大学微积分l知识点讲解总结二.docx
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大学微积分l知识点讲解总结二
大学微积分l知识点讲解总结
（二）
【第五部分】不定积分
1.书本知识（包含一些补充知识）
（1）原函数:
F’（x）=f（x）,x∈I,则称F（x）是f（x）的一个“原函数”。
（2）若F（x）是f（x）在区间上的一个原函数,则f（x）在区间上的全体函数为F（x）+c（其c为常数）
（3）基本积分表
⎰⎰+==cxdxdx1
cxdxx+⋅+∂=⋅+∂∂⎰11
1（α≠1,α为常数）cdxx
x+=⋅⎰ln1（）（）（）⎰⎰⎰
⎰⎰+-⋅=⋅+-=⋅-+-=⋅++=⋅≠+=⋅c
xxxdxxcxxdxxcxarcxdxxcedxe
aaacaadxaxxx
x
lnlnarccosarcsin11
cotarctan1110ln2
2或或为常数,,>（）cxaxaadxxaca
xadxxacaxdxxacxxdxx
+-+⋅=⋅-+=⋅++=⋅-+++=⋅+⎰⎰⎰⎰ln211arctan11arcsin11ln11
cxxx
dc
shxdxchxc
chxdxshx+-=-+=⋅+=⋅⎰⎰⎰coslncoscos
c
xdxxcxdxxc
xdxx+=⋅+=⋅+-=⋅⎰⎰⎰coslntansincoscossin
cxdxx+=⋅⎰sinlncot
c
xdxxxc
xdxxxc
xdxxc
xdxxc
xxdxxcxxdxxcxxdxxcxxdxxc
xxdxxc
xxdxx+-=⋅⋅+=⋅⋅+-=⋅+=⋅+--=⋅+-=⋅++=⋅+-=
⋅+-=⋅++=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰csccotcscsectanseccotcsctanseccotcottantan2sin4
12cos2sin4
12sincoscsclncsctanseclnsec222222cxdxaxax++=⋅++⎰22ln1
22
（4）零函数的所有原函数都是c
（5）C代表所有的常数函数
（6）运算法则
[]⎰⎰⎰⎰⎰⋅±⋅=⋅±⋅⋅=⋅⋅dxxgdxxfdxxgxfdx
xfadxxfa）（）（）（）（）（）（②①
数乘运算
加减运算线性运算
（7）[][]cxFdxxxf+=⋅⎰）（）（'）（ϕϕϕ复合函数的积分:
c
bxFdxbxf
cbaxFabax
dbaxfadxbaxf++=⋅+++⋅=+⋅+⋅=⋅+⎰⎰⎰）（）（）
（1）（）
（1）（一般地,
（9）连续函数一定有原函数,但是有原函数的函数不一定连续,没有原函数的函数一定不连续。
（10）不定积分的计算方法
①凑微分法（第一换元法）,利用复合函数的求导法则
②变量代换法（第二换元法）,利用一阶微分形式不变性
t
axdxaxtaxdxaxtaxdxxatansecsin222222⋅=⇒⋅+⋅=⇒⋅-⋅=⇒⋅-⎰⎰
⎰
③分部积分法:
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅-⋅=⋅⋅⋅-⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅==du
vvudvudx
xvxuxvxudxxvxudxxvxudxxvxuxvvxuu简写为:
并有:
也存在存在,则均可导,且若）（）（'）（）（）（'）（）（'）（）（）（'）（）,（
【解释:
一阶微分形式不变性】
释义:
函数
对应:
y=f（u）duufduydy⋅=⋅=）（''功能:
说明:
（8）
[][][]（）[]变性。
这称为一阶微分形式不,均有是自变量还是间变量因此,无论带入得:
因为的微分形式为:
为间变量,自变量为那么复合函数
复合函数求导得:
即变量为函数即为复合函数。
自是间变量,即如果的微分形式为:
是自变量,则函数此时如果设函数为du
ufdyudu
ufdydudxxgxgudxxgxgfdxydyuxgxxgfyxgxgfyxgyxxguudu
ufduydyufyuufy⋅=⋅==⋅=⋅⋅=⋅===⋅===⋅=⋅===）（'）（'.）（'）,（.）（'）（'''）（）（）.（'）（'',）（:
）,（）（''）（）,（（11）cxdxaxax++⇒⋅++⎰22ln1
22
（12）分段函数的积分
例题说明:
{
}dxx⋅⎰2,1max（）
需要调整
连续的原则,需要说明的一点,依据）>（）（）<（）>（）
（）<（解:
321322132222,,1323
111-1-3231）,1max（111-11-,1maxcccxcxxcxxcxdxxxxxxxx⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++≤≤++-=⋅⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎰（13）在做不定积分问题时,若遇到求三角函数奇次方的积分,最好的方法是将其的一
⎰⎰⋅-=⋅xdxdxxdxcossinsin23的部分。
如次方处理到最后
化简的目的。
并以达到再进行计算或将二者合量将其转化成同一次方要通过三角函数公式尽则需情况同时出现且指数不同的与,若遇到）在做不定积分问题时（,cosxsinx142
xcos2xsin2sinxsinx15⋅=的问题,则,如果单独遇到）在计算不定积分过程（
（16）隐函数求不定积分
例题说明:
带入。
所以:
所以:
解法带入。
则:
令解法确定的隐函数,试求是由方程例题:
设∂
∂=∂∂+∂=∂=-∂=-⇒=-+-⇒=--=-==-⋅=-⎰cossin;cossinsinsin1cos）（11）（）（2,1
113y
-x1）（2222222232yxy
xyxy
xyxxyxyttyttxtyxdxxyxyy
（17）三角有理函数积分的万能变换公式2222
2
22212tan2tan,12sin11cos12）12,11（2tan）cos,（sinttxxtttxttxdttttttRxtdxxxR-=→=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+-=⋅+⋅++-=⋅⎰⎰其:
令
（18）某些无理函数的不定积分（）（）（）
...111121141822122221tt222222222=⋅⎪⎭⎫⎝⎛-++-=⋅-+-=⋅--⋅⋅+--+=⋅-+=⎰⎰⎰⎰dtttdttttdttttttxxtdxxxx
A
A令例如:
即个根号变为（根号）,变形时将整①无理函数带有②欧拉变换
att
cbxaxtxatcbxaxcxtcbxaxcxatcbxaxacbxax-⋅+=+-=++⎪⎩⎪⎨⎧=++=++++22
2222222-0-0对于②可得:
对于①可得:
②
令>若①,令>若的积分含有
（19）其他形式的不定积分
cxfxxfdxxfxfxxdfxdxxfx+-=⋅-⋅=⋅=⋅⋅⎰⎰⎰）（）（'）（'）（'）（'）（''①
（）（）
（）（）
xxIIxdxIIdx
xxx
Idx
x
xx
IcAxAxAedxeBxBxBc
AxAxAedxexcxeAxeAdxxexxxxxxxcos2sinln21cos2sincoscos2sinsincossinsin212121322122213221221+=+-=⋅=+⋅+=⋅+=++⋅+⋅=⋅⋅+⋅+⋅++⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⑤组合法:
④③待定系数法②
2.补充知识（课外补充）
☆【例谈不定积分的计算方法】☆1、不定积分的定义及一般积分方法
2、特殊类型不定积分求解方法汇总
1、不定积分的定义及一般积分方法
（1）定义:
若函数f（x）在区间I上连续,则f（x）在区间I上存在原函数。
其Φ（x）=F（x）+c0,（c0为某个常数）,则Φ（x）=F（x）+c0属于函数族F（x）+c
被积表达式
积分变量
被积函数积分号
→⋅→→→⎰
dxxfxxf）（）（
dx
xfkdxxfdx
xfkxfn
iiiin
ii⋅⋅=⋅⋅⋅=⎰∑⎰∑==）（）（）（）（1
1
则:
推论:
若
（2）一般积分方法
值得注意的问题:
第一,一般积分方法并不一定是最简便的方法,要注意综合使用各种积分方法,简便计算;第二,初等函数的原函数并不一定是初等函数,因此不一定都能够积出。
不能用普通方法积出的积分:
（）
......
10sin1111
ln1
sin,
sin,
2234
22
<<例如:
Kdxxkdx
xdx
x
dx
xdx
xdxxxdxex
⋅⋅⋅-⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰-
2、特殊类型不定积分求解方法汇总
（1）多次分部积分的规律
（）
dx
vuvuvuvudx
vuvuvudxvuvudxv
unnnnnnnnnnn⋅⋅⋅-++⋅+⋅-⋅==⋅⋅+⋅-⋅=⋅⋅-⋅=⋅⋅⎰⎰⎰⎰++----+）1（1
）2（）1（）（）1（）1（）（）（）（）
1（1...'''......
''''
）'
sincos（）sincos（sincossincossincos2xdxcBxdxcAxbxadxx
dxcx
bxa⋅+⋅⋅+⋅+⋅=⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⎰
求解方法为:
令的积分
）对于（dxx
xx
x⋅+-⎰
sincossincos3例如:
求
即可解:
令）'sin（cos）sin（cossincos3xxBxxAxx+++=-（3）简单无理函数的积分
被积函数为简单式的有理式,可以通过根式代换化为有理函数的积分
（）
的最小公倍数
是其令③令②设①nmpbaxtdxbaxbaxxRdcxbaxtdxdcxbaxxRbaxtdxbaxxRp
mnnnnn,,,,,
）,（+=→⋅++++=→⋅⎪⎪⎭
⎫⎝⎛+++=→⋅+⎰⎰⎰
[]dxbxaxbxaxbaIkbadxbxaxdx
I⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⋅++-+⋅-=
≠-⋅+⋅+=⎰⎰）sin（）sin（）（）（sin）sin（1
）
sin（）sin（4解法:
π
其）求（
n
n
n
nnb
xaxtdxb
xa
xbxaxIndxbxaxdx
I--=⋅----=⋅-⋅-=⎰
⎰-+令解法:
为自然数
其,）求:
（,））（（1
）（）
（51
1
t
xdxcbxaxxIm1
62=
⋅++⋅=⎰解法:
令）求（
c
bxbbxabaedxbxeIcbxbbxabaedxbxeIaxax
ax
ax
+⋅+⋅⋅+=⋅⋅=+⋅-⋅⋅+=⋅⋅=⎰⎰）sincos（cos）cossin（sin72
222
21）统一公式
（
txxxtxxxtxxxtxxxcosarccos1sinarcsin1sin1tan182222=-=-=-=+时,令和④同时出现时,令和③同时出现时,令和②同时出现时,令和①同时出现）计算技巧
（
dx
xaxaxaxaaIdx
xa⋅-⋅+-++⋅=⋅-⎰⎰
）
（）（）
（）（211
92
2解法:
令）求（
小结:
几分钟含有根号,应当考虑采用合适的方法去掉根号再进行计算。
cxxxxxxxxxx
dxxxxdxxxxxxdxcbxaxdxcbxaxxxxxxxc
bxaxc
bxaxdx
+--⋅-=
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-----⋅-=-⋅-=++=++-⋅-∆++=∆++⎰⎰⎰⎰⎰2
1
122211122122212122ln1）（）
（1）（）（.0,）（）（010则原不定积分为:
的两个解为其,时,可将原式化为:
>①以下三种情况:
的不定积分,可以分为）当遇到形如（
的形式求解
配方,然后化成:
时,可以先给分母进行<③公式,然后化为:
时,可以利用完全平方②dxaxkxdkx⋅+∆-⋅-=∆⎰⎰
-2210）（）（0式
化和差,和差化积”公此外,也可以利用“积等式:
都是偶数时可以利用恒②得到:
。
这两个积分可以直接或后将得到形如:
。
最
或恒等式:
有一个奇正数时利用和①）三角函数的积分:
（2
2cos1sin,22cos1cos,sin1
1
sinsincossincos1
1
coscossincoscossinsincossin1coscos1sincossin1122112222x
xxxnmcxqxdxdxxxcxpxdxdxxxdxxxdxxxxxxxnmdx
nxxqq
qpp
pqpm-=
+=+⋅+=
⋅=⋅⋅+⋅+=⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=-=⋅⋅++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
计算
然后利用改为奇时,将偶③的导数）计算（即均为奇数时,可分出②式:
均为偶数时,利用恒等①）三角函数的积分:
（xxxxnmxxxnmxxnmdxxxmnm2222tan1secsectansecsectan,1
tansec,sectan12+=⋅+=⋅⋅⎰
（）cxa
n
xamdxxa
n
xamdxxaxnxmbabadxx
bxaxnxm+⋅-⋅=⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅==≠≠+⋅⋅+⋅⋅+⋅⎰⎰⎰⎰coslntan1cossincos000sincossincos132
2,则原式,①若的解法）关于形如:
（
⎰⎰⎰
⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅=≠=dxxb
m
xbndxxbxnxmbacot1sinsincos0.0,则原式②若
（）以下内容省略）
则:
至少有一个不为,③若......（sincossin）（cos）（sincos）'
sincos（sincossincossincossincos0,0,0sinln⎩⎨
⎧=-=+∴⋅⋅+⋅-++=⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅≠≠+⋅+=
⎰⎰⎰⎰nBaAbmBbAadx
x
bxaxBaAbxBbAadx
xbxaxbxaBdxxbxaxbxaAdxxbxaxnxmnmbacxb
m
xbn
（）
代入原式有原式,则:
至少有一个不为,,②若单为常数,则化简十分简,或,①若）不同时为,且为常数的推广④对⇒⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧⋅++-=+-=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=≠≠≠==≠⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⇒⋅⋅+⋅⋅+⋅⎰⎰⎰
⎰⎰
cbanbmalDbanambBbanbmaAlDAcnBaAbmBbAadxc
xbxaD
dx
cxbxacxbxaBdxcxbxacxbxaAlnmcbacbabacbalnmcbadxcxbxal
xnxmdxxbxaxnxm222
222sincossincos）'
sincos（sincos）sincos（0,,,000,0000,,,,,,,,sincossincossincossincos
的关系得出最后结论。
依据（化简之后为:
则理不定积分的形式,令,将其转化为有
的解,使用万能代换法至此,还需求出cbadtatcbttacIttxttxdttdxxtdxc
xbxa,,2）2
11cos,12sin,12,2tansincos1
2
2
2
2
2⎰⎰
⋅++⋅-=+-=+=⋅+==⋅+⋅+⋅
dxxxxxnn⋅+⎰）1（114如计算:
用倒代法。
解时,一般使）位于分母,并难以分的高次项（如）计算积分时,如遇到（
（）（）
ctn
dtttdttttxxdxdt
ttddxtxnnnnn++⋅-=⋅+-=⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+=+∴⋅⎪⎭⎫⎝⎛-===⎰⎰⎰
---1ln11111111,11
212则解:
令
（）
（）
（）
（）（）（）（）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅⋅--+⋅-=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅++⋅--+⋅-=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⋅++⋅--+⋅-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅+--+⋅-=
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+-⋅=⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅+=---------------⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
⎰⎰
22122212
222222122212222222212221212222
12221212222122
25
27
2
2
322
2
）1（）（）1（21）（）1（）（）121）1（）1（21）1（）（）1（21）（）1（21
1,41,115nmnmn
nmnmnmnmnmnmnm
n
m
n
Ianbxaxbmdxxbaxbxanxbaxbmdxxbaxbaxnxbaxbmdxxbaxnxbaxbmxbabmdxdxab
xxIndxxxdxx
xdxx
xdxx
ba
xIn（推导过程:
等积分
方向:
针对如的递推式）（
（）（）⎰⎰⎰
⋅==+⋅=+-=⋅⋅+=⋅⋅dx
xx
xx
xxxxxxcxxdxx
xx
xdxxx62222
2222
2secsec'tansectan1tansec'sectanseccottancossincossincossin1
16例如:
计算不定积分后再计算。
次项用半角公式降幂之拆一项凑微分,剩余偶奇次幂,次的方法来计算。
若为用半角公式通过降低幂角函数的偶次幂时,常函数是三次项去凑微分。
当被积函数的乘积时,拆开奇注:
当被积函数是三角函数,二者的关系为:
是两个十分重要的三角和利用公式:
②一些特殊情况
解:
原式例如:
求不定积分①一般情况下行解题:
）利用三角函数性质进（
（）
（）xdxdxxtantan1sec2
26⋅+=⋅⎰
⎰解:
（）
c
xxxx
dxx+⋅+⋅+=⋅++=⎰5
324tan5
1tan32tantan1tan2tan一致
消去根式,所得结果或采用双曲代换:
外,还可利用公式:
时,除了采用三角代换或被积函数含有）双曲代换的应用
（chtaxshtaxtshtchaxax⋅=⋅==--+1
17222222
n
nnndxx
xfndxxxf⋅⋅⋅=⋅⋅⎰⎰1）（11）（18）一个特殊变换:
（
（）
（）
（）
21
tantan21
221192122
2212
2
≥--⋅=⋅=⋅-+
+⋅
=
+=--+⎰⎰nInx
dxxIIna
naxx
naIax
dx
Innn
nnn
nn
n②①）两个重要递推公式（
cxxxx
dxxxxdxxxxdxxxxxdxxxdxxx
vx
dx
dudxdvxudxx+-+⋅=-⋅-⋅+⋅=-⋅-⋅=-⋅-⋅=⋅-⋅=⋅∴=-===⋅--------⎰⎰⎰
⎰⎰⎰212212212
1
1
1
1
2
11sin）
1（11
21sin121sin1sinsinsinsin,1,,sinsin1
20则:
令解:
利用分部积分法,①例如求不定积分分法
的最多的方法:
分部积）重难点:
解题时使用（
（）公式证明过程:
的积分。
出的积分积出,便可以积可以将此递推公式表明:
如果,是正整数>②递推公式:
xxndxxnnxxndxxnnnnnsinsin1sin1cossin1sin22
1---⎰⎰⋅⋅⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅⋅-=⋅
所以有:
则令xvdxxxndudxxdvxunncos,cossin）1（,sin,sin21-=⋅⋅⋅-=⋅==--
（）
⎰⎰⎰---⋅+⋅-=-⋅=⋅=xdxxxxdxdxxInnnn211sincoscossin）cos（sinsin
（）（）（）
（）（）（）（）dx
xnnxxndxxIndxxnxxxdxxndxxnxxdxxxnxxdx
xxnxxnnnnnnnnnnnn⋅⋅⎪⎭
⎫⎝⎛-+⋅⋅-=⋅∴⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅-=⋅⋅--⋅⋅-+⋅-=⋅-⋅⋅-+⋅-=⋅⋅⋅-+⋅-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----------212121221221sin1cossin1sin1sin1cossinsin1sin1cossinsin1sin1coss
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