等差等比数列的性质总结.docx

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等差等比数列的性质总结

等差等比数列的性质总结

一、等差数列

1、等差数列的定义：

（d为常数）（）；

2、等差数列通项公式：

，首项:

，公差:

d，末项:

推广：

、从而；

3、等差中项

（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项、即：

或

（2）等差中项：

数列是等差数列

4、等差数列的前n项和公式：

（其中

A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5、等差数列的判定方法

（1）定义法：

若或（常数）

是等差数列、

（2）等差中项：

数列是等差数列、⑶数列是等差数列（其中是常数）。

（4）数列是等差数列,（其中

A、B是常数）。

6、等差数列的证明方法定义法：

若或（常数）

是等差数列、7、提醒：

（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：

、、、及，其中、称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；③偶数个数成等差，可设为…，,…（注意；公差为2）

8、、等差数列的性质：

（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0、

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有、注：

，（4）若、为等差数列，则都为等差数列（5）

若{}是等差数列，则，…也成等差数列（6）数列为等差数列,每隔k（k）项取出一项（）仍为等差数列（7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和

1、当项数为偶数时，

2、当项数为奇数时，则（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）、（8）、的前和分别为、，且，则、（9）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和（10）求的最值法一：

因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。

法二：

（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和即当由可得达到最大值时的值、

（2）“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。

即当由可得达到最小值时的值、或求中正负分界项法三：

直接利用二次函数的对称性：

由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。

若Sp=Sq则其对称轴为注意：

解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：

即运用条件转化为关于和的方程；②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量、

二、等比数列

1、等比数列的定义：

，称为公比

2、通项公式：

，首项：

；公比：

推广：

，从而得或

3、等比中项

（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项、即：

或注意：

同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）

（2）数列是等比数列

4、等比数列的前n项和公式：

（1）

当时，

（2）

当时，（为常数）

5、等比数列的判定方法

（1）用定义：

对任意的n,都有为等比数列

（2）等比中项：

（0）为等比数列（3）通项公式：

为等比数列（4）前n项和公式：

为等比数列

6、等比数列的证明方法依据定义：

若或为等比数列

7、注意

（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：

、、、及，其中、称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；如奇数个数成等差，可设为…，…（公比为，中间项用表示）；

8、等比数列的性质

（1）

当时①等比数列通项公式是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比②前n项和，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比

（2）

对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式、因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

（3）

若m+n=s+t（m,n,s,t）,则、特别的,当n+m=2k时,得注：

（4）

列,为等比数列,则数列,,,（k为非零常数）

均为等比数列、（5）

数列为等比数列,每隔k（k）项取出一项（）仍为等比数列（6）

如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列（7）

若为等比数列,则数列，，，成等比数列（8）

若为等比数列,则数列,,成等比数列（9）

①当时，②当时，,③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;④当q<0时,该数列为摆动数列、（10）在等比数列中,当项数为2n（n）时,,、（11）若是公比为q的等比数列,则例

1、

（1）设是等差数列，且，求及S15值。

（2）等比数列中，，，前n项和Sn=126，求n和公比q。

（3）等比数列中，q=2，S99=77，求a3+a6+…+a99；（4）项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中间项与项数。

解：

（1）由已知可得，所以=2，S15=，所以或又,所以或评注：

分解重组，引导发现（）、（）与（）的关系，从而使问题获得简单的解法。

设等差数列共2n-1项,则所以此数列共31项、中间项评注：

（1）在项数为项的等差数列中，；

（2）在项数为项的等差数列中、变式：

（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为,则这个数列有13项；

（2）已知数列是等比数列,且,,，则9、（3）等差数列前项和是，前项和是，则它的前项和是210、（4）

等差数列{an}和{bn}的前n项之和之比为（3n+1）：

（2n+3）,求、。

（=）例

2、设等差数列的前n项之和为Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0，

（1）求公差d的取值范围。

（2）指出S1，S2，S3，…Sn中哪一个值最大，并说明理由。

解：

（1），，即，由,代入得：

。

（2）解一：

由，可知，所以S6最大。

解二：

，由可知，它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的点，根据图象可知S6最大。

解三：

，由得。

又抛物线开口向下，所以S6最大。

评注：

求等差数列Sn最值有三法：

借助求和公式是关于n的二次函数的特点,用配方法求解;借助等差数列的性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。

（经过原点）变式：

（1）

已知等差数列{an}中，，问S1，S2，S3，…Sn中哪一个值最大。

（2）

数列是首项为，公比为的等比数列，数列满足，

（1）求数列的前项和的最大值；

（2）求数列的前项和、略解：

（1）由题得，∴，∴是首项为3，公差为的AP。

∴，∴由，得，∴数列的前项和的最大值为

（2）由

（1）当时，，当时，，∴当时，当时，∴、例

3、

（1）

由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式、①②解：

当时，得不成立，∴，∴由①得，代入②得，∴、说明：

用等比数列前项和公式时，一定要注意讨论公比是否为

1、

（2）

若数列成等差数列，且，求、解：

（法一）基本量法（略）；（法二）设，则得：

，，∴，∴、评注：

法二抓住了等差数列前n项和的特征。

变式：

设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75,Tn为数列{}的前n项和，求Tn。

解：

法一：

（基本量法）设{an}首项为a1，公差为d，则∴∴，∴∴此式为n的一次函数，∴{}为等差数列，∴。

法二：

{an}为等差数列，设Sn=An2+Bn，∴解之得：

∴，下略。

例

4、已知等差数列，

（1）在区间上，该数列有多少项？

并求它们的和；

（2）在区间上，该数列有多少项能被整除？

并求它们的和、解：

，

（1）由，得，又,∴该数列在上有项,其和、

（2）∵，∴要使能被整除，只要能被整除，即，∴，∴，∴，∴在区间上该数列中能被整除的项共有项即第项，其和、等差、等比数列性质及应用复习参考题

一、选择题

1、在正整数100至500之间能被11整除的个数为（）

A、34

B、35

C、36

D、3

72、{an}是等差数列，且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9的值是（）

A、24

B、27

C、30

D、3

33、设函数f（x）满足f（n+1）=（n∈N*）且f

（1）=2,则f（20）为（）

A、95

B、97

C、105

D、19

24、若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是：

（）

A、4005

B、4006

C、4007

D、400

85、等差数列{an}中，已知a1=－6,an=0,公差d∈N*,则n（n≥3）的最大值为（）

A、5

B、6

C、7

D、

86、设命题甲:

△ABC的一个内角为60o，命题乙:

△ABC的三个内角的度数成等差数列、那么（）

（A）甲是乙的充分不必要条件（B）甲是乙的必要不充分条件（C）甲是乙的充要条件（D）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

7、已知等差数列{an}的公差为正数，且a3a7=－12,a4+a6=－4,则S20为（）

A、180

B、－180

C、90

D、－908、现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（）

A、9

B、10

C、19

D、2

99、由公差为d的等差数列a

1、a

2、a3…重新组成的数列a1+a4,a2+a5,a3+a6…是（）

A、公差为d的等差数列

B、公差为2d的等差数列

C、公差为3d的等差数列

D、非等差数列

10、在等差数列{an}中，若S9=18,Sn=240,an－4=30,则n的值为（）

A、14

B、15

C、16

D、17

二、填空题

11、在数列{an}中，a1=1,an+1=（n∈N*）,则是这个数列的第_________项、

12、在等差数列{an}中，已知S100=10，S10=100，则S110=_________、

13、在－9和3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为－21的等差数列，则n=_______、

14、等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,若=,则=_________、

15、已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是

16、若数列是等差数列，则数列也为等差数列，类比上述性质，相应地：

若是等比数列，且，则{}是等比数列,其中、

17、设m∈N+，log2m的整数部分用F（m）表示，则F

（1）+F

（2）+…+F（1024）的值是

三、解答题（本大题共5小题，共54分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18、若等差数列5，8，11，…与3，7，11，…均有100项，问它们有多少相同的项？

19、在等差数列{an}中，若a1=25且S9=S17,求数列前多少项和最大、

20、已知f（x+1）=x2－4,等差数列{an}中,a1=f（x－1）,a2=－,a3=f（x）、

（1）求x值；

（2）求a2+a5+a8+…+a26的值、

21、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2SnSn－1=0（n≥2）,a1=、

（1）求证：

{}是等差数列；

（2）求an表达式；（3）若bn=2（1－n）an（n≥2）,求证：

b22+b32+…+bn2<

1、