第一章特殊平行四边形教学案.docx

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第一章特殊平行四边形教学案

第1章特殊平行四边形

1菱形的性质与判定

（1）

【教学目标】

1.理解菱形的概念，了解它与平行四边形的关系。

2.经历菱形性质定理的探索过程，进一步发展合情推理能力。

3.能运用菱形的性质解决与菱形有关的问题。

【教学重难点】

重点：

掌握菱形的性质。

难点：

运用菱形的性质解决与菱形有关的问题。

【教学过程】

一、回顾复习

1.平行四边形的定义。

2.平行四边形的性质。

3.平行四边形的判定。

二、新课讲授

1.出示生活中菱形的例子，引出这类特殊的平行四边形——菱形，并得出菱形的定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2.组织学生活动，通过折菱形纸片，得出以下结论：

（1）菱形是轴对称图形；

（2）菱形的四条边相等；

（3）菱形的对角线互相垂直。

3.证明这些结论。

已知：

如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O。

求证：

（1）AB=BC=BC=AD；

（2）AC⊥BD。

证明：

由此可以得到菱形的两条性质定理：

菱形的四条边相等。

菱形的对角线互相平分。

4.总结菱形所有的性质：

边：

菱形的四条边相等；

角：

菱形的对角相等，领角互补；

对角线：

菱形的对角线互相垂直且平分。

对称性：

菱形是轴对称图形（两条对称轴是对角线所在的直线）

菱形也是中心对称图形（对称中心是两条对角线的交点）

5.范例学习（P3）

例1如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，

∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。

6、随堂练习，巩固新知

1）已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.

2）菱形ABCD中∠BAD＝60°，则∠ABD＝_______.

3）菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（）

4）菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长。

5）“P4随堂练习”

1菱形的性质与判定

（2）

【教学目标】

1.经历菱形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力。

2.掌握菱形的判定定理及其证明，并能利用定理解决有关问题。

【教学重难点】

重点：

菱形的判断定理的掌握。

难点：

菱形的判定定理的综合运用。

【教学过程】

一、回顾与复习

1.菱形的定义：

2.菱形的性质：

二、新课讲授

1.思考

（1）：

如果有一个平行四边形，它的的一组邻边相等，那么根据菱形的定义，我们可以判定这个就是菱形。

除此之外，还能找出什么条件可以判断一个平行四边形是菱形呢？

猜想1：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

已知：

如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD。

求证：

四边形ABCD是菱形。

证明：

2.得出结论：

判定定理1对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3.思考

（2）：

除了运用对角线，还有其他判定菱形的方法吗？

猜想2：

四边相等的四边形是菱形。

已知：

如图，在四边形ABCD中，AB=BC=BC=AD.

求证：

四边形ABCD是菱形。

证明：

4.得出结论：

判定定理2四边相等的四边形是菱形。

总结分析：

三种判定方法是证明菱形的基础定理，条件对比

（1）平行四边形+一组邻边相等；

（2）平行四边形+对角线互相垂直；（3）四条边相等。

三条定理条件的共同特点：

与角无关，即用角无法判定菱形。

5、范例学习（P6）

例2如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=

，OA=2,OB=1.

求证：

□ABCD是菱形。

证明：

三、随堂练习

1.用两个边长为

的等边三角形纸片拼成的四边形是（）

Ａ.等腰梯形Ｂ.正方形Ｃ.矩形Ｄ.菱形

2.下列说法中正确的是（）

Ａ、有两边相等的平行四边形是菱形

Ｂ、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形

Ｃ、两条对角线相等且互相平分的四边形是菱形

Ｄ、四个角相等的四边形是菱形

3.画一个菱形，使它的两条对角线的长分别为4㎝和6㎝。

1菱形的性质与判定（3）

【教学目标】

1.巩固对菱形的性质定理与判定定理的理解；

2.在解决问题的过程中认识菱形性质定理与判定定理的区别，正确应用有关定理。

【教学重难点】

重点：

菱形面积计算方法的推导。

难点：

综合运用菱形的性质定理与判定定理解决菱形的相关题型。

【教学过程】

一、回顾与复习

1.菱形的定义：

2.菱形的性质：

3.菱形的判定：

2、新课讲授

1.范例学习（P8）

例3如图，四边形ABCD是边长为13㎝的菱形，其对角线BD长10㎝。

求：

（1）对角线AC的长；

（2）菱形ABCD的面积。

2.菱形的面积公式

探究一：

菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积吗？

公式为：

探究二：

计算菱形的面积除了上面的方法外，能利用对角线来计算菱形的面积？

如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则

菱形的面积=底×高=两条对角线长的乘积的一半

3.P8做一做

如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？

为什么？

3、随堂练习

1、判断下列说法是否正确？

为什么？

（1）对角线互相垂直的四边形是菱形；（）

（2）对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（）

（3）对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；（）

2、如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB，CF⊥AD，则CECF，BEBF。

3、已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（）

A、163B、16C、83D、8

4、菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）

A．2B.

C．1D．0.5

5．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）

A．3：

1B．4：

1C．5：

1D．6：

1

4．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）

A．15B．

C．7.5D．

5．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________㎝²．

6.如图，□ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，BD=6。

求证：

四边形ABCD是菱形。

2矩形的性质与判定

（1）

【教学目标】

1.了解矩形的概念，了解它与平行四边形的关系。

2.理解并掌握矩形的有关性质，能运用矩形的性质解决有关问题。

【教学重难点】

重点：

掌握矩形的性质。

难点：

运用矩形的性质解决与矩形有关的问题。

【教学过程】

一、回顾与复习

1.平行四边形的性质：

2.菱形的定义与性质：

二、新课讲授

1.矩形的定义

出示生活中矩形的例子，引出这类特殊的平行四边形——矩形，并得出矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形的定义有两个条件：

一是平行四边形，二是有一个角是直角。

矩形的定义既是矩形的性质定理也是矩形的判定定理。

2.矩形的性质

矩形的性质可以从哪些方面分析？

（类比菱形的性质）

边：

矩形的对边平行且相等；

角：

矩形的四个角都是直角；

对角线：

矩形的对角线相等并且互相平分；

对称性：

矩形是轴对称图形（对称轴是过对边中点的两条直线）；矩形也是中心对称图形（对称中心是两条对角线的交点）。

3.证明矩形的性质

已知：

如右图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O。

求证：

（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠ABC=90°；

（2）AC=BD。

证明：

4.证明直角三角形的性质（P9议一议）

矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？

它与AC有什么大小关系？

由此你能得到怎样的结论？

定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

已知：

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线。

求证：

BO=

AC。

证明：

5.范例学习（P13）

例3如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，

∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长。

3、随堂练习

1.在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，已知AB=6，BC=8，则AC=，BD=，矩形ABCD的周长是，面积是。

2.矩形的短边长为3㎝，两对角线所成的钝角是120°，则它的对角线长是。

3.（P13随堂练习）

2矩形的性质与判定

（2）

【教学目标】

1.理解并掌握矩形的判定方法。

2.能应用矩形定义、性质、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力。

【教学重难点】

重点：

矩形的判定定理

难点：

矩形的判定与性质的综合应用。

【教学过程】

一、回顾与复习

1.矩形的定义：

2.矩形的性质：

3.矩形性质与菱形性质的相同之处，不同之处：

二、新课讲授

1.矩形的判定定理

（1）判定四边形是矩形的方法是什么？

可以用定义，除了定义之外，还有其他的方法吗？

P14做一做

猜想一：

对角线相等的平行四边形是矩形。

已知：

如图，在□ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，AC=BD。

求证：

□ABCD是矩形。

证明：

定理1对角线相等的平行四边形是矩形。

（2）我们知道，矩形的四个角都是直角。

反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？

定理2有三个角是直角的四边形是矩形。

总结矩形的判定方法：

有一个角是直角的平行四边形是矩形。

对角线相等的平行四边形是矩形。

有三个角是直角的四边形是矩形。

2.P15议一议

1）如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是平行四边形呢？

2）如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是菱形呢？

3）如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是矩形呢？

3.范例学习（P15）

例2如图，在□ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积。

三、随堂练习

1.下列各句判定矩形的说法是否正确？

为什么？

（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（×）

（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（√）（3）四个角都相等的四边形是矩形；（√）

（4）对角线相等的四边形是矩形；（×）

（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（×）

2.如图，EF是矩形ABCD的对角线的交点O且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（）

A

B.

C.

D.

3.已知：

如图，在□ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC。

求证：

四边形ABCD是矩形。

2矩形的性质与判定（3）

【教学目标】

1.巩固对矩形的性质定理与判定定理的理解；

2.在解决问题的过程中认识矩形性质定理与判定定理的区别，正确应用有关定理。

【教学重难点】

重点：

矩形判定定理的应用。

难点：

综合运用矩形的性质定理与判定定理解决矩形的相关题型。

【教学过程】

1、回顾与复习

1.矩形是特殊的平行四边形，它具有哪些性质？

分别是从哪几个方面阐述的？

2.判定四边形是矩形的方法是什么？

可用定义：

有一个角是直角的平行四边形是矩形。

判定定理：

（1）对角线相等的平行四边形是矩形。

（2）有三个角是直角的四边形是矩形。

二、新课讲授

1.（P16例3）主要是加深学生对矩形性质定理的应用的认识

例3如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE。

求AE的长。

2.（P17例4）主要是加深学生对矩形判定定理的应用的认识

例4已知：

如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E。

求证：

四边形ADCE是矩形。

3.（P18想一想）

在例4中，连接DE，交AC于点F，如右图，

（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论。

（2）线段DF与AB有怎样的关系？

请证明你的结论。

3、随堂练习

1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A.对角线相等B.对角相等C.对边相等D.对角线互相平分

2.若矩形的对角线长为4㎝，一条边长为2㎝，则此矩形的面积为（）

A.

㎝²B.

㎝²C.

㎝²D.

㎝²

3.矩形ABCD的周长为56，对角线AC，BD交于点O，△ABO与

△BCO的周长差为4，则AB的长为。

4.如图所示，在矩形ABCD中，点E在DC上，AE=2BC，求∠CBE的度数。

5.（P18知识技能第三题）

3正方形的性质与判定

（1）

【教学目标】

1.理解正方形的概念，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系。

2.探索并证明正方形的性质定理，进一步发展推理能力。

【教学重难点】

重点：

理解正方形的定义和性质。

难点：

选择适当的方法解决有关正方形的问题。

【教学过程】

一、情景引入

小时候都做过风车吧？

在准备材料的时候我们往往会先折一张正方形的纸片，大家再来做一做用一张长方形的纸片折出一个正方形．

在这过程中感知正方形与矩形的关系。

结合菱形和矩形的定义想一想什么样的四边形是正方形？

定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

其定义包括了两层意义：

⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形）；⑵有一个角是直角的平行四边形（矩形）

所以说正方形既是菱形又是矩形。

所以也可这样定义正方形：

有一个角是直角的菱形是正方形。

有一组邻边相等的矩形是正方形。

2、新课讲授

1.正方形的性质

正方形的性质1：

正方形的四个角都是直角，四条边相等。

正方形的性质2：

正方形的对角线相等且互相垂直平分。

2.P20想一想

正方形有几条对称轴？

正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是两条对角线所在的直线和过每一组对边中点的直线。

正方形也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

3.范例学习（P21例1）

例1如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF。

BE与DF之间有怎样的关系？

请说明理由。

4、P21议一议

平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？

你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？

与同伴交流

3、随堂练习

1.P21随堂练习1,2

2.已知：

如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE=BF。

求证∠AFE=∠AEF。

3正方形的性质与判定

（2）

【教学目标】

1.知道正方形的判定条件，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算。

2.探索并证明正方形的判定定理，进一步发展推理能力。

【教学重难点】

重点：

掌握正方形的判定条件。

难点：

合理地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算。

【教学过程】

1、回顾复习

1.平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系：

可以形象地知道正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形。

1、怎样判断一个四边形是矩形？

2、怎样判断一个四边形是菱形？

3、怎样判断一个四边形是平行四边形？

4、怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？

那么怎样判断一个四边形是矩形？

2、讲授新课

1.正方形的判定条件

判定一个四边形是正方形的基本方法：

（1）直接用正方形的定义平行四边形+一个直角+一组邻边相等。

（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，即可。

（3）先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，即可。

正方形判定定理：

定理1有一组邻边相等的矩形是正方形。

定理2对角线互相垂直的矩形是正方形。

定理3有一个角是直角的菱形是正方形。

定理4对角线相等的菱形是正方形。

2、范例学习（P23例2）

例2已知：

如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。

求证：

四边形BECF是正方形。

3.P23做一做

任意一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形？

先猜一猜，再证明。

4、P23议一议中点四边形的问题

新中点四边形的形状与原四边形的的两条对角线有关。

以菱形各边的中点为顶点可以组成矩形；

以矩形各边的中点为顶点可以组成菱形；

以平行四边形各边的中点为顶点可以组成平行四边形；

当原四边形的两条对角线互相垂直时，新四边形是矩形；

当原四边形的两条对角线相等时，新四边形是菱形；

当原四边形的两条对角线相等且互相垂直时，新四边形是正方形。

3、随堂练习

1.判断下列命题是真命题还是假命题？

并说明理由。

（1）四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；

（2）四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；

（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；

（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；

（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。

2.如图，分别延长等腰直角△OAB的两条直角边AO和BO，使AO=CO，BO=DO。

求证：

四边形ABCD是正方形。

3.矩形ABCD中，四个内角的平分线组成四边形EMFN，判断四边形EMFN的形状，并说明理由。