人教版初中八年级数学上册《角的平分线的性质》教案.docx

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人教版初中八年级数学上册《角的平分线的性质》教案

角的平分线的性质

第一课时

教学目标

1．通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理．

2．经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．

3．激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．

重、难点

1．重点：

领会角的平分线的两个互逆定理．

2．难点：

两个互逆定理的实际应用．

教具准备

投影仪、制作如课本图11．3─1的教具．

教学过程

一、创设情境，导入新课

【问题探究】（投影显示）

如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？

【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1）直观地进行讲述，提出探究的问题．

【学生活动】小组讨论后得出：

根据三角形全等条件“边边边”课本图11．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理．

【教师活动】

请同学们和老师一起完成下面的作图问题．

操作观察：

已知：

∠AOB．

求法：

∠AOB的平分线．

作法：

（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．

（2）分别以M、N为圆心，大于

MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求（课本图11．3─2）．

【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知．

【媒体使用】投影显示学生的“画图”．

【教学形式】小组合作交流．

二、随堂练习，巩固深化

课本P19练习．

【学生活动】动手画图，从中得到：

直线CD与直线AB是互相垂直的．

【探研时空】（投影显示）

如课本图12．3─3，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？

【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生．

【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB的平分线OC，第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离，这两个距离相等．”

论证如下：

已知：

OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E（课本图11．3─4）

求证：

PD=PE．

证明：

∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠PDO=∠PEO=90°

在△PDO和△PEO中，

∴△PDO≌△PEO（AAS）

∴PD=PE

【归纳如下】

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

【教学形式】师生互动，生生互动，合作交流．

三、情境合一，优化思维

【问题思索】（投影显示）

如课本图11．3─5，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：

20000）？

证明如下：

已知：

PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE．

求证：

点P在∠AOB的平分线上．

证明：

经过点P作射线OC．

∵PD⊥OA，PE⊥OB

∴∠PDO=∠PEO=90°

在Rt△PDO和Rt△PEO中，

∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）

∴∠AOC=∠BOC，

∴OC是∠AOB的平分线．

【教师活动】启发、引导学生；组织小组之间的交流、讨论；帮助“学困生”．

【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

【教学形式】自主、合作、交流，在教师的引导下，比较上述两个结论，弄清其条件和结论，加深认识．

四、范例点击，应用所学

【例】如课本图12．3─6，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：

点P到三边AB，BC，CA的距离相等．

【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．

【教师活动】操作投影仪，显示例子，分析例子，引导学生参与．

证明：

过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F．

∴BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．

∴PD=PE

同理PE=PF

∴PD=PE=PF

即点P到边AB、BC、CA的距离相等．

【评析】在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程．

【学生活动】参与教师分析，主动探究学习．

五、随堂练习，巩固深化

课本P22练习．

六、课堂总结，发展潜能

1．学生自行小结角平分线性质及其逆定理，和它们的区别．

2．说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题，说明这一点是三角形的内切圆的圆心（为以后学习设伏）．

七、布置作业，专题突破

1．课本P22习题11．3第1、2、3题．

2．选用课时作业设计．

第二课时

教学目标

1．知识与技能能应用角的平分线的性质定理解决一些实际的问题．

2．经历探索角的平分线性质的应用过程，领会几何分析的内涵，掌握综合法的表达思想．

3．激发学生的逻辑思维，在比较中获取知识，使学生感悟几何的简练思维．

重、难点

1．重点：

应用角的平分线性质定理．

2．难点：

应用“综合法”进行表达．

教具准备投影仪、幻灯片、直尺、圆规．

教学方法

一、回顾交流，练中反思

【概念复习】

【教学提问】同学们能否从集合的观点来说明角的平分线的性质．

【学生活动】在教师对“集合”的思想做初步讲解后，学生可以通过交流得出：

角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合．

【分层练习】（投影显示）

1．已知：

如图1，△ABC中，AD是角的平分线，BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，E、F是垂足，求证：

EB=FC．

【思路点拨】只要证明EB和FC分别所在的两个三角形全等（△EBD≌△FCD）．

【教师活动】操作投影仪，巡视，启发引导，适时提问．

【学生活动】小组合作学习，寻求解题思路，踊跃上台演示自己的证明．

证明：

∵AD是角的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF

在△EBD和△FCD中，

∴△EBD≌△FCD（HL）

∴EB=FC

【媒体使用】投影显示“分层练习1”和学生的练习．

【教学形式】小组合作（4人小组）交流，然后全班汇报，以练促思．

2．已知：

如图2，河的南区有一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥的距离为300米，在图上标出工厂的位置，并说明理由．

【思路点拨】画图略，根据角的平分线性质，工厂应在河流与公路交角的平分线上．

【教师活动】操作投影仪，提出问题，参与学生的思考和讨论．

【学生活动】分四人小组积极地讨论，得出结论，踊跃发表自己的看法．

【媒体使用】投影显示“分层练习2”．

【教学形式】合作学习，生生互动交流．

二、操作观察，辨析理解

首先按如下步骤进行操作：

（1）在一张纸上任意画一个角（角的边不要画得太短）∠AOB．

（2）剪下所画的角．

（3）折叠所画的角，使角的两边OA与OB重合，设折痕为Ox，如图3．

（4）在折叠形成的两层纸之间放入复写纸．

（5）在Ox上取一点P，并且过点P画OA的垂线．

（6）拿出复写纸，并且把折叠的纸展开观察展开后的图形，并进行思考，上面的操作反映了哪条规律？

是课本上一节课中的那个概念吗？

【教师活动】操作投影仪，巡视，参与学生的讨论，引导启发．

【学生活动】分四人小组合作学习，从操作中感悟知识和规律，得到结论：

反映规律是：

角的平分线上的点到角的两边距离相等．

【媒体使用】投影显示“操作思考”．

三、课堂演练，系统跃进

1．已知：

如图4，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE=BF．求证：

（1）AE=CF；（2）AB∥CD．

[提示]应用HL证Rt△ABC≌Rt△CED

2．已知：

如图5，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N，求证PM=PN．

[提示]∵∠ABD=∠CBD，AB=CB，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB，又PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．

四、课堂总结，发展潜能

由学生分四人小组进行学习反思，然后各小组汇报学习情况．

五、布置作业，专题突破

1．课本P51习题12．3第4、5题．