高中数学第四章函数应用2实际问题的函数建模学案北师大必修1.docx

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高中数学第四章函数应用2实际问题的函数建模学案北师大必修1

2实际问题的函数建模

学习目标

　1.了解什么是函数模型，知道函数的一些基本模型.2.学会对收集到的相关数据进行拟合，并建立适当的数学模型.3.学会运用常见的函数模型来解一些简单的实际问题．

知识点一　实际问题的函数刻画

思考　世界上很多事物间的联系可以用函数刻画，在试图用函数刻画两个变量的联系时，需要关注哪些要点？

梳理　设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．

知识点二　用函数模型解决实际问题

思考　函数模型是应用最广泛的数学模型之一，一旦确定是函数模型，怎样研究它？

梳理　用函数模型解决实际问题的步骤：

（1）审题：

弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．

（2）建模：

将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．

（3）求模：

求解数学模型，得到数学结论．

（4）还原：

利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．

可将这些步骤用框图表示如下：

知识点三　数据拟合

思考　自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型．类比这个公式的发现过程，简述什么是数据拟合？

梳理　数据拟合

（1）定义：

通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律．这种方法称为数据拟合．

（2）数据拟合的步骤：

①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；

②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；

③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；

④做必要的检验．

类型一　利用已知函数模型求解实际问题

例1　某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程．

反思与感悟　在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，如一次、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数，这时可借助待定系数法求出函数解析式，再根据解题需要研究函数性质．

跟踪训练1　如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．

类型二　自建确定性函数模型解决实际问题

例2　某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y＝

－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？

最大利润是多少？

反思与感悟　自建模型时主要抓住四个关键：

“求什么，设什么，列什么，限制什么”．

求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．

设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．

列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．

限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．

跟踪训练2　有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝

x，Q2＝

.现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？

例3　某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．

旅游点规定：

每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入．（日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得）

（1）求函数y＝f（x）的解析式；

（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？

日净收入最多为多少元？

反思与感悟　自变量x按取值不同，依不同的对应关系对应因变量y是分段函数的典例特征，建立分段函数模型应注意：

（1）分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．

（2）分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．

（3）分段函数的值域求法为：

逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．

跟踪训练3　学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40min的一节课中，注意力指数y与听课时间x（单位：

min）之间的关系满足如图的图像．当x∈（0,12]时，图像是二次函数图像的一部分，其中顶点A（10,80），过点B（12,78）；当x∈[12,40]时，图像是线段BC，其中C（40,50）．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．

（1）试求y＝f（x）的函数关系式；

（2）教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？

请说明理由．

1．从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为（　　）

A．17B．18C．19D．20

2．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是（　　）

A．分段函数B．二次函数

C．指数函数D．对数函数

3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是（　　）

A．y＝0.9576

B．y＝（0.9576）100x

C．y＝（

）xD．y＝1－0.0424

4．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：

x

1

2

3

…

y

1

3

8

…

则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是（　　）

A．y＝2x－1B．y＝x2－1

C．y＝2x－1D．y＝1.5x2－2.5x＋2

5．某同学最近5年内的学习费用y（千元）与时间x（年）的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是（　　）

A．y＝ax＋bB．y＝ax2＋bx＋c

C．y＝aex＋bD．y＝alnx＋b

解函数应用问题的步骤（四步八字）

（1）审题：

弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

（2）建模：

将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

（3）求模：

求解数学模型，得出数学结论；

（4）还原：

将数学问题还原为实际问题．

答案精析

问题导学

知识点一

思考　先确定两个变量是谁；再看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义；如果满足，就要考虑建立函数关系式．

知识点二

思考　先确定函数关系式，再根据解决实际问题的需要针对性研究函数性质，如定义域、最值、单调性等，使实际问题得到解决．

知识点三

思考　函数模型来源于现实（伽利略斜塔抛球），通过收集数据（打点计时器测量），画散点图分析数据（增长速度、单位时间内的增长量等），寻找或选择函数（假说）来作为函数模型，再检验这个函数模型是否符合实际，这就是数据拟合．

题型探究

例1　解　因为火车匀速运动的时间为（277－13）÷120＝

（h），所以0≤t≤

.

因为火车匀速行驶th所行驶的路程为120t，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是S＝13＋120t（0≤t≤

）.2h内火车行驶的路程S＝13＋120×（2－

）＝233（km）．

跟踪训练1　2

解析　以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系（如图），则水面和拱桥交点A（2，－2），设抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2（a≠0），则－2＝a·22，∴a＝－

，∴y＝－

x2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B（b，－3），将B点的坐标代入y＝－

x2，得b＝±

，因此水面宽2

米．

例2　解　设可获得总利润为R（x）万元，

则R（x）＝40x－y

＝40x－

＋48x－8000

＝－

＋88x－8000

＝－

（x－220）2＋1680（0≤x≤210）．

∵R（x）在[0,210]上是增函数，

∴x＝210时，

R（x）max＝－

（210－220）2＋1680

＝1660（万元）．

∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．

跟踪训练2　解　设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资（3－x）万元，总利润为y万元．

所以Q1＝

x，Q2＝

.

所以y＝

x＋

（0≤x≤3），

令t＝

（0≤t≤

），则x＝3－t2.

所以y＝

（3－t2）＋

t

＝－

（t－

）2＋

.

当t＝

时，ymax＝

＝1.05（万元），

即x＝

＝0.75（万元），

所以3－x＝2.25（万元）．

由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，共获得利润1.05万元．

例3　解　

（1）当x≤6时，y＝50x－115，

令50x－115＞0，解得x＞2.3.

又因为x∈N，所以3≤x≤6，且x∈N.

当6＜x≤20，且x∈N时，

y＝[50－3（x－6）]x－115

＝－3x2＋68x－115，综上可知

y＝f（x）＝

（2）当3≤x≤6，且x∈N时，

因为y＝50x－115是增函数，

所以当x＝6时，ymax＝185元．

当6＜x≤20，且x∈N时，

y＝－3x2＋68x－115

＝－3

2＋

，

所以当x＝11时，ymax＝270元．

综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元．

跟踪训练3　解　

（1）当x∈（0,12]时，

设f（x）＝a（x－10）2＋80（a≠0）．

因为该部分图像过点B（12,78），

将B点的坐标代入上式，得a＝－

，

所以f（x）＝－

（x－10）2＋80.

当x∈[12,40]时，设f（x）＝kx＋b（k≠0）．因为线段BC过点B（12,78），C（40,50），将它们的坐标分别代入上式，得方程组

解得

所以f（x）＝－x＋90.

故所求函数的关系式为

f（x）＝

（2）由题意，得

或

解得4＜x≤12或12＜x＜28，

即4＜x＜28.

故老师应在x∈（4,28）时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．

当堂训练

1．C　2.A　3.A　4.D　5.B