幂函数的图像性质和应用.docx
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幂函数的图像性质和应用
.
幂函数
分数指数幂
m
正分数指数幂的意义是：
nm
ana（a0，m、nN，且n1）
负分数指数幂的意义是：
a
m
n
1
nm
a
（a0，m、nN，且n1）
1、幂函数的图像与性质
幂函数
n
yx随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质
和图像分类记忆的方法．熟练掌握
列表如下．
从中可以归纳出以下结论：
n
yx，当
11
n2,1,,,3的图像和性质，
23
①它们都过点1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函
数图像都不过第四象限．
②
11
a,,1,2,3时，幂函数图像过原点且在0,上是增函数．
32
③
1
a,1,2时，幂函数图像不过原点且在0,上是减函数．
2
④任何两个幂函数最多有三个公共点．
n
yx奇函数偶函数非奇非偶函数
yyy
n1
OxOxOx
yyy
0n1
OxOxOx
.
.
yyy
n0
OxOx
Ox
幂函数基本性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且
图象都过点（1，1）；
（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在
[0，+∞]上，是增函数
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上
是减函数.
规律总结
1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数
幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进
行讨论；
2．对于幂函数y＝x，我们首先应该分析函
数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即＜0，0＜＜1和＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意
＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口
诀来记忆：
“正抛负双，大竖小横”，即＞0（≠1）时图象是抛物线型；＜
0时图象是双曲线型；＞1时图象是竖直抛物线型；0＜＜1时图象是横卧抛
物线型．
2、幂函数的应用
n
例1、幂函数
yx（m、nN，且m、n互质）的图象在第一，二象限，且
m
不经过原点，则有（）
m
（A）m、n为奇数且1
n
y
m
（B）m为偶数，n为奇数，且1
n
m
（C）m为偶数，n为奇数，且1
n
x
m
（D）m奇数，n为偶数，且1
n
O
例2、右图为幂函数yx在第一象限的图像，则
ya
yxa,b,c,d的大小关系是（）
b
yx
.
c
yx
O
x
.
（A）abcd（B）badc
（C）abdc（D）adcb
解：
取
1
x，
2
由图像可知：
cdba
1111
2222
，
abdc，应选（C）．
例3、比较下列各组数的大小：
11333
（1）
3
1.5，
1.7，1；
（2）
3
7
2，
7
3，
7
5；
2
2
（3）
2
2
3
，
10
7
3
，
4
1.1．
3
解：
（1）底数不同，指数相同的数比大小，
可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题．
1
∵
yx在0,上单调递增，且1.71.51，
3
11
33
∴1.71.51．
33
（2）底数均为负数，可以将其转化为
77
22，
3333
77
33，
77
55．
3
∵
7
yx在0,上单调递增，且532，
333333
∴
777
532，即
777
532，
333
∴
777
532．
（3）先将指数统一，底数化成正数．
22
22
33
22
22
，
1010
33
77
，
42
1.11.21．
33
2
yx在0,上单调递减，且
3
72
102
∵1.21，
2
2
72
3
102
32
1.21
3
∴，
.
.
2
2
72
3
102
34
1.1
3
即：
．
点评：
比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：
（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；
（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作
为桥梁来比较大小．
例4、若
11
a132a，求实数a的取值范围．
33
11
分析：
若
33
xy，
则有三种情况x0y，yx0或0yx．
解：
根据幂函数的性质，
a10
32a0
或
a10
32a0
a132a
或
a10
32a0
a132a
有三种可能：
，
解得：
23
a,1,．
32
例3．已知幂函数
223
mm
yx（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于
原点对称，求m的值．
解：
∵幂函数
223
mm
yx（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，
∴
2230
mm，∴1m3；
∵mZ，∴
2
（m2m3）Z，又函数图象关于原点对称，
∴
223
mm是奇数，∴m0或m2．
例4、设函数f（x）＝x
3
，
（1）求它的反函数；
（2）分别求出f
－1（x）＝f（x），f－1（x）＞f（x），f－1（x）＜f（x）的
实数x的范围．
3
解析：
（1）由y＝x两边同时开三次方得x＝3y，∴f
1
－1
（x）＝x3
．
（2）∵函数f（x）＝x3和f
3和f
1
－1（x）＝x3
的图象都经过点（0，0）和（1，1）．
∴f
－1（x）＝f（x）时，x＝±1及0；
在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知
－1
f（x）＞f（x）时，x＜－1或0＜x＜1；
.
.
f
－1（x）＜f（x）时，x＞1或－1＜x＜0．
点评：
本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或
方程则较为麻烦．
21
例5、求函数y＝x5＋2x5＋4（x≥－32）值域．
1
解析：
设t＝x5，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t
当t＝－1时，ymin＝3．
min＝3．
2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．
21
∴函数y＝x5＋2x5＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）．
点评：
这是复合函数求值域的问题，应用换元法．
【同步练习】
1.6下列函数中不是幂函数的是（）
Ａ．yxＢ．yx3Ｃ．y2xＤ．yx1
答案：
Ｃ
1.7下列函数在,0上为减函数的是（）
1
Ａ．
yx3Ｂ．
2
yxＣ．
3
yxＤ．
yx
2
答案：
Ｂ
1.8下列幂函数中定义域为xx0的是（）
2323
Ａ．
yxＢ．
3
yxＣ．
2
yxＤ．
3
yx
2
答案：
Ｄ
4．函数y＝（x2－2x）
2－2x）
1
2
－
的定义域是（）
A．{x|x≠0或x≠2}B．（－∞，0）（2，＋∞）C．（－∞，0）］［2，
＋∞］D．（0，2）
解析：
函数可化为根式形式，即可得定义域．
答案：
B
1
5．函数y＝（1－x2）2
2）2
的值域是（）
A．［0，＋∞］B．（0，1）C．（0，1）D．［0，1］
解析：
这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t＝1－x
2，则y＝t．
∵－1≤x≤1，∴0≤t≤1，∴0≤y≤1．
答案：
D
2
6．函数y＝5
x的单调递减区间为（）
A．（－∞，1）B．（－∞，0）C．［0，＋∞］D．（－
∞，＋∞）
2
解析：
函数y＝5
x是偶函数，且在［0，＋∞）上单调递增，由对称性可知选
.
.
B．
答案：
B
1
7．若a2
1
－
＜a2
，则a的取值范围是（）
A．a≥1B．a＞0C．1＞a＞0D．1≥a≥0
解析：
运用指数函数的性质，选C．
答案：
C
8．函数y＝
（15＋2x－x的定义域是。
2）3
2）3
解析：
由（15＋2x－x2）
2）
答案：
A
3≥0．∴15＋2x－x＜20．∴－3≤x≤5．
9．函数y＝
1
2
2－－m
m
x
在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是________．
解析：
m的取值应该使函数为偶函数．故m＝－1．
答案：
m＝－1
2
10、讨论函数y＝5
x的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．
2
思路：
函数y＝5
x是幂函数．
2
（1）要使y＝5
x＝
5x2有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R．
（2）∵xR，∴x
2≥0．∴y≥0．
（3）f（－x）＝5
2
（－x）＝
5x2＝f（x），
2
∴函数y＝5
x是偶函数；
（4）∵n＝
2
5
＞0，
2
∴幂函数y＝5
x在［0，＋］上单调递增．
2
由于幂函数y＝5
x是偶函数，
2
∴幂函数y＝5
x在（－，0）上单调递减．
（5）其图象如下图所示．
12．已知函数y＝
415－2x－x2．
（1）求函数的定义域、值域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）求函数的单调区间．
解析：
这是复合函数问题，利用换元法令t＝15－2x－x
2，则y＝4t，
.
.
（1）由15－2x－x
2≥0得函数的定义域为［－5，3］，
2［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．
∴t＝16－（x－1）
（2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函
数也不是偶函数．
（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x＝1，
∴x［－5，1］时，t随x的增大而增大；x（1，3）时，t随x的增大
而减小．
又∵函数y＝4t在t［0，16］时，y随t的增大而增大，
∴函数y＝415－2x－x2的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3］．
答案：
（1）定义域为［－5，3］，值域为［0，2］；
（2）函数即不是奇函数，也不是偶函数；
（3）（1，3］．
.
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