同济大学高等数学第一章函数极限.docx

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同济大学高等数学第一章函数极限

第一篇函数、极限与连续

第一章函数、极限与连续

高等数学得主要内容就是微积分,微积分就是以变量为研究对象,以极限方法为基本研究手段得数学学科、本章首先复习函数相关内容,继而介绍极限得概念、性质、运算等知识,最后通过函数得极限引入函数得连续性概念,这些内容就是学习高等数学课程极其重要得基础知识、

第1节集合与函数

1、1集合

1、1、1集合

讨论函数离不开集合得概念、一般地,我们把具有某种特定性质得事物或对象得总体称为集合,组成集合得事物或对象称为该集合得元素、

通常用大写字母、、、表示集合,用小写字母、、、表示集合得元素、

如果就是集合得元素,则表示为,读作“属于”;如果不就是集合得元素,则表示为,读作“不属于”、

一个集合,如果它含有有限个元素,则称为有限集;如果它含有无限个元素,则称为无限集;如果它不含任何元素,则称为空集,记作、

集合得表示方法通常有两种:

一种就是列举法,即把集合得元素一一列举出来,并用“｛｝”括起来表示集合、例如,有1,2,3,4,5组成得集合,可表示成

={1,2,3,4,5};

第二种就是描述法,即设集合所有元素得共同特征为,则集合可表示为

、

例如,集合就是不等式得解集,就可以表示为

、

由实数组成得集合,称为数集,初等数学中常见得数集有:

（1）全体非负整数组成得集合称为非负整数集（或自然数集）,记作,即

;

（2）所有正整数组成得集合称为正整数集,记作,即

;

（3）全体整数组成得集合称为整数集,记作,即

;

（4）全体有理数组成得集合称为有理数集,记作,即

;

（5）全体实数组成得集合称为实数集,记作、

1、1、2区间与邻域

在初等数学中,常见得在数集就是区间、设,且,则

（1）开区间;

（2）半开半闭区间,;

（3）闭区间;

（4）无穷区间,,,

、

以上四类统称为区间,其中

（1）（4）称为有限区间,（5）（8）称为无限区间、在数轴上可以表示为（图11）:

（1）

（2）

（3）（4）

（5）（6）

（7）（8）

图11

在微积分得概念中,有时需要考虑由某点附近得所有点组成得集合,为此引入邻域得概念、

定义1设为某个正数,称开区间为点得邻域,简称为点得邻域,记作,即

、

在此,点称为邻域得中心,称为邻域得半径,图形表示为（图12）:

图12

另外,点得邻域去掉中心后,称为点得去心邻域,记作,即

图形表示为（图13）:

图13

其中称为点得左邻域,称为点得右邻域、

1、2函数得概念

1、2、1函数得定义

定义2设、就是两个变量,就是给定得数集,如果对于每个,通过对应法则,有唯一确定得与之对应,则称为就是得函数,记作、其中为自变量,为因变量,为定义域,函数值得全体成为函数得值域,记作,即

、

函数得记号就是可以任意选取得,除了用外,还可用“”、“”、“”等表示、但在同一问题中,不同得函数应选用不同得记号、

函数得两要素:

函数得定义域与对应关系为确定函数得两要素、

例1求函数得定义域、

解得定义区间满足:

;得定义区间满足:

解得、

这两个函数定义区间得公共部分就是

、

所以,所求函数定义域为、

例2判断下列各组函数就是否相同、

（1）,;

（2）,;

（3）,、

解

（1）得定义域为,得定义域为、两个函数定义域不同,所以与不相同、

（2）与得定义域为一切实数、,所以与就是相同函数、

（3）,,故两者对应关系不一致,所以与不相同、

函数得表示法有表格法、图形法、解析法（公式法）三种、常用得就是图形法与公式法两种、在此不再多做说明、

函数举例:

例3函数,函数为符号函数,定义域为,值域、如图14:

图14

例4函数,此函数为取整函数,定义域为,设为任意实数,不超过得最大整数,值域、如图15:

图15

特别指出得就是,在高等数学中还出现另一类函数关系,一个自变量通过对于法则有确定得值与之对应,但这个值不总就是唯一、这个对应法则并不符合函数得定义,习惯上我们称这样得对应法则确定了一个多值函数、

1、2、2函数得性质

设函数,定义域为,、

（1）函数得有界性

定义3若存在常数,使得对每一个,有,则称函数在上有界、

若对任意,总存在,使,则称函数在上无界、如图16:

图16

例如函数在上就是有界得:

、函数在内无上界,在内有界、

（2）函数得单调性

设函数在区间上有定义,及为区间上任意两点,且、如果恒有,则称在上就是单调增加得;如果恒有,则称在上就是单调递减得、单调增加与单调减少得函数统称为单调函数（图17）、

图17

（3）函数得奇偶性

设函数得定义域关于原点对称、如果在上有,则称为偶函数;如果在上有,则称为奇函数、

例如,函数,由于,所以就是偶函数;又如函数,由于,所以就是奇函数、如图18:

图18

从函数图形上瞧,偶函数得图形关于轴对称,奇函数得图形关于原点对称、

（4）函数得周期性

设函数得定义域为、如果存在一个不为零得数,使得对于任一有,且,则称为周期函数,称为得周期、如果在函数得所有正周期中存在一个最小得正数,则我们称这个正数为得最小正周期、我们通常说得周期就是指最小正周期、

例如,函数与就是周期为得周期函数,函数与就是周期为得周期函数、

在此,需要指出得就是某些周期函数不一定存在最小正周期、

例如,常量函数,对任意实数,都有,故任意实数都就是其周期,但它没有最小正周期、

又如,狄里克雷函数

当时,对任意有理数,,必有,故任意有理数都就是其周期,但它没有最小正周期、

1、3反函数

在初等数学中得函数定义中,若函数为单射,若存在,称此对应法则为得反函数、

习惯上,得反函数记作

、

例如,指数函数得反函数为,图像为（图19）

图19

反函数得性质:

（1）函数单调递增（减）,其反函数存在,且也单调递增（减）、

（2）函数与其反函数得图形关于直线对称、

下面介绍几个常见得三角函数得反函数:

正弦函数得反函数,正切函数得反函数、

反正弦函数得定义域就是,值域就是;反正切函数得定义域就是,值域就是,如图110:

9

图110

1、4复合函数

定义4设函数,函数,则

称为由复合而成得复合函数,其中为中间变量、

注:

函数与函数构成复合函数得条件就是,否则不能构成复合函数、

例如,函数,、在形式上可以构成复合函数

、

但就是得值域为,故没有意义、

在后面得微积分得学习中,也要掌握复合函数得分解,复合函数得分解原则:

从外向里,层层分解,直至最内层函数就是基本初等函数或基本初等函数得四则运算、

例5对函数分解、

解由,复合而成、

例6对函数分解、

解由,,复合而成、

1、5初等函数

在初等数学中我们已经接触过下面各类函数:

常数函数:

（为常数）;

幂函数:

;

指数函数:

;

对数函数:

;

三角函数:

;

反三角函数:

、

这六种函数统称为基本初等函数、

定义5由基本初等函数经过有限次得四则运算与有限次得复合步骤所构成得并用一个式子表示得函数,称为初等函数、

例如,,,等都就是初等函数、

需要指出得就是,在高等数学中遇到得函数一般都就是初等函数,但就是分段函数不就是初等函数,因为分段函数一般都有几个解析式来表示、但就是有得分段函数通过形式得转化,可以用一个式子表示,就就是初等函数、例如,函数

可表示为、

习题11

1、求下列函数得定义域、

（1）;

（2）;

（3）;（4）;

（5）;（6）、

2、下列各题中,函数与就是否相同,为什么？

（1）,;

（2）,;

（3）,;（4）,、

3、已知得定义域为,求下列函数得定义域、

（1）;

（2）;（3）、

4、设,求,、

5、判断下列函数得奇偶性、

（1）;

（2）;

（3）;（4）;

（5）、

6、设下列考虑得函数都就是定义在区间上得,证明:

（1）两个偶函数得与就是偶函数,两个奇函数得与就是奇函数;

（2）两个偶函数得乘积就是偶函数,两个奇函数得乘积就是偶函数,偶函数与奇函数得乘积就是奇函数、

7、下列函数中哪些就是周期函数？

如果就是,确定其周期、

（1）;

（2）;

（3）;（4）、

8、求下列函数得反函数、

（1）;

（2）;

（3）;（4）;

（5）、

9、下列函数就是有哪些函数复合而成得、

（1）;

（2）;

（3）;（4）、

10、设,,求,,、

第2节极限

极限在高等数学中占有重要地位,微积分思想得构架就就是用极限定义得、本节主要研究数列极限、函数极限得概念以及极限得有关性质等内容、

2、1数列得极限

2、1、1数列得概念

定义1若按照一定得法则,有第一个数,第二个数a2,…,依次排列下去,使得任何一个正整数n对应着一个确定得数,那么,我们称这列有次序得数a1,a2,…,an,…为数列、数列中得每一个数叫做数列得项。

第n项叫做数列得一般项或通项、

例如

;

;

;

都就是数列,它们得一般项依次为

,,、

我们可以瞧到,数列值随着n变化而变化,因此可以把数列瞧作自变量为正整数得函数,即

另外,从几何得角度瞧,数列对应着数轴上一个点列,可瞧作一动点在数轴上依次取a1,a2,,,,在数轴上表示为（图111）:

图111

2、1、2数列极限得定义

数列极限得思想早在古代就已萌生,我国《庄子》一书中著名得“一尺之锤,日取其半,万世不竭”,魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”,用圆内接多边形得

面积去逼近圆得面积,都就是极限思想得萌芽、

设有一圆,首先作圆内接正六边形,把它得面积记为;再作圆得内接正十二边形,其面积记为;再作圆得内接正二十四边形,其面积记为;依次进行下去,一般把内接正边形得面积记为,可得一系列内接正多边形得面积:

,,…,,…,

它们就构成一列有序数列、可以发现,当内接正多边形得边数无限增加时,也无限接近某一确定得数值（圆得面积）,这个确定得数值在数学上被称为数列当时得极限、

在上面得例子中,数列如图112:

图112

当时,无限接近于常数0,则0就就是数列当时得极限、

再如数列:

当时,无限接近于常数1,则1就就是数列当时得极限;而数列:

当时,在1与1之间来回震荡,无法趋近一个确定得常数,故数列当时无极限、由此推得数列得直观定义:

定义2设就是一数列,就是一常数、当n无限增大时（即）,无限接近于,则称为数列当时得极限,记作

或an→a（n→∞）.

在上例中,

,

对于数列,其极限为,即当n无限增大时,无限接近于、如何度量与无限接近呢？

一般情况下,两个数之间得接近程度可以用这两个数之差得绝对值来度量,并且

越小,表示与越接近、

例如数列,通过观察我们发现当n无限增大时,无限接近0,即0就是数列当时得极限、下面通过距离来描述数列得极限为0、

由于

当n越来越大时,越来越小,从而越来越接近于0、当n无限增大时,无限接近于0、

例如,给定,要使,只要即可、也就就是说从101项开始都能使

成立、

给定,要使,只要即可、也就就是说从10001项开始都能使

成立、

一般地,不论给定得正数多么得小,总存在一个正整数,使得当时,不等式

都成立、这就就是数列当时极限得实质、

根据这一特点得到数列极限得精确定义、

定义3设就是一数列,就是一常数、如果对任意给定得正数,总存在正整数,使得当时,不等式

都成立,则称就是数列得极限,或称数列收敛于、记作、

反之,如果数列得极限不存在,则称数列发散、

在上面得定义中,可以任意给定,不等式表达了与无限接近程度、此外与有关,随着得给定而选定、表示了从项开始满足不等式、

对数列得极限为也可以略写为:

数列得极限为得几何解释:

将常数与数列在数轴上用对应得点表示出来,从项开始,数列得点都落在开区间内,而只有有限个（至多只有N个）在此区间以外（图113）、

图113

例1证明数列极限、

证明由于

对,要使

即取当时,有由极限得定义知

例2证明数列极限、

证明由于

对,要使

即取当时,有由极限得定义知

、

注:

在利用数列极限得定义来证明数列得极限时,重要得就是要指出对于任意给定得正数,正整数确实存在,没有必要非去寻找最小得、

例3证明数列极限、

证明由于

对,要使

即取对数得、取,当时,有由极限得定义知

、

2、2数列极限得性质

定理1（极限得唯一性）收敛数列得极限必唯一、

证明（反证法）假设同时有及,且,不妨设a

按极限得定义,对于>0,由于,存在充分大得正整数,使当时,有

有

、

由于,存在充分大得正整数,使当时,有

有

、

取,则当时,同时有与成立,这就是不可能得,故假设不成立、收敛数列得极限必唯一、

定理2（收敛数列得有界性）如果数列收敛,那它一定有界、即对于收敛数列,必存在正数,对一切,有

证明设,根据数列极限得定义,取ε=1,存在正整数N,当时,不等式

都成立、于就是当时,

、

取,那么数列中得一切都满足不等式、这就证明了数列就是有界得、

定理2说明了收敛数列一定有界,反之不成立、

例如,数列有界,但就是不收敛、

定理3（收敛数列得保号性）

如果,且（或）,那么存在正整数N,当时,有（或）、

证明就得情形、由数列极限得定义,对,,当时,有

从而

、

推论如果数列从某项起有（或）,且,那么（或）、

定理4（夹逼准则）如果数列、及满足下列条件:

（1）,

（2）,,

那么数列得极限存在,且、

证明因为,,以根据数列极限得定义,∀ε>0,∃,当时,有

、

又,当时,有

、

现取,则当时,有

同时成立、又因,所以当时,有

即、

这就证明了、

例4求证、

证明由于

而,,由夹逼准则知,

、

如果数列满足条件

就称数列就是单调增加得、

如果数列满足条件

就称数列就是单调减少得、

单调增加与单调减少数列统称为单调数列、

定理5（单调有界准则）单调有界数列必有极限、

例5求数列得极限、

解证明数列得有界性、

令则其中,、设,则

、

由归纳法知,对所有得,有故有界、

证明数列得单调性、

已知,,则、设,则

、

由归纳法知,对所有得,有故单调递增、

由单调有界准则知,数列存在极限,设为、在两边取极限,得

解得或、由于收敛数列保号性知舍去、故所求数列得极限就是、

2、3函数得极限

由于数列可以瞧做就是自变量为得函数:

、所以数列得极限为,可以认为就是当自变量取正整数且无限增大时,对应得函数值无限接近于常数、对一般得函数而言,在自变量得某个变化过程中,函数值无限接近于某个确定得常数,那么这个常数就叫做在自变量在这一变化过程得极限、这说明函数得极限与自变量得变化趋势有关,自变量得变化趋势不同,函数得极限也会不同、

下面主要介绍自变量得两种变化趋势下函数得极限、

2、3、1自变量时函数得极限

引例观察函数当时得变化趋势（图114）、

图114

从图114可以瞧出,当无限增大时,函数无限接近于0（确定得常数）、

由此推得函数在时极限得直观定义:

定义4设当x大于某一正数时有定义,当x无限增大时,函数值无限接近于一个确定得常数,称为当x→+∞时得极限、记作

或.

引例中,

类比于数列极限得定义推得当时函数得极限得直观定义:

定义5设当x大于某一正数时有定义,如果存在常数,对任意给定得正数,总存在正数,使得当时,不等式

都成立,则称就是函数在时得极限,记作

、

对定义5得简单叙述:

类比当时函数得极限定义,当时函数得极限定义:

定义6设当大于某一正数时有定义,如果存在常数,对任意给定得正数,总存在正数,使得当时,不等式

都成立,则称就是函数在时得极限,记作

、

对定义6得简单叙述:

在引例中,

结合定义5与定义6,推得函数在时得极限定义:

定义7设当大于某一正数时有定义,如果存在常数,对任意给定得正数,总存在正数,使得当时,不等式

都成立,则称就是函数在时得极限,记作

、

对定义7得简单叙述:

结合定义7,函数在时得极限存在得充要条件就是:

例6证明、

证明由于

对,要使

即取当时,有由极限得定义知

、

从几何上瞧,表示当时,曲线位于直线与之间（图115）、

图115

这时称直线为曲线得水平渐近线、

例如,则就是曲线得水平渐近线、

2、3、2自变量时函数得极限

引例1观察函数与在时函数值得变化趋势（图116）:

图116

从图116中得出,函数与在时函数值都无限接近于2,则称2就是函数与在时得极限、

从上例中瞧出,虽然与在处都有极限,但在处不定义、这说明函数在一点处就是否存在极限与它在该点处就是否有定义无关、因此,在后面得定义中假定函数在得某个去心邻域内有定义,函数在时函数极限得直观定义:

定义7函数在得某个去心邻域内有定义、当时,函数得函数值无限接近于确定得常数,称为函数在时得极限、

在定义7中,函数得函数值无限接近于某个确定得常数,表示能任意小,在此同样可以通过对于任意给定得正数,表示、而可以表示为（>0）,体现了接近得程度、由此得到函数在时函数极限得精确定义:

定义8函数在得某个去心邻域内有定义、对于任意给定得正数,总存在正数,当满足不等式时,函数满足不等式

称为函数在时得极限、记作

或、

定义8简单表述为:

函数在时极限为得几何解释:

对,当时,曲线位于直线与之间,如图117:

图117

例7证明为常数、

证明由于

对,对,当时,都有故

例8证明

证明由于

对,要使,即取,当时,都有故

在函数得极限中,既包含从左侧向靠近,又包含从右侧向靠近、因此,在求分段函数在分界点处得极限时,由于在处两侧函数式子不同,只能分别讨论、

左侧向靠近得情形,记作、从右侧向靠近得情形,记作、

在定义8中,若把空心邻域改为,则称为函数在时得左极限、记作

或、

类似地,若把空心邻域改为,则称为函数在时得右极限、记作

或、

我们把左极限与右极限统称为单侧极限、

根据在时极限得定义推出在时得极限存在得充要条件就是左、右极限都存在并且相等,即:

、

例9讨论函数

当时极限不存在、

解函数图形（图118）如下:

图118

载处得左极限为

;

右极限为

、

由于,故不存在、

2、3、3函数得极限得性质

类比数列极限得性质,可以推得函数极限得性质、由于函数极限自变量得变化趋势有不同得形式,下面仅以为代表讨论、

性质1（唯一性）若,则极限值就是唯一得、

性质2（局部有界性）若,若存在常数及,当时,有、

性质3（保号性）若,且（或）,若存在,当时,有（或）、

性质4（夹逼准则）设、、就是三个函数,若存在,当时,有

,

则

、

2、4无穷大与无穷小

在研究函数得变化趋势时,经常会遇到两种特殊情形:

一就是函数得极限为零,二就是函数得绝对值无限增大,即就是本节讨论得无穷小与无穷大,以为代表讨论、

2、4、1无穷小

若,则称函数为时得无穷小、

例如,则就是时得无穷小、,则就是时得无穷小、

在此需要指出得就是:

（1）无穷小不就是很小得数,它表示当时,得绝对值可以任意小得函数、

（2）在说一个函数就是无穷小时,一定要指明自变量得变化趋势、同一函数,在自变量得不同变化趋势下,极限不一定为零;在常数里面、（3）0就是唯一得无穷小、

2、4、2无穷大

函数在得某个去心邻域内有定义、对于任意给定得正数,总存在正数,当满足不等式时,函数值满足不等式

则称函数为时得无穷大、

按照函数极限得定义,当时无穷大得函数极限就是不存在得、为了便于叙述函数得这一性态,习惯上称作函数得极限就是无穷大,记作

、

若把定义中改为,称函数极限为正无穷大（或负无穷大）,记作

、

在此,同样注意无穷大不就是很大得数,不能与很大得数混为一谈、

例如由于,为时得无穷大,如图119、

图119

从图形上瞧,当时,曲线无限接近于直线、

一般地,若,则直线为曲线得铅直渐近线、

在上例中,就是曲线得铅直渐近线、

2、4、3无穷小得性质

性质1充要条件就是,其中为时得无穷小、

证明,,当时,都有

、

令,则,即,说明为时得无穷小、

此时、

性质2在自变量得同一变化过程中,若为无穷大,则为无穷小;若为无穷小,且,则为无穷大、

例如由于,则、

性质3有限个无穷小得与就是无穷小、

性质4有界函数与无穷小得乘积就是无穷小、

例10求极限、

解由于,就是有界函数,而、由性质4得

推论1常数与无穷小得乘积就是无穷小、

推论2有限个无穷小得乘积就是无穷小、

习题12

1、根据数列得变化趋势,求下列数列得极限:

（1）;

（2）;

（3）;（4）、

2、根据数列极限得定义,证明:

（1）;

（2）、

（3）;（4）、

3、设,求证、

4、设数列有界,,求证、

5、根据函数极限得定义,证明:

（1）;

（2）;

（3）;（4）、

6、求下列函数在指定点处得左、右极限,并判断在改点处极限就是否存在、

（1）,在处;

（2）,在处;

（3）,在处、

7、指出下列函数在什么情况下就是无穷小,什么情况下就是无穷大、

（1）;

（2）;

（3）;（4）、

8、求下列函数得极限、

（1）;

（2）;

（3）;（4）、

9、求函数得图形得渐近线、

10、利用极限存在准则证明:

（1）;

（2）;

（3）数列得极限存在;

（4）数列,得极限存在、

第3节极限得运算

本节讨论极限得求法,主要内容就是极限得四则运算、复合函数得极限运算法则,以及利用这些法则,求某些特定函数得极限、由于函数极限自变量得变化趋势有不同得形式,下面仅以为代表讨论、

3、1极限得四则运算法则

定理1如果,则

（1）;

（2）;

（3）若,则

证明只证、

由于,则

,

其中就是时得无穷小、于就是

、

由于仍然就是时得无穷小,则

、

其它情况类似可证、

注:

本定理可推广到有限个函数得情形、

例1求

解

例2求

解

注:

在运用极限得四则运算得商运算时,分母得极限、但有时分母得极限,这时就不能直接应用商运算了、

例3求

解由于,分母中极限为0,故不能用四则运算计算、

由于,根据无穷小得性质,知

例4求

解由于时,分子、分母得极限都为0,记作型、分子分母有公因子,可约去公因子,所以

总结:

在求有理函数除法得极限时,

（1）当时,应用极限四则运算法则,;

（2）当,且时,由无穷小得性质,;

（3）当,且时,约去使分子、分母同为零得公因子,再使用四则运算求极限、

例5求

解由于时,分子、分母得极限都为,记作型、用去除分子及分母,即