真，q假，

∴“p或q”为真，“p且q”为假．

（2）∵p真，q假，

∴“p或q”为真，“p且q”为假．

（3）∵p真，q真，

∴“p或q”为真，“p且q”为真．

（4）∵p假，q假，

∴“p或q”为假，“p且q”为假．

例4　解　对于p：

因为不等式x2－（a＋1）x＋1≤0的解集是∅，

所以Δ＝[－（a＋1）]2－4<0.

解不等式得－3

对于q：

f（x）＝（a＋1）x在定义域内是增函数，

则有a＋1>1，所以a>0.

又p∧q为假命题，p∨q为真命题，

所以p，q必是一真一假．

当p真q假时有－3

综上所述，a的取值范围是（－3,0]∪[1，＋∞）．

跟踪训练4　解　对于p：

x2－（a＋1）x＋1≤0的解集为∅，

∴Δ＝[－（a＋1）]2－4<0，

解得－3

对于q：

f（x）＝（a＋1）x在定义域内为增函数，

∴a＋1>1，即a>0.

∵p∨q为真，

∴p，q至少有一个为真，求两解集的并集即可，

∴{a|－30}＝{a|a>－3}，

综上，a的取值范围是（－3，＋∞）．

当堂训练

1．B　2.A　3.B　4.D　5.[－2，

）