2000全国高中数学联赛试题及解答.doc

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2000年全国高中数学联赛冯惠愚

2000年全国高中数学联合竞赛试卷

（10月15日上午8:

00-9:

40）

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩∁RB是（）

（A）{2}（B）{-1}（C）{x|x≤2}（D）Æ

2．设sina＞0，cosa＜0，且sin＞cos，则的取值范围是（）

（A）（2kp+，2kp+），kÎZ（B）（+，+），kÎZ

（C）（2kp+，2kp+p），kÎZ（D）（2kp+，2kp+）∪（2kp+，2kp+p），kÎZ

3．已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是（）

（A）（B）（C）3（D）6

4．给定正数p，q，a，b，c，其中p¹q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2-2ax+c=0（）

（A）无实根（B）有两个相等实根（C）有两个同号相异实根（D）有两个异号实根

5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是（）

（A）（B）（C）（D）

6．设ω=cos+isin，则以w，w3，w7，w9为根的方程是（）

（A）x4+x3+x2+x+1=0（B）x4-x3+x2-x+1=0

（C）x4-x3-x2+x+1=0（D）x4+x3+x2-x-1=0

二．填空题（本题满分54分，每小题9分）

1．arcsin（sin2000°）=__________．

2．设an是（3-）n的展开式中x项的系数（n=2，3，4，…），则（++…+））=________.

3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________.

4．在椭圆+=1（a＞b＞0）中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________.

5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.

6．如果：

（1）a，b，c，d都属于{1，2，3，4}；

（2）a¹b，b¹c，c¹d，d¹a；

（3）a是a，b，c，d中的最小值，

那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

1．设Sn=1+2+3+…+n，nÎN*，求f（n）=的最大值．

2．若函数f（x）=－x2+在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]．

3．已知C0：

x2+y2=1和C1：

+=1（a＞b＞0）．试问：

当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形？

并证明你的结论．

2000年全国高中数学联赛二试题

（10月15日上午10∶00-12∶00）

一．（本题满分50分）

A

B

C

D

E

F

M

N

如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：

四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．

二．（本题满分50分）

设数列{an}和{bn}满足a0=1，a1=4，a2=49，且

n=0，1，2，……

证明an（n=0，1，2，…）是完全平方数．

三．（本题满分50分）

有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n－2个人之间通电话的次数相等，都是3k次，其中k是自然数，求n的所有可能值．

2000年全国高中数学联合竞赛试题解答

第一试

一．选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩∁RB是（）

（A）{2}（B）{-1}（C）{x|x≤2}（D）Æ

解：

A={2}，B={2，－1}，故选D．

2．设sina＞0，cosa＜0，且sin＞cos，则的取值范围是（）

（A）（2kp+，2kp+），kÎZ（B）（+，+），kÎZ

（C）（2kp+，2kp+p），kÎZ（D）（2kp+，2kp+）∪（2kp+，2kp+p），kÎZ

解：

满足sina＞0，cosa＜0的α的范围是（2kp+，2kp+π），于是的取值范围是（+，+），

满足sin＞cos的的取值范围为（2kp+，2kp+）．故所求范围是（2kp+，2kp+）∪（2kp+，2kp+p），kÎZ．选D．

3．已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是（）

（A）（B）（C）3（D）6

解：

A（－1，0），AB方程：

y=（x+1），代入双曲线方程，解得B（2，），

∴S=3．选C．

4．给定正数p，q，a，b，c，其中p¹q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2-2ax+c=0（）

（A）无实根（B）有两个相等实根（C）有两个同号相异实根（D）有两个异号实根

解：

a2=pq，b+c=p+q．b=，c=；

△=a2－bc=pq－（2p+q）（p+2q）=－（p－q）2<0．选A．

5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是（）

（A）（B）（C）（D）

解：

直线即25x－15y+12=0．平面上点（x，y）到直线的距离==．

∵5x－3y+2为整数，故|5（5x－3y+2）+2|≥2．且当x=y=－1时即可取到2．选B．

6．设ω=cos+isin，则以w，w3，w7，w9为根的方程是（）

（A）x4+x3+x2+x+1=0（B）x4-x3+x2-x+1=0

（C）x4-x3-x2+x+1=0（D）x4+x3+x2-x-1=0

解：

ω5+1=0，故w，w3，w7，w9都是方程x5+1=0的根．x5+1=（x+1）（x4－x3+x2－x+1）=0．选B．

二．填空题（本题满分54分，每小题9分）

1．arcsin（sin2000°）=__________.

解：

2000°=180°×12－160°．故填－20°或－．

2．设an是（3-）n的展开式中x项的系数（n=2，3，4，…），则（++…+））=________.

解：

an=3n－2C．∴==，故填18．

3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________.

解：

q=====．填．

4．在椭圆+=1（a＞b＞0）中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________.

解：

c=a，∴|AF|=a．|BF|=a，|AB|2=|AO|2+|OB|2=a2．

故有|AF|2=|AB|2+|BF|2．即∠ABF=90°．填90°．

或由b2=a2－c2=a2=ac，得解．

5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.

解：

取球心O与任一棱的距离即为所求．如图，AE=BE=a，

AG=a，AO=a，BG=a，AB∶AO=BG∶OH．

OH==a．V=πr3=πa3．填πa3．．

6．如果：

（1）a，b，c，d都属于{1，2，3，4}；

（2）a¹b，b¹c，c¹d，d¹a；

（3）a是a，b，c，d中的最小值，

那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________

解：

a、c可以相等，b、d也可以相等．

⑴当a、c相等，b、d也相等时，有C=6种；

⑵当a、c相等，b、d不相等时，有A+A=8种；

⑶当a、c不相等，b、d相等时，有CC+C=8种；

⑷当a、c不相等，b、d也不相等时，有A=6种；共28种．填28．

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

1．设Sn=1+2+3+…+n，nÎN*，求f（n）=的最大值．

解：

Sn=n（n+1），f（n）==≤Error!

Nobookmarknamegiven.．（n=8时取得最大值）．

2．若函数f（x）=－x2+在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]．

解：

⑴若a≤b<0，则最大值为f（b）=－b2+=2b．最小值为f（a）=－a2+=2a．即a，b是方程x2+4x－13=0的两个根，而此方程两根异号．故不可能．

⑵若a<0

当x=a或x=b时f（x）取最小值，①f（a）=－a2+=2a时．a=－2±，但a<0，故取a=－2－．由于|a|>|b|，从而f（a）是最小值．②f（b）=－b2+==2a>0．与a<0矛盾．故舍．

⑶0≤a

∴－b2+=2a．－a2+=2b．相减得a+b=4．解得a=1，b=3．

∴[a，b]=[1，3]或[－2－，]．

3．已知C0：

x2+y2=1和C1：

+=1（a＞b＞0）．试问：

当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形？

并证明你的结论．

解：

设PQRS是与C0外切且与C1内接的平行四边形．易知圆的外切平行四边形是菱形．即PQRS是菱形．于是OP⊥OQ．

设P（r1cosθ，r1sinθ），Q（r2cos（θ+90°），r2sin（θ+90°），则在直角三角形POQ中有r12+r22=r12r22（利用△POQ的面积）．即+=1．

但+=1，即=+，

同理，=+，相加得+=1．

反之，若+=1成立，则对于椭圆上任一点P（r1cosθ，r1sinθ），取椭圆上点Q（r2cos（θ+90°），r2sin（θ+90°），则=+，，=+，，于是+=+=1，此时PQ与C0相切．即存在满足条件的平行四边形．

故证．

第二试

一．（本题满分50分）

如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：

四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．

证明：

连MN，则由FM⊥AM，FN⊥AN知A、M、F、N四点共圆，且该圆的直径为AF．又ÐAMN=ÐAFN，但ÐFAN=ÐMAD，故ÐMAD+ÐAMN=ÐFAN+ÐAFN=90°．∴MN⊥AD，且由正弦定理知，MN=AFsinA．

∴SAMDN=AD·MN=AD·AFsinA．

连BD，由ÐADB=ÐACF，ÐDAB=ÐCAF，得⊿ABD∽⊿AFC．

∴AD∶AB=AC∶AF，即AD·AF=AB·AC．

∴SAMDN=AD·AFsinA=AB·ACsinA=SABC．

二．（本题满分50分）

设数列{an}和{bn}满足a0=1，a1=4，a2=49，且

n=0，1，2，……

证明an（n=0，1，2，…）是完全平方数．

证明⑴×7：

7an+1=49an+42bn－21，

⑵×6：

6bn+1=48an+42bn－24．

两式相减得，6bn+1－7an+1=－an－3，即6bn=7an－an－1－3．

代入⑴：

an+1=14an－an－1－6．故an+1－=14（an－）－（an－1－）．

其特征方程为x2－14x+1=0，特征方程的解为x=7±4．

故an=α（7+4）n+β（7－4）n+,现a0=1，a1=4，a2=49．解得α=β=．

∴an=（7+4）n+（7－4）n+=（2+）2n+（2－）2n+

=[（2+）n+（2－）n]2．

由于[（2+）n+（2－）n]是整数，故知an是整数的平方．即为完全平方数．

三．（本题满分50分）

有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n－2个人之间通电话的次数相等，都是3k次，其中k是自然数，求n的所有可能值．

解：

由条件知，统计各n－2人组的通话次数都是3k次，共有C=C个n－2人组，若某两人通话1次，而此二人共参加了C=C个n－2人组，即每次通话都被重复计算了C次．即总通话次数应为·3k次．

由于（n－1，n－2）=1，故n－2|n∙3k．

若n－2|n，故n－2|2，易得n=4，（n=3舍去）此时k=0．

由n－2|3k，n=3m+2，（m为自然数，且m≤k），此时

·3k=·3k=[3m+4+]·3k－m，即3m－1|6．

∴m=0，1．当m=0时，n=3（舍去），当m=1时，n=5．

又：

n=4时，每两个人通话次数一样，可为1次（任何两人都通话1次）；当n=5时，任何两人都通话1次．均满足要求．

∴n=0，5．

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