贵阳专用中考数学总复习第二部分热点专题解读专题五几何图形探究问题针对训练.docx
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贵阳专用中考数学总复习第二部分热点专题解读专题五几何图形探究问题针对训练
第二部分 专题五
1．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
图1 图2 图3
（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，
（1）中的结论还成立吗？
（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE∶CD的值；
（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最大值．
解：
（1）AE＝DF，AE⊥DF.
理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°.
∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，
∴DE＝CF.
在△ADE和△DCF中，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC．
∵∠ADE＝90°，∴∠ADP＋∠CDF＝90°，
∴∠ADP＋∠DAE＝90°，
∴∠APD＝180°－90°＝90°，∴AE⊥DF.
（2）是，CE∶CD＝
或2.
【解法提示】有两种情况：
①如答图1，当AC＝CE时，设正方形ABCD的边长为a.由勾股定理得，AC＝CE＝
＝
a，
则CE∶CD＝
a∶a＝
；
②如答图2，当AE＝AC时，设正方形ABCD的边长为a，
由勾股定理得，AC＝AE＝
＝
a.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，即AD⊥CE，
∴DE＝CD＝a，∴CE∶CD＝2a∶a＝2.
即CE∶CD＝
或2.
图1 图2 图3
（3）∵点P在运动中保持∠APD＝90°，
∴点P的路径是以AD为直径的圆上的一段弧．
如答图3，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，此时CP的长度最大．
∵在Rt△QDC中，QC＝
＝
＝
，
∴CP＝QC＋QP＝
＋1，
即线段CP的最大值是
＋1.
2．问题探究
（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别是边BC，CD上两点，且BM＝CN，连接AM和BN，交于点P.猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．
（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值；
问题解决
（3）如图3，AC是边长为2
的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°.点M和N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动．连接AM和BN，交于点P.求△APB周长的最大值．
图1 图2 图3
解：
（1）AM⊥BN.
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN＝90°.
∵BM＝CN，∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM＝∠CBN.
∵∠CBN＋∠ABN＝90°，
∴∠ABN＋∠BAM＝90°，
∴∠APB＝90°，∴AM⊥BN.
（2）如答图1，以AB为斜边向外作等腰直角三角形AEB，∠AEB＝90°，作EF⊥PA于F，作EG⊥PB交PB延长线于G，连接EP.
答图1
∵∠EFP＝∠FPG＝∠G＝90°，
∴四边形EFPG是矩形，
∴∠FEG＝∠AEB＝90°，
∴∠AEF＝∠BEG.
∵EA＝EB，∠EFA＝∠G＝90°，
∴△AEF≌△BEG，
∴EF＝EG，AF＝BG，
∴四边形EFPG是正方形，
∴PA＋PB＝PF＋AF＋PG－BG＝2PF＝2EF.
∵EF≤AE，∴EF的最大值为AE＝2
，
∴△APB周长的最大值为4＋4
.
（3）如答图2，延长DA到K，使得AK＝AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH＝PB，连接BH.
答图2
∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，BM＝CN，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠APN＝∠BAM＋∠ABP＝∠CBN＋∠ABN＝60°，
∴∠APB＝120°.
∵∠AKB＝60°，
∴∠AKB＋∠APB＝180°，
∴A，K，B，P四点共圆，
∴∠BPH＝∠KAB＝60°.
∵PH＝PB，∴△PBH是等边三角形，
∴∠KBA＝∠HBP，BH＝BP，
∴∠KBH＝∠ABP.
∵BK＝BA，∴△KBH≌△ABP，
∴HK＝AP，
∴PA＋PB＝KH＋PH＝PK，
∴当PK的值最大时，△APB的周长最大，
∴当PK是△ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4，
∴△PAB的周长最大值为2
＋4.
3．（2016·贵阳）
（1）阅读理解：
如图1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：
延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．
中线AD的取值范围是__2（2）问题解决：
如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：
BE＋CF>EF.
（3）问题拓展：
如图3，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
图1 图2 图3
（1）解：
2【解法提示】∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD．
在△BDE和△CDA中，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝6.
在△ABE中，由三角形的三边关系得AB－BE∴10－6∴2（2）证明：
如答图1，延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM，EM，
答图1
同
（1）得，△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF.
∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF.
在△BME中，由三角形的三边关系得BE＋BM>EM，
∴BE＋CF>EF.
（3）解：
BE＋DF＝EF.理由如下：
如答图2，延长AB至点N，
答图2
使BN＝DF，连接CN.
∵∠ABC＋∠D＝180°，
∠NBC＋∠ABC＝180°，
∴∠NBC＝∠D．
在△NBC和△FDC中，
∴△NBC≌△FDC（SAS），
∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD．
∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，
∴∠BCE＋∠FCD＝70°，
∴∠ECN＝70°＝∠ECF.
在△NCE和△FCE中，
∴△NCE≌△FCE（SAS），∴EN＝EF.
∵BE＋BN＝EN，∴BE＋DF＝EF.
4．（2018·湖北）问题：
如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为__BC＝DC＋EC__；
探索：
如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：
如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°.若BD＝9，CD＝3，求AD的长．
图1 图2 图3
解：
（1）BC＝DC＋EC．
【解法提示】∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD＋CD＝EC＋CD，
即BC＝DC＋EC．
（2）BD2＋CD2＝2AD2.
证明：
如答图1，连接CE.
由
（1）得△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，
∴∠DCE＝90°，
∴CE2＋CD2＝ED2.
在Rt△ADE中，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴DE2＝2AD2.
∴BD2＋CD2＝2AD2.
答图1 答图2
（3）如答图2，作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE.
∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE＝BD＝9.
∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，
∴∠EDC＝90°，
∴DE＝
＝6
.
∵∠DAE＝90°，
∴AD＝AE＝
DE＝6.
5．
（1）问题发现：
如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE＋DF，试说明理由；
（2）类比引申：
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系__∠B＋∠D＝180°__时，仍有EF＝BE＋DF；
（3）联想拓展：
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，猜想BD，DE，EC满足的等量关系，并写出推理过程．
图1 图2 图3
解：
（1）如答图1.∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合．
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线，
则∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，
∠FAG＝∠FAD＋∠GAD＝∠FAD＋∠BAE＝90°－45°＝45°＝∠EAF，
即∠EAF＝∠FAG.
在△EAF和△GAF中，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG＝BE＋DF.
图1 图2
（2）∠B＋∠D＝180°.
【解法提示】∵AB＝AD，
∴如答图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴∠BAE＝∠DAG.
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE＋∠DAF＝45°，
∴∠DAG＋∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG.
∵∠ADC＋∠B＝180°，
∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线．
在△AFE和△AFG中，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
即EF＝BE＋DF.
故∠B＋∠ADC＝180°.
答图3
（3）BD2＋CE2＝DE2.
推理过程：
如答图，把△ACE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接DF，
则∠FAB＝∠CAE.
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠BAD＋∠CAE＝45°.
∵∠FAB＝∠CAE，∴∠FAD＝∠DAE＝45°.
在△ADF和△ADE中，
∴△ADF≌△ADE（SAS），
∴DF＝DE.∵∠C＝∠ABF＝45°，
∴∠DBF＝90°，
∴△BDF是直角三角形，
∴BD2＋BF2＝DF2，
∴BD2＋CE2＝DE2.
6．（2018·衡阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以
cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？
（2）是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？
若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．
解：
（1）如答图1，连接BP.
答图1
在Rt△ACB中，∵AC＝BC＝4，∠C＝90°，
∴AB＝4
.
∵点B在线段PQ的垂直平分线上，∴BP＝BQ.
∵AQ＝
t，CP＝t，
∴BQ＝4
－
t，PB2＝42＋t2，
∴（4
－
t）2＝16＋t2，
解得t＝8－4
或8＋4
（舍去），
∴当t＝（8－4
）s时，点B在线段PQ的垂直平分线上．
（2）存在．①如答图2，当PQ＝QA时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠AQP＝90°，
则有PA＝
AQ，
∴4－t＝
·
t，解得t＝
；
②存在．如答图3，当AP＝PQ时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠APQ＝90°，则有AQ＝
AP，
∴
t＝
（4－t），解得t＝2.
综上所述，当t＝
s或2s时，△APQ是以PQ为腰的等腰三角形．
图2 图3
（3）如答图4，连接QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F.则QE＝AE，QF＝EC，可得QE＋QF＝AE＋EC＝AC＝4，
答图4
∴S＝S△QNC＋S△PCQ＝
CN·QF＋
PC·QE＝
t（QE＋QF）＝2t（07．（2018·娄底）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD，BC于点E，F.
（1）求证：
△AOE≌△COF；
（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．
（1）证明：
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
（2）解：
四边形BEDF是菱形．理由如下：
∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF.
∵AD＝BC，∴DE＝BF.
∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．
∵OB＝OD，EF⊥BD，∴EB＝ED，
∴四边形BEDF是菱形．
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