中考数学相似三角形总复习模型总结.docx
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中考数学相似三角形总复习模型总结
三角形相似总复习
第一部分相似三角形知识要点大全
知识点1・・相似图形的含义
把形状相同的图形叫做相似图形。
（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）
解读：
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.
（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.
（3）判斷两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.
例1・放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？
分析：
要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变.
解：
是相似因形。
因为它们的形状相同，大小不一定相同.
例2.下列各组图形：
①两个平行四边形：
②两个圆；③两个矩形：
④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是（填
序号）.
解析：
很据相似图形的定艾知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似.答案：
②⑤⑥.
知识点2.比例线段
对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即-=-（或bda:
b=c:
d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
解读：
（1）四条线段a,b,c,d成比例，记作-=-（或a:
b=c:
d）,不能写成其他形式，即比例线段bd
有顺序性.
（2）在比例式—=—（或a:
b=c:
d）中，比例的项为a,b,c,d,其中a,d为比例外项,b,c为比例内项，d
bd
是第四比例项.
（3）如果比例内项是相同的线段.即-=-或a:
b二b:
c,那么线段b叫做线段和的比例中项。
bc
（4）通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以.因为整体表示两个比相等.
例3・已知线段a=2cm,b二6mm,求—・
b
分析：
求巴即求与长皮的比，与的单位不同，先统一单位，再求比.
b
3
例4.已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=—dm,求c的长度.
2
分析：
由a,b,c,d成比例，写出比例式a:
b=c:
d,再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c.
知识点3.相似多边形的性质
相似多边形的性质：
相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.
解读：
（1）正确理解相似多边形的定狡，明确“对应”关系.
（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写.且要明确相似比具有顺序性.
例5.若四边形ABCD的四边长分别是4,6,8,10,与四边形ABCD相似的四边形AbCD的最大边长为
30,则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少？
分析：
四边形ABCD与四边形ARCD相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为丄，再根据相似
3
多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长.
知识点4.相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形・
解读：
（1）相似三角形是相似多边形中的一种；
（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；
（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；
（4）相似用“s”表示，读作“相似于”；
（5）相似三角形的对应边之比叫做相似比.
注意：
①相似比是有顺序的，比如△ABCsAARG,相似比为k,若厶AiBiCi^AABC,则相似比为丄。
②若两个三角形的相似比为1,则这两个三角形全等，全等三k
角形是相似三角形的特殊情况。
若两个三角形全等，則这两个三角形相似：
若两个三角形相似，則这两个三角形不一定全等.
例6.如图，已知△ADEs^ABC,DE=2,BC=4,則和的相似比是多少？
点D,E分别是AB,AC的中点吗?
注意：
解决此类问题应注意两方面：
（1）相似比的顺序性，
（2）图形的识别.
「…DEADAE「DE2I
BCABACBC42
ADAEi
所以——=——=-,所以D,E分别是AB,AC的中点.
ABAC2
知识点5・相似三角的判定方法
（1）定狡：
对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原三角形相似.
（3）如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
（4）如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.
（5）如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.
（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.
例7.如图，点D在AABC的边AB上，满足怎样的条件时，AACD与AABC相似？
试分别加以列举.
分析：
此题属于探索性问題，由相似三角形的判别方法可知，AACD与AABC已有公共角ZA,要使此两个三角形相似.可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可.
解：
当满足以下三个条件之一时，AACD^AABC
条件：
Q
AC
=Z1二ZB：
条件二：
Z2-ZACB;条件三：
.即AC2-AD•AB.
AB
知识点6.相似三角形的性质
（1）对应角相等，对应边的比相等；
（2）对应鬲的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;
（3）相似三角形周长之比等于相似比：
面积之比等于相似比的平方.例8.如图.已知△ADE^AABC,AD=8,BD=4,BC=15,EC=7
（1）求DE、AE的长；
（2）你还能发现哪些线段成比例.
DE_AD_AEBC"AB"AC
分析：
此题重点考査由两个三角形相似，可得到对应边成例.即.
rAB
例9.已知△ABCs/iARG.,二二,-一AABC的周长为20cm,面积为40cm2.
3也
求
（1）△ABG的周长；
（2）△ABG的面积・
分析：
根据相似三角形周长之比等于相似比：
面积之比等于相似比的平方求解.易求出△AiBiCi的周长为30cm;AA1B1C1的面积90cm2
第二部分相似三角形模型分析大全
一.相似三角形判定的基本模型认识
（一）A字型.反A字型（斜A字型）
（平行）
（二）8字型、反8字型
4
（蝴蝶型）
（平行）
（不平行）
（三）母子型
（四）一线三等角型:
（六）双垂型:
二、相似三角形判定的变化模型
旋转型：
由A字型後转得到。
共享性
—+—=—
ahc8字型拓展
一线三等角的变形
D
/1
1/g
/
/
A
卜/
、/
/
\/s/
1
、^/厂
b
E
C
一线三直角的变形
第三部分相似三角形典型例题讲解
母子型相似三角形
例1:
如图，梯形中，AD//BC,
对角线SG少交于点QBE//CD交以延长线于F・
求证：
OC2=O4・OE・
例2：
已知：
如图，HABC中，点F在中线初上，ZDEB=ZABC・
求证：
（1）DB?
=DE・DA；
（2）ZDCE=ZDAC.
例3:
已知：
如图，等腰中，AB=AC.AD丄BC予D,CG//AB,8G分别交SQ、AC予E、F.
求证：
BE?
=EF・EG.
A
相关练习：
1、如图，已知S0为的角平分线，矿为SQ的垂直平分线.求证：
FD，=FB・FC.
2、已知：
AD是RtAABC中ZA的平分线，ZC=90°,EF是AD的垂直平分线交AD于M,EF、BC的延长线交于一点No
3、已知：
如图，在AABC中，ZACB=90°.CD丄AB于D,E是AC上一点，CF丄BE于F。
求证：
EB•DF=AE•DB
5.已知：
如图，在XHABC中，ZG90。
8029AC=49P是斜边AB上的一个动点，PDJAB、交边朋
于点。
（点Q与点久C都不重合），F是射线〃上一点，且乙EPX乙A.设久P两点的距离为乙△卯的面积为％
（1）求证：
A&2PE;
（2）求卩关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△8FP与△力0C相似吋，求△3FP的面积.
双垂型
1.
如图，在ZkABC中，ZA二60°,BD、CE分别是AC、AB上的高求证：
（1）AABD^AACE;
（2）AADE^AABC：
（3）BC二2ED
2、如图，已知锐角Z\ABC,AD、CE分别是BC、AB边上的爲，AABC和ZkBDE的面积分别是27和3.DE=641,求：
点B到直线AC的距离。
A
共享型相似三角形
1、AABC是等边三角形，D.B、C.E在一条直线上，ZDAE=120°,已知BD=1,CE=3,,求等边三角形的边长.
2、已知：
如图，在RtAABC中，A^AC,Z04&45。
・
一线三等角型相似三角形
1:
如图，等边中，边长为6,。
是％上动点，Z曰存60°
（1）
求证：
\BDEs'CFD
（2）当BM,FO3时，求BE
例2：
（1）在AABC中，AB=AC=59BC=8,点P、0分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合力且保持ZAPQ=ZABC・
1若点P在线段CB上（如图），且BP=6,求线段CQ的长：
2
若BP=x9CQ=y9求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定狡域:
（2）正方形ABCD的边长为5（如下图），点P.0分别在直线C3.DC上（点P不与点点B重
•■
合），且保持ZAPQ=90°•当C0=1时，求出线段3P的长.
例3：
已知在梯形ABCD中，AD//BC.AD（1）如图8,P为SQ上的一点，满足乙BPC=乙A.
1求证：
'ABMHDPC
2求力P的长.
（2）如果点P在力。
边上移动（点P与点4Q不重合），且满足PF交直线％于点£同时交直线DC予邑Q,那么
1当点0在线段QC的延长线上时，设AP=x,CQ=y,求y关于"的函数解析式，并写出函数的定狡域；
2当CE=1时.写出MP的长.
例4：
如图，在梯形ABCD中，AD//BC9AB=CD=BC=6,AD=3•点M为边BC的中点，以M为顶点作ZEMF=Z3,射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,联结EF.
（1）求证：
HMEFs、BEM:
（2）若△BEM是以3M为腰的等腰三角形，求EF的长:
（3）若EF丄CD,求3E的长.
（4）
相关练习：
1＞如图，在ZU%中，AB=AC=S9BC=10,D是BC边上的一个动点，点£在人（？
边上，且
ZADE=ZC・
（1）求证：
\AB2'DCE;
（2）如果BD=x,AE=yt求y与兀的函数解析式，并写出自变量x的定义域;
（3）当点D是BC的中点时，试说明是什么三角形，并说明理由.
2、如因，已知在中，ABAgB",D是AB±一点，BA2、F是％上一动点，联结QF,并作
ADEF=ZB,射线矿交线段加于F.
（1）求证：
HDBEsHECF;
（2）当F是线段/1Q中点时，求线段处的长；
（3）联结DF、如果△妙与△加F相似，求刖的长.
BEC
3、已知在梯形ABCD中，AD〃BC、AXBC,且BC二6,ABDX、点F是S3的中点.
（1）如图，P为％上的一点，且匪2.求证：
\BE2\CPD;
（2）如果点P在％边上移动（点P与点0、C不重合），且满足乙EP匸乙C、PF交直线〃于点F,同时交直线九?
于点尿那么
1当点F在线段CQ的延长线上吋，设Bix,DF^y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
9
2
当S如f=—St时，求％的长・
（第25题图）
4、如图，已知边长为3的等边AABC■点F在边BC上,CF=1,点E是射线上一动点，以线段EF为边向右侧作等边AEFG,直线必,FG交直线AC于点M、N,
（1）写出图中与相似的三角形：
（2）证明其中一对三角形相似：
（3）设BE=x,MN=y求〉'与x之间的函数关系式，并写出自变董尤的取值范囤;
（4）若AE=i9试求5GMN的面枳.
一线三直角型相似三角形
备用图
例仁已知矩形ABCD中，CD二2,AD=3,点P是AD上的一个动点，且和点A,D不莹合，过点P作PE丄CP,交边AB于点E,设PD=x,AE=y9求y关于x的函数关系式.并写出x的取值范国。
An0
例厶在^ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,0是AB上的一点，且—=±，点P是AC上的一个动AB5
点，PQ丄OP交线段BC于点Q,（不与点B,C重合），设AP=x,CQ=y,试求y关于x的函数关系，并写出定义域。
【练习2】
在直角三角形ABC中，ZC=90\AB=BC.D是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），DF丄DE.DF与射线BC相交于点F.
（1）＞当点D是边AB的中点吋，求证：
DE=DF
AD
DE
⑵、当一=
=m,求的值
DB
DF
AD
（3）.当AC=BC=6,=—,i殳==y，求y关于x的函数关系式，并写出定狡域
DB2
D
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