公因数和公倍数应用题答案.docx

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公因数和公倍数应用题答案

例1．媛媛、妈妈和爸爸在学校的圆形塑胶跑道晨练，媛媛每圈要5分钟，妈妈每圈4分钟，爸爸每圈3分钟．开始同时跑，至少要经过多少分钟他们三人才跑在一齐？

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

由于他们跑一周所用时间各不相同，则爸爸妈妈和小明同时起跑，第一次在起点三人同时相遇所用时间应是三人各跑一周所用时间的最小公倍数，可以通过求5、4、3的最小公倍数的方法求出他们三人才跑在一齐的时间．

解答：

解：

他们跑一周所用时间各不相同，则爸爸妈妈和小明同时起跑，第一次在起点三人同时相遇所用时间应是三人各跑一周所用时间的最小公倍数，

5、3、4的最小公倍数是5×3×4=60，

即至少要经过60分钟他们三人才跑在一齐．

点评：

此题考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力．

例2．在一张长25厘米、宽20厘米的长方形纸上画尽可能大的正方形，要求充分利用纸，不能有剩余，且每个正方形要同样大．你能画多少个？

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

在一张长25厘米、宽20厘米的长方形纸上画同样大小3面积尽可能大的正方形，纸没剩余，则只要求出25和20的最大公因数，就是正方形的边长，然后用总面积除以正方形面积，即可得解．

解答：

解：

25=5×5

20=2×2×5

所以25和20的最大公因数是5，即面积尽可能大的正方形的边长是5厘米；

（25×20）÷（5×5）

=（25÷5）×（20÷5）

=5×4

=20（个）；

答：

能画20个．

点评：

灵活应用最大公因数的求解来解决实际问题．本题关键是运用求最大公因数的方法，求出最大正方形的边长的长度．

例3．园林处需要60﹣70人帮忙植树，附近某中学组织一批学生参加这次植树活动，到现场分组时，发现每2人一组，或每3人一组，或每5人一组均多一人，参加这次植树活动的学生有　61　人．

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

明确要求的问题即：

60和70之间的比2、3、5的公倍数多1的数，先求出2、3、5的公倍数，然后加上1，进而找出符合题意的即可．

解答：

解：

2、3、5的公倍数有：

30、60、90、…，

所以60和70之间的比2、3、5的公倍数多1的数是：

60+1=61，

即：

参加这次植树活动的学生有61人；

故答案为：

61．

点评：

明确要求的问题即：

60和70之间的比2、3、5的公倍数多1的数，是解答此题的关键．

例4．　甲、乙、丙三个班的同学去公园划船，甲班49人，乙班56人，丙班63人，把各班同学分别分成小组，乘坐若干条小船，使每条船上人数相等，最少需要　7　条船．

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

首先求得49、56、63的最大公约数（7），即是所求的船数，每一个数对应除以7相加得和，也就是每一条船应当上的人数，由此解决问题．

解答：

解：

49、56、63的最大公约数是7，也就是船数；

每一条船上的人数：

49÷7+56÷7+63÷7，

=7+8+9，

=24（人）．

答：

最少要有7条船；

故答案为：

7．

点评：

解决此题的关键是求几个数的最大公约数，进一步结合实际理解为船数即可解决问题．

演练方阵

A档（巩固专练）

一．选择题（共15小题）

1．有两根长分别是40分米和90分米的木条，现在要把它们锯成同样长的小段（每段长度的分米数都是整数，而且不能有剩余），两根木条共能锯成（　　）段．

A．

B．

C．

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

先分别把40、90分解质因数，求出它们的最大公因数，就是每段的长度，再用40和90的和除以每段的长度求出一共锯成的段数．

解答：

解：

40=2×2×2×5

90=2×3×3×5

40和90的最大公因数为2×5=10

（40+90）÷10

=13（段）

答：

两根木条共能锯成13段．

故选：

C．

点评：

此题主要考查两个数的最大公因数的求法，并用此解决实际问题．

2．有2007盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着，拉一下拉线开关灯会灭掉，再拉一下灯由灭变亮，现按其顺序将灯编号为1，2，…，2007，然后将编号为2的倍数的灯线都拉一下，再将编号为3的倍数的灯线都拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线都拉一下，三次拉完后亮着的灯有多少盏（　　）

A．

998

B．

535

C．

1003

D．

1004

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

由于有2007盏亮着的电灯，现按其顺序编号为l，2，…，2007，那么编号为2的倍数的灯有[（﹣1）÷2]只，编号为3的倍数的灯有（÷3）只，编号为5的倍数的灯的有[（﹣2）÷5]只，利用这些数据即可求出3次拉完后亮着的灯数．拉1次和3次的灯熄灭，拉2次和没有拉的灯仍然亮着．

解答：

解：

∵有2007盏亮着的电灯，现按其顺序编号为l，2，…，2007，

∴编号为2的倍数的灯有（﹣1）÷2=1003只，

编号为3的倍数的灯有2007÷3=669只，

编号为5的倍数的灯的有（﹣2）÷5=401只，

其中既是3的倍数也是5的倍数有（﹣12）÷15=133，

既是2的倍数也是3的倍数有（﹣3）÷6=334，

既是2的倍数也是5的倍数有（﹣7）÷10=200，

既是2的倍数也是5的倍数，还是3的倍数有（﹣27）÷30=66，

只拉1次的：

1003﹣334﹣200+66=535，669﹣334﹣133+66=268，401﹣200﹣133+66=134，

拉3次的66，

所以亮的就是2007﹣535﹣268﹣134﹣66=1004只．

故选D．

点评：

此题主要考查了最小公倍数的应用，解题时根据数的整除性首先分别求出2、3、5的倍数的个数，然后列出6，15，10，30的倍数的个数，然后利用容斥关系即可解决问题．

3．一间教室长9米，宽7.2米，计划在地面上铺方砖，选边长（　　）的方砖能使地面都是整块方砖．

A．

5分米

B．

6分米

C．

1米

D．

无法确定

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

先换算单位长9米=90分米，宽7.2米=72分米，再找到90，72的公约数即可作出选择．

解答：

解：

9米=90分米，宽7.2米=72分米，

90=2×3×3×5，

72=2×2×2×3×3

故选项中只有6是90，72的公约数．

故选：

B．

点评：

考查了图形的密铺，同时是对求两个数的公约数的考查．注意单位换算．

4．装修一间长4米，宽3.2米的房间，要铺正方形砖，选用边长为（　　）厘米的砖损耗会较小．

A．

B．

C．

D．

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

把4米和3.2米化成以分米为单位即分别是40分米及32分米，然后求出40与32的最小公倍数，这样基本上不需要切割方砖，损耗会较小．

解答：

解：

4米=40分米，3.2米=32分米

40=2×2×2×5

32=2×2×2×2×2

最小公倍数是2×2×2=8

8分米=80厘米

答：

选用边长为80厘米的砖损耗会较小．

故选：

D．

点评：

本题关键是理解：

选择的方砖的边长就是4米和3.2米的最小公倍数，这样损耗的小．

5．一张长16厘米，宽14厘米的长方形纸，要分成大小相等的小正方形，且没有剩余．最小可以分成（　　）

A．

56个

B．

112个

C．

16个

D．

14个

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

要把一张长16厘米，宽14厘米米的长方形纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸没剩余，则只要求出16和14的最大公因数，就是正方形的边长，然后用总面积除以正方形面积，即可得解．

解答：

解：

16=2×2×2×2，

14=2×7，

所以16和14的最大公因数是2，即面积尽可能大的正方形的边长是2厘米；

（16×14）÷（2×2）

=（16÷2）×（14÷2）

=8×7

=56（个）

答：

最小可以分成56个．

故选：

A．

点评：

这道题的关键就是求16与14的最大公因数，也就是求出正方形的边长，进而解决问题．

6．有一篮子鸡蛋，8个人来分，或者10个人来分，都正好分完，这筐鸡蛋至少有（　　）

A．

30个

B．

60个

C．

40个

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

即求出8和10的最小公倍数，先把8和10进行分解质因数，这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积是这两个数的最小公倍数；据此进行解答即可．

解答：

解：

8=2×2×2，

10=2×5，

所以8和10的最小公倍数是2×2×2×5=40，

即这筐鸡蛋至少有40个．

故选：

C．

点评：

此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：

两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．

7．把一袋苹果平均分给8个小朋友或10个小朋友都正好分完，这袋苹果最少有（　　）个．

A．

B．

C．

D．

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

由题意可知，这袋苹果的数量一定是8、10的公倍数，先求出8、10的最小公倍数，由于数量最少，最小公倍数就是这袋苹果的最少个数，由此得解．

解答：

解：

8=2×2×2，

10=2×5，

8和10的最小公倍数是2×2×2×5=40，

答：

这袋苹果最少有40个．

故选：

B．

点评：

解答此题的关键是先求出8和10的最小公倍数，进行解答即可．

8．一个单位集合，每排4人、5人、或者7人，最后一排都只有2人，这个单位最少有（　　）人．

A．

112

B．

122

C．

132

D．

142

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

由每排4人、5人或7人，最后一排都只有2人可知：

这个单位总人数减去2人就是4、5、7的公倍数，求至少有多少人，即求出4、5、7的最小公倍数加2即可解答．

解答：

解：

4=2×2；

所以4、5、7的最小公倍数是：

2×2×5×7=140；

即这个单位总人数为：

140+2=142（人）

故选：

D．

点评：

解答本题的关键是把问题转化为求最小公倍数的问题．

9．一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有剩余，这筐苹果至少应有（　　）

A．

120个

B．

60个

C．

30个

D．

90个

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有余数，说明这框苹果是2、3、4、5的倍数，因为4是2的倍数，只要是3、4、5的倍数就一定也是2的倍数，所以只要求出3、4、5的最小公倍数，即可得解．

解答：

解：

3、4、5两两互质，所以3、4、5的最小公倍数是3×4×5=60（个），

答：

一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有余数，这筐苹果最少应有60个．

故选：

B．

点评：

灵活运用求几个数的最小公倍数的方法来解决实际问题．

10．五

（2）班同学不到50人，在一次大扫除活动中，其中的

打扫包干区，

的同学打扫教室，五

（2）班有（　　）人．

A．

B．

C．

D．

无法知道

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

和

都是最简形式，所以这个班的人数是6和7的最小公倍数的倍数，6和7的最小公倍数是42，而且这个班的人数不到50人，所以这个班只能是42人．

解答：

解：

根据题干分析可得：

这个班的人数是6和7的最小公倍数的倍数，6和7的最小公倍数是42，而且这个班的人数不到50人，所以这个班只能是42人．

答：

五（3）班共有42人．

故选：

C．

点评：

本题考查了公倍数应用题．解答此题的关键是明确这个班的总人数必定是6、7的公倍数．

11．六一儿童节，王老师买了29个苹果和33块巧克力平均奖励给参加表演的同学，结果苹果多2个，巧克力少3块，那么参加表演的同学有（　　）人．

A．

B．

C．

D．

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

根据题意，苹果多2个，巧克力少3块，也就是说把苹果个数减去2个，巧克力加上3块，正好分完．也就是求27和36的最大公约数．

解答：

解：

29﹣2=27（个），33+3=36（个）；

27=3×3×3，

36=3×3×4，

27和36的最大公约数是3×3=9．

因此参加表演的同学有9人．

答：

参加表演的同学有9人．

故选：

B．

点评：

此题解答的关键在于条件转化，通过分解质因数，求出两个数的最大公约数，解决问题．

12．盒子里有若干个鸡蛋，每次取4个和6个，都剩下1个，这盒鸡蛋至少有（　　）个．

A．

B．

C．

D．

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

根据题意，先求出4和6的最小公倍数，然后加上1即可．

解答：

解：

4=2×2，6=2×3

4和6的最小公倍数是2×2×3=12

因此这盒鸡蛋至少有12+1=13（个）

答：

这盒鸡蛋至少有13个．

故选：

C．

点评：

此题解答的关键在于求出4和6的最小公倍数，然后加上剩余的数量，解决问题．

13．甲每3天去少年宫一次，乙每4天去一次，丙每6天去一次，如果6月1日甲、乙、丙同时去少年宫，则下次同去少年宫应是（　　）

A．

6月12日

B．

6月13日

C．

6月24日

D．

6月25日

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

根据题意，是求3、4、6的最小公倍数，就是求4、6的最小公倍数，首先把这两个数分解质因数，它们的公有质因数和各自独有质因数的乘积就是它们的最小公倍数，然后进行推算日期即可．

解答：

解：

把4、6分解质因数：

4=2×2；

6=2×3；

4、6的最小公倍数是：

2×2×3=12；

他们再过12天同去少年宫；

1+12=13（日），即6月13日．

故选：

B．

点评：

此题属于求最小公倍数问题，求3个数的最小公倍数，利用分解质因数的方法，它们的公有质因数和各自独有质因数的乘积就是它们的最小公倍数．

14．花店里有菊花51枝，百合花25枝，如果用7枝菊花、4枝百合花扎成一束，这些花最多可以扎成（　　）束这样的花束．

A．

B．

C．

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

（1）根据题干，7枝菊花扎成一束，要求可以扎几束菊花，根据除法的意义，只要求出51里面有多少个7，即可解答；

（2）4枝百合扎成一束，要求最多扎几束，根据除法的意义，只要求出25里面最多有几个4，即可解答；

根据上面

（1）

（2）求出的结果，取二个答案的最小值，即可解答．

解答：

解：

51÷7=7（束）…2（朵），

25÷4=6（束）…1（朵），

答：

这些花最多可以扎成6束这样的花束．

故选：

B．

点评：

完成本题要注意，由于剩下的2朵菊花、1朵百合花都不能扎成一束花了，所以只能扎6束．

15．一张长30厘米，宽18厘米的长方形纸，要分成大小相等的小正方形，且没有剩余．最少可分成（　　）

A．

12个

B．

15个

C．

9个

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

要想使分成的小正方形个数最少，那么要使小正方形的边长最大，由此只要求得小正方形的边长最大是多少，也就是求得30和18的最大公因数是多少，由此即可求出小正方形的最大边长，进而求得分得的小正方形的个数．

解答：

解：

30和18的最大公因数是6，所以小正方形的边长为6厘米，

（18÷6）×（30÷6），

=3×5，

=15（个），

故选：

B．

点评：

根据题干得出，当小正方形边长最长时分得的小正方形个数最少，最长边长就是这两个数的最大公因数，这是解决本题的关键．

二．填空题（共9小题）

16．小华、小明和小芳都去参加游泳训练．小华每4天去一次，小明每6天去一次，小芳每8天去一次．7月10日三人都去参加了游泳训练，下一次一起参加训练是　8　月　3　日．

考点：

公因数和公倍数应用题；日期和时间的推算．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

因为4，6，8的最小公倍数是24，所以下一次就是24天后一起去的，据此解决即可．

解答：

解：

因为4，6，8的最小公倍数是24，

7月份有31天，7月10日一起去的，本月还有21天，24天后就是8月3日．

所以下次一起去参加训练是：

8月3日．

故答案为：

8，3．

点评：

本题考查最小公倍数问题，注意最小公倍数的找法．

17．一次考试，参加的学生中有

得优，

得良，

得中，其余全部不及格，参加考试的同学有八十多名，得优的同学有　14　名．

考点：

公因数和公倍数应用题．

分析：

根据“参加的学生中

得优，

得良，

得中”，因为人数必须是整数，所以确定参加考试的学生人数一定得是6、3和7的倍数，再根据“参加考试的同学有八十多名”，可确定这三个数的最小公倍数符合题意，再求出得优人数占的分率，进而求出得优的具体人数即可．

解答：

解：

因为6、3和7的最小公倍数是42，

参加考试的同学有八十多名，

所以参加考试的学生人数是42×2=84，

得优的学生人数：

84×

=14（名）；

答：

得优的同学有14名．

故答案为：

14．

点评：

解决此题关键是根据人数必须是整数，把实际问题转化成是求三个分数分母的最小公倍数，从而问题得解．

18．一篮小球，3个3个的数，余2个，4个4个数，余3个，5个5个数，余4个，这篮小球最少是有　59　个．

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

“3个3个的数，余2个，4个4个数，余3个，5个5个数，余4个余数相同”，可以看做“3个3个的数，差1个，4个4个数，差1个，5个5个数，差1个”只要求出3、4和5的最小公倍数，然后再减去1，即可得解．

解答：

解：

3、4、5互质，

所以3、4、5的最小公倍数是3×4×5=60，

60﹣1=59（个），

答：

这篮小球最少是有59个；

故答案为：

59．

点评：

灵活应用同余定理和求几个数的最小公倍数的方法来解决实际问题．

19．一间长35分米宽28分米的客房地面要铺正方形地砖，需选边长为　7　分米的方砖才能既整洁又节约．

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

要使方砖才能既整洁又节约，那么就要没有剩余，也就是方砖的边长应是房间长和宽的最大公因数，由此求解即可．

解答：

解：

35=5×7

28=2×2×7

35和28的最大公因数是7

所以需选边长为7分米的方砖才能既整洁又节约．

故答案为：

7．

点评：

解决本题关键是正确的求出长方形房间长和宽的最大公因数．

20．笑笑有一些书，分别平均分给5人、6人、7人后，都剩下4本，这些书至少有　214　本．

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

已知这摞书分别平均分给5人、6人、7人后，都剩下3本，求这摞书的最小数量，可以求5、6、7的最小公倍数，然后再加上4，即可得解．

解答：

解：

因为5、6、7互质，它们的最小公倍数是：

5×6×7=210，

210+4=214（本）；

答：

这摞书至少有214本．

故答案为：

214．

点评：

余数相等，求出最小公倍数，再加上余数，即可求出总数．即为同余问题．

21．有一包糖果数量在100～150之间，无论是分给8个人，还是分给10个人，都能正好分完，这包糖果有　120　块．

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

糖果数量在100～150之间，即求100～150之间8、10两个数的公倍数，由此解答即可．

解答：

解：

8=2×2×2

10=2×5

所以8和10的最小公倍数是2×2×5=40；

40×2=80

40×3=120

答：

糖果数量在100～150之间，这包糖果有120块，

故答案为：

120．

点评：

此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：

两个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．

22．有一堆糖块，在80～100块之间，不论分给8个人还是10个人，都多7块．这堆糖有　87　块．

考点：

公因数和公倍数应用题．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

根据题意可知，从这堆糖的块数就是8和10的公倍数加7，所以先求出8和10的最小公倍数，再根据“在80～100块之间”来确定数值．

解答：

解：

8=2×2×2

10=2×5

2×2×2×5=40

40×2+7=87（块）

答：

这堆糖有87块．

故答案为：

87．

点评：

此题主要考查两个数的最小公倍数的求法及其应用，注意根据实际情况解决实际问题．

23．小王和小张经常去图书馆看书，小王每隔6天去一次，小张每隔8天去一次．5月1日两人同时在图书馆，　5月25日　他们在图书馆再次相遇．

考点：

公因数和公倍数应用题；日期和时间的推算．

专题：

约数倍数应用题．

分析：

由题意可知：

要求下一次都到图书馆是几月几日，先求出6和8的最小公倍，因为6和8的最小公倍数是24，即5月1日再经24天两人都到图书馆，此题可解．

解答：

解：

6=2×3，8=2×2×2，

6与8的最小公倍数是2×2×3=24，即再经24天两人都到图书馆，

5月1日+24日=5月25日；

答：

5月25日他们在图书馆再次相遇．

故答案为：

5月25日．

点评：

此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法

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