平面直角坐标系.docx

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平面直角坐标系

课题与教学内容

确定平面上物体的位置

课时安排

1课时

教学目标

知识技能

通过现实情境说出在平面上确定物体位置的多种方法；能说出平面上确定物体位置需要的基本条件；能根据不同情境选择合适的方法来确定物体的位置；进一步发展形象思维能力和数学应用的能力。

过程方法

多观察、多动手、多思考，体会表示物体位置的方法。

解决办法：

对于重点内容通过课件引入，提出问题后学生通过讨论得出平面上的点可以用唯一一对数来表示。

对于难点内容在老师指导下学生实际测量出方位角与位置。

情感态度

进一步发展数形结合的意识。

教学重点

在平面上某点的位置可以用唯一一对数来表示

教学难点

在平面上某点的位置用方位角＋距离来表示。

教学方法

引导发现法、小组讨论

教学过程设计

教学过程

修改意见

（一）引入

用一个实数可以表示数轴上点的位置，那么平面上某点的位置能否用数来表示呢？

通过课件引出本节内容。

提问：

进入教室，你能通过什么方式找到自己的座位?

这样可以调动学生对确定位置的多角度思考，再依学生的回答过渡到座次表。

每个同学在教室里都有一个确定的座位。

下面是某班同学的座次表。

根据这个座次表，每个同学的座位都可以用一对数来表示。

如小明在第5排第3列，可以用一对数（5，3）表示他的座位；小红在第6排第7列，可以用一对数（6，7）表示她的座位。

通过学生分组交流讨论,一方面使学生初步认识到在现实生活中,要在平面上确定物体的位置一般需要两个数据；另一方面帮助学生形成运用数学知识解决实际问题的良好的教学观。

借助地图，对学生进行识别方向的训练，教师说出一个方向，让学生在图中将其指出。

在地图上确定衡水市相对于石家庄市的位置。

首先将两个城市抽象为两个点，画出表示东西方向和南北方向的直线。

常用的方法是：

（1）在简图上，用量角器量得衡水市在石家庄市的南偏东约70°方

（二）一起探究

按照上面的表示方法，我们一起探究下面的问题：

1．小强的座位用哪对数来表示?

2．一对数（4，1）表示的是哪个同学的座位?

3．两对数（5，3）和（3，5）表示的座位相同吗?

它们分别表示哪个同学的座位?

4．每个同学的座位都能用惟一一对数表示吗?

图18—1是一幅河北省政区简图，比例尺是1：

7000000。

教师让学生懂得中国的首都是北京，并在图中指出北京的位置。

再让学生在中国地图中找出家乡的位置，并说一说家乡在北京的什么方向，北京在家乡的什么方向。

如果以石家庄市为参照点，怎样描述衡水市的位置呢?

（2）在简图上，用刻度尺量得石家庄市与衡水市的直线距离约为2.0cm。

根据比例尺，算得石家庄市与衡水市的实际距离约为

2.0×7×106＝1.4×107（cm）＝140（km）。

这样，我们就说“衡水市在石家庄市的南偏东约70°的方向上，距离约140km。

”

（三）做一做

1．有一座城市在石家庄市北偏东约40°方向上，距离石家庄市约245km。

请你在图18—1中找到这座城市。

2．请你在图18—1中，分别以石家庄市和唐山市为参照点，描述张家口市的位置。

要表示平面上某点的位置，首先要确定出参照点。

如从石家庄市看张家口市的位置和从唐山市看张家口市的位置，结果显然是不同的。

其次，这种方法是用角和距离两个数据来表示某点相对于参照点的位置。

在地图上，还常用经纬度来确定某地的位置，如唐山市位于北纬39°40′，东经118°10′的地方。

这种确定位置的方法用了几个数据呢?

（四）练习

1．如图所示，以小岛上的导航灯为参照点，确定货轮所在的位置。

2．以图18—1中的石家庄市为参照点，分别表示承德市和沧州市的位置。

（五）小结

引导学生总结本节的主要知识点。

板书设计

确定平面上物体的位置

一起探究

做一做

练习

教学札记

本节主要学习确定平面上物体位置的两种方法，是本章内容的基础，重点是在平面上某点的位置可以用唯一一对数来表示。

难点是在平面上某点的位置用方位角＋距离来表示。

对于难点关键是确定方位角，这在老师的指导下由学生实际测量，进而掌握测量方位角的方法。

首先通过各种实例引出确定物体位置的多种方式，突出相关知识的实际背景；然后，集中于一种确定物体位置的方式确定位置：

以确定物体位置作为本章学习的出发点——突出在平面上确定物体位置的方法多样性和实质统一性：

都需要两个数据。

课题与教学内容

平面直角坐标系

课时安排

2课时

教学目标

知识技能

说出什么是平面直角坐标系和各部分的名称。

说出平面直角坐标系的用途。

能正确画出平面直角坐标系。

能根据坐标确定点和确定平面上点的坐标。

过程方法

经历从实际问题抽象出直角坐标系的过程。

情感态度

体验平面直角坐标系是从具体问题中抽象出来的一种处理平面上的点和数关系的数字模型。

欣赏平面直角坐标系所具有的对称美。

教学重点

画平面直角坐标系。

确定点的坐标。

教学难点

对“用一对有序实数表示平面内的点”的理解。

教具准备

多媒体，或投影仪

教学方法

自主探究与传授相结合。

教学过程设计

预设教学路径

预计学生活动

备择方案

第一课时

导言：

你已经学习过有关数轴的知识，请回答几个问题，看看对这部分知识把握的程度。

新授

建立平面直角坐标系后，就可以用一对数来表示平面上点的位置了。

图18—2表示的是某城市的部分街道。

在繁星大道和中山路的交叉口O处，小亮向交警叔叔问路。

问：

叔叔，到图书大厦怎么走？

交通警察该如何回答小亮的问题呢?

（一）大家谈谈

按这样的约定，以O为参照点，点Q，E，F的位置应如何表示?

（二）一起探究

1．在图18—2中，点Q，E，F相对于点O的位置，应分别怎样表示?

2．你能在图18—2中找到用（3，－1．5），（－2，2）表示的点的位置吗?

3．街道所在平面上的任何一点，它的位置都可以用一对数表示出来吗?

举例说明。

像这样，在平面内画两条互相垂直的数轴，就构成了平面直角坐标系（rectangularcoordinatesintwodemensions）（图18—4）。

这个平面叫做坐标平面，两条数轴叫做坐标轴。

水平数轴叫做x轴（横轴），取向右为正方向；与x轴垂直的数轴叫做y轴（纵轴），取向上为正方向。

横轴与纵轴的公共原点，叫做坐标原点。

在图18—5的直角坐标系里，根据点A的位置写出其坐标的方法是：

从点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足在x轴和y轴上对应的数分别是x0（叫做点A的横坐标）和y0（叫做点A的纵坐标），有序实数对（x0，y0）叫做点A的坐标，记为A（x0，y0）。

例如，在图18—5中，点M的坐标是（－1，3），点N的坐标是（3，2），点Q的坐标是（－3．5，－1），点T的坐标是（5，－1．5）。

如果两个点的坐标分别是（5，－1）和（－2，－3），你能在图中把这两个点标出来吗?

（三）例题

例1写出图18—6中七边形ABCDEFG各顶点的坐标。

我们在坐标平面上可以看到：

对于平面上的任意一点，都有惟一一对有序实数（即这个点的坐标）与它对应；反过来，对任意一对有序实数，都有平面上惟一的一点与它对应。

这就是说，在坐标平面上，点和有序实数对是一一对应的。

（四）练习

S市植物园各主要景点位置如图所示。

以南门为原点，“西一东”方向直线为横轴，“南一北”方向直线为纵轴，一个小格的边长为单位长度，建立直角坐标系，分别写出东门及各景点的坐标。

。

（五）小结

引导学生总结本节的主要知识点。

1．请你先画一条数轴

2．请注明各部分的名称

3．请说出数轴有什么用途？

小结：

直线上的点和实数的一一对应关系可用数轴这个数字模型来描述，平面上的点和一对实数的一一对应关系可用平面直角坐标系这个数字模型来描述，下面讨论平面直角坐标系。

如果约定：

先说“西一东”方向的距离，再说“南一北”方向的距离，那么，以O处为参照点，点P（图书大厦）的位置可以记为（东3km，北2km），如图18—3所示。

如果我们把中山路看成一条数轴（向东的方向为正），把繁星大道看成另一条数轴（向北的方向为正），它们的交点O看成两条数轴的公共原点，以1km作为数轴的单位长度，那么点P的位置就可以用一对数（3，2）来表示。

探究的目的在于体验：

由点的位置写坐标；依坐标确定点的位置，进而有现实推广到一般，抽象出数学模型。

解：

这个七边形的各顶点的坐标分别为：

A（－3，1），B（－2，－1），C（2，－1），D（7，0），E（7，3），F（5，5），G（0，4）。

答案

东门（8，4）；喷泉（0，2）；百花坛（0，3）；盆景园（－3，5）；月季园（－1．5，9．5）；小瀑布（3，11）；热带植物园（5，8）

注：

务必使学生看清作垂线的过程并亲自实践，体验确定横纵坐标的方法，在操作中理解“横坐标”“纵坐标”的意义。

提醒学生注意垂足的位置及其对应的数值。

板书设计

平面直角坐标系

（一）

大家谈谈

一起探究

例题

练习

课题与教学内容

平面直角坐标系

课时安排

2课时

教学目标

知识技能

同上

过程方法

同上

情感态度

同上

教学重点

同上

教学难点

同上

教具准备

多媒体，或投影仪

教学方法

自主探究与传授相结合。

教学过程设计

预设教学路径

预计学生活动

备择方案

第二课时

（一）激发兴趣，多元导入

平面直角坐标系的画法和相关名称

1．画法（flash）

2．各部分的名称（flash）

（二）引领发现，感知质疑

平面内点和坐标的对应关系

平面内的点和坐标是一一对应的关系。

平面内任意一个点都有一对唯一的坐标与其相对应。

反之，每对坐标都有平面内一个唯一的点与其相对应。

1．怎样确定平面内点的坐标呢？

例：

已知平面内点A，求其坐标。

练习：

已知平面内点B，求其坐标。

图（3—1）

2．根据坐标确定点（这个问题请你自己完成）

例：

已知点C的坐标（2，2），求C点位置。

图（3—2）

例2在直角坐标系中：

（1）描出下列各点：

A（4，1），B（1，4），C（－1，4），D（－4，1），E（－4，－1），F（－1，－4），G（1，－4），H（4，－1）。

用线段依次连结各点，成为封闭多边形。

这个多边形是几边形?

（2）描出下列各点：

M（3，0），N（0，2），P（－3，0），Q（0，－2）。

用线段依次连结各点，成为封闭多边形。

这几边形?

（

（三）合作探究，展示交流

观察图18—8中的各点及其坐标，并概括：

（填“>”“<”或“＝”）

（1）如果点T（x，y）在第一象限，那么，x______0，y_____0。

如果点T（x，y）在第二象限，那么，x______0，y_____0。

如果点T（x，y）在第三象限，那么，x______0，y_____0。

如果点T（x，y）在第四象限，那么，x______0，y_____0。

（2）如果点T（x，y）在x轴上，那么，y_____0。

如果点T（x，y）在x轴上，那么，x______0。

例3在直角坐标系中，点A的坐标为（4，2）。

（1）描出点A关于y轴的对称点B，并写出点B的坐标。

（2）描出点A关于x轴的对称点D，并写出点D的坐标。

（3）描出点B关于x轴对称的点C，并写出点C的坐标。

（4）四边形ABCD是轴对称图形吗?

（四）做一做

画出一个直角坐标系，在坐标平面内描出下列各点，并把各点依次连结成封闭图形。

（1，－1），（3，－1），（3，1），（1，1），（1，3），（－l，3），（－l，1），（－3，1），（－3，－1），（－l，－1），（－l，－3），（1，－3）。

（1）观察所得图形，说说它像什么。

（2）它是轴对称图形吗?

如果是轴对称图形，画出它的对称轴。

（3）其中，哪些点关于纵轴对称，哪些点关于横轴对称?

（五）巩固训练，学以致用

观察图18—9中的点的位置关系和点的坐标，填空：

（1）如果坐标系中的两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）关于y轴对称，那么x1与x2的关系是______,y1与y2的关系是______。

（2）如果坐标系中的两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）关于x轴对称，那么x1与x2的关系是______,y1与y2的关系是______。

（六）综合练习

1．写出坐标平面内A、B、C、D四点的坐标

图（3-3）

2．在直角坐标系中，标出下列各点

A（4，3）B（-2，3）C（-4，-1）

D（2，-2）E（-1．5，3．5）

图（3—4）

3．指出下列各点所在的坐标轴或所在象限。

A（-2，3）B（1，-2）C（-1，-2）

D（3，2）E（-3，0）F（0，1）

（七）归纳凝练，思考升华

引导学生总结本节的主要知识点。

方法：

导用作垂线定坐标的方法。

（flash）

小结：

过点对轴作垂线。

垂线与轴有交点，交点实数值是坐标；过标（坐标）对轴作垂线。

两条垂线有交点，交点就是所求点。

解：

如图18—8。

1）多边形ABCDEFGH有8条边。

（2）多边形MNPQ是一个四边形。

解：

如图18—9。

（1）B（－4，2）。

（2）D（4，－2）。

（3）C（－4，－2）。

（4）四边形ABCD是轴对称图形，x轴和y轴都是它的对称轴。

答案

（1）x1与x2互为相反数，y1与y2相等。

（2）x1与x2相等，y1与y2互为相反数。

板书设计

平面直角坐标系

（二）

平面直角坐标系的画法和相关名称

平面内点和坐标的对应关系

观察与思考

做一做

练习

教学札记

首先学习数轴的有关知识。

因为数轴是建立平面直角坐标系的基础。

然后创设平面上的点可以用一对实数来确定真实的情境。

最后归纳出可以用一对有序实数来描述（确定）平面上的点，这对有序实数来源于在平面上建立的互相垂直的两条数轴—平面直角坐标系。

进一步学习平面直角坐标系的画法和相关部分的名称、如何确定点的坐标和如何有坐标确定点。

课题与教学内容

图形与坐标

课时安排

3课时

教学目标

知识技能

根据图形特点和问题的需要而能够灵活建立直角坐标系。

在同一直角坐标系中，感受坐标变化导致图形位置与形状的变化，并能找出变化规律。

通过探索图形上点的坐标变化与图形变换之间的关系，发展形象思维能力。

过程方法

经历有选择性地建立直角坐标系并表示图形上点的坐标的过程；

经历图形上点坐标的变化导致图形位置与形状变化的探索过程，通过实际操作，小组讨论得出在同一直角坐标系中图形变换与点的坐标变化之间的关系。

（多动手描点、连线、测量、体会点的位置变化与点的坐标的变化规律。

）

情感态度

进一步体会数形结合的思想；

通过归纳、总结变化规律，体会从特殊到一般的数学思想方法。

教学重点

有选择性地建立直角坐标系并表示图形上点的坐标；图形上点坐标变化与图形变化的关系。

教学难点

图形的伸缩变换与坐标变化之间的关系。

教具准备

多媒体，或投影仪

教学方法

合作探究、小组讨论

教学过程设计

预设教学路径

预计学生活动

备择方案

第一课时

（一）激发兴趣，多元导入

复习：

点的坐标。

（二）引领发现，感知质疑

把图形放在直角坐标系中，图形上的点就有了相应的坐标。

有一个边长为4的正方形。

建立适当的坐标系，写出这个正方形各顶点的坐标。

（三）合作探究，展示交流

1．小明、小亮分别建立了图18—10

（1）和图18—10

（2）的直角坐标系。

他们写出的正方形各顶点坐标相同吗？

2．他们建立的坐标系各有什么优点？

3．你还能用其他方法建立坐标系吗？

事实上，在图18—10

（1）中，正方形各顶点的坐标分别为A（0，4），B（0，0），C（4，0），D（4，4）。

在图18—10

（2）中，正方形各顶点的坐标分别为A（－2，2），B（－2，－2），C（2，－2），D（2，2）。

图18—10

（1）中的坐标系，使正方形三个顶点及两条边在坐标轴上且图形的其余部分都在第一象限；图18—10

（2）中的坐标系，使整个图形既关于x轴对称，又关于y轴对称。

（四）归纳凝练，思考升华

如图18-11，在等腰三角形ABC中，腰AB=AC=

，底边BC=4。

（1）请你在图18-11的网络图中建立适当的坐标系，并写出点A，B，C的坐标。

（五）巩固训练，学以致用

如图，四边形BCDE是一个边长为2的正方形，△ABC是等边三角形。

建立适当的坐标系，写出A，B，C，D，E各点的坐标。

（四）小结

引导学生总结本节的主要知识点。

（2）解释你选择这个坐标系的理由。

方法一：

以BC所在直线为x轴，以BC边上的高所在直线为y轴，A（0，6）；B（－2，0）；C（2，0），这样能充分体现△ABC是轴对称图形。

方法二：

以点B为原点，以BC所在直线为x轴，有A（2，6）；B（0，0）；C（4，0）这样可使△ABC在第一象限。

答案

方法一：

以CD所在直线为x轴，以CD的垂直平分线为y轴，有A（0，

）；B（－1，2）；C（－1，0），D（1，0），E（1，2）。

方法二：

以点C为原点，以CD所在直线为x轴，有A（1，

）；B（0，2）；C（0，0），D（2，0），E（2，2）。

注：

可先让学生尝试建立适当的直角坐标系，写出顶点坐标，然后与教科书给出的两种方法对比；最后在小组或全班交流选择坐标系的理由，增进对图形对称性质及其他性质的理解。

可见，应根据图形的特点及不同问题的需求，恰当建立坐标系，以方便各类问题的解决。

板书设计

图形与坐标

（一）

一起探究

做一做

练习

教学札记

第一课时主要学习了根据图形特点和问题的需要而能够灵活建立直角坐标系。

可先让学生尝试建立适当的直角坐标系，写出顶点坐标，然后与教科书给出的方法对比，最后在小组或全班交流选择坐标系的理由。

第二、三课时主要学习图形上点坐标变化与图形变化的关系，要学生多动手描点、连线、测量，小组讨论，体会点的位置变化与点的坐标的变化规律。

课题与教学内容

图形与坐标

课时安排

1课时

教学目标

知识技能

同上

过程方法

同上

情感态度

同上

教学重点

同上

教学难点

同上

教具准备

多媒体，或投影仪

教学方法

合作探究、小组讨论

教学过程设计

预设教学路径

预计学生活动

备择方案

第二课时

（一）合作探究，展示交流

如图18—12，在平面直角坐标系中，封闭图形ABCDE各顶点的坐标分别为A（0，0），B（2，2），C（3，1），D（4，3．5），E（7，0）。

1．如果各顶点的横坐标都加2，纵坐标不变，并把得到的顶点依次连结，那么所得封闭图形与原图形相比，位置有怎样的变化？

2．如果各顶点的横坐标不变，纵坐标都减3，并把得到的顶点依次连结，那么所得封闭图形与原图形相比，位置有怎样的变化？

3．如图18—13，如果图形A3B3C3D3E3与图形ABCDE关于x轴对称，那么这两个图形各对应顶点的坐标有什么关系？

（二）归纳凝练，思考升华

对于图18—12中的图形ABCDE，如果各顶点的横坐标变成它的相反数，纵坐标不变，把所得到的各点依次连结，那么所得新的图形与原图形相比，位置有怎样的变化？

请你先猜想出结论，再画图验证。

（三）巩固训练，学以致用

各三角形在直角坐标系中的位置如图所示。

请你分别指出△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3各顶点的坐标与△ABC各顶点坐标之间的关系。

（四）小结

引导学生总结本节的主要知识点。

学生探究

实际上，我们有下列结果：

1．横坐标加2后所得顶点的坐标分别为A1（2，0），B1（4，2），C1（5，1），D1（6，3．5），E1（9，0）。

依次连结各点得图形A1B1C1D1E1（图18—14）。

图形A1B1C1D1E1相当于图形ABCDE向右平移了2个单位长度后得到的。

2．纵坐标减3后所得顶点的坐标分别为A2（0，－3），B2（2，－1），C2（3，－2），D2（4，0．5），E2（7，－3）。

依次连结各点得图形A2B2C2D2E2（图18—15）。

图形A2B2C2D2E2相当于图形ABCDE向下平移了3个单位长度后得到的。

3．新顶点的坐标分别为A3（0，0），B3（2，－2），C3（3，－1），D3（4，－3．5），E3（7，0）。

图形A3B3C3D3E3与图形ABCDE对应顶点的横坐标相同，纵坐标互为相反数。

答案

△A1B1C1各顶点的纵坐标与△ABC相对应顶点的纵坐标相同，而横坐标比△ABC相对应顶点的横坐标增大了4个单位。

△A2B2C2各顶点的横坐标与△ABC相对应顶点的横坐标相同，而纵坐标比△ABC相对应顶点的纵坐标减小了4个单位。

△A3B3C3各顶点的横坐标与△ABC相对应顶点的横坐标相同，而纵坐标为其相反数。

注：

对于1，教师可示范并引导如何叙述，对于2，3则可以先让学生小组交流，练习叙述，最后在班内统一。

板书设计

图形与坐标

（二）

一起探究

做一做

练习

教学札记

第一课时主要学习了根据图形特点和问题的需要而能够灵活建立直角坐标系。

可先让学生尝试建立适当的直角坐标系，写出顶点坐标，然后与教科书给出的方法对比，最后在小组或全班交流选择坐标系的理由。

第二、三课时主要学习图形上点坐标变化与图形变化的关系，要学生多动手描点、连线、测量，小组讨论，体会点的位置变化与点的坐标的变化规律。

课题与教学内容

图形与坐标

课时安排

1课时

教学目标

知识技能

同上

过程方法

同上

情感态度

同上

教学重点

同上

教学难点

同上

教具准备

多媒体，或投影仪

教学方法

合作探究、小组讨论

教学过程设计

预设教学路径

预计学生活动

备择方案

第三课时

（一）合作探究，展示交流

如图18—16，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（－2，0），B（4，－2），C（6，0），D（4，2）。

1．如果各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘2，并把所得到的点依次连结，那么所得四边形与原四边形相比，形状有怎样的变化？

2．如果各顶点的横坐标都乘

，纵坐标不变，并把所得到的各点依次连结，那么新四边形与原四边形相比，形状有怎样的变化？

对于1，可以用橡皮筋演示当B，D的横坐标不变，而纵坐标变化为原来的2倍时，图形ABCD被纵向拉长的情景，使学生对图形变换的感受具体化；再进一步体会图中每点P（x，y）→P′（x，2y）时，对应的整个图形会横向不变，而纵向伸长为原来的2倍。

对于2，可以让学生尝试自己想象图形被压缩的变化。

（二）归纳凝练，思考升华