第四课时正弦定理余弦定理二.docx

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第四课时正弦定理余弦定理二

第四课时正弦定理、余弦定理

（二）

教学目标：

熟练掌握正、余弦定理应用，进一步熟悉三角函数公式和三角形中的有关性质，综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题；通过正、余弦定理在解三角形问题时沟通了三角函数与三角形有关性质的功能，反映了事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化.

教学重点：

正、余弦定理的综合运用.

教学难点：

1.正、余弦定理与三角形性质的结合；

2.三角函数公式变形与正、余弦定理的联系.

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

上一节课，我们一起研究了正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用，这一节，我们将综合正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质来求解三角形问题.首先，我们一起回顾正、余弦定理的内容.

Ⅱ.讲授新课

［例1］在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长.

分析：

由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系.其中sin2α利用正弦二倍角展开后出现了cosα，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的.

解：

设三角形的三边长分别为x，x＋1，x＋2，其中x∈N*，又设最小角为α，则

＝＝，∴cosα＝①

又由余弦定理可得

x2＝（x＋1）2＋（x＋2）2－2（x＋1）（x＋2）cosα②

将①代入②整理得x2－3x－4＝0

解之得x1＝4，x2＝－1（舍）

所以此三角形三边长为4，5，6.

评述：

（1）此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的

方程；

（2）在求解过程中，用到了正弦二倍角公式，由此，要向学生强调三角公式的工具性作用，以引起学生对三角公式的重视.

［例2］如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝3cm，角平分线AD＝2cm，求此三角形面积.

分析：

由于题设条件中已知两边长，故而联想面积公式S△ABC＝AB·AC·sinA，需求出sinA，而△ABC面积可以转化为S△ADC＋S△ADB，而S△ADC＝AC·ADsin，S△ADB＝AB·AD·sin，因此通过S△ABC＝S△ADC＋S△ADB建立关于含有sinA，sin的方程，而sinA＝2sincos，sin2＋cos2＝1，故sinA可求，从而三角形面积可求.

解：

在△ABC中，S△ABC＝S△ADB＋S△ADC，

∴AB·ACsinA＝·AC·AD·sin＋·AB·ADsin

∴·4·3sinA＝·3·2sin，∴6sinA＝7sin

∴12sincos＝7sin

∵sin≠0，∴cos＝，又0＜A＜π，∴0＜＜

∴sin＝＝，

∴sinA＝2sincos＝，

∴S△ABC＝·4·3sinA＝（cm2）.

评述：

面积等式的建立是求sinA的突破口，而sinA的求解则离不开对三角公式的熟悉.由此启发学生在重视三角形性质运用的同时，要熟练应用三角函数的公式.另外，在应用同角的平方关系sin2α＋cos2α＝1时，应对角所在范围讨论后再进行正负的取舍.

［例3］已知三角形的一个角为60°，面积为10cm2，周长为20cm，求此三角形的各边长.

分析：

此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦，其二可用面积公式S△ABC＝absinC表示面积，其三是周长条件应用.

解：

设三角形的三边长分别为a、b、c，B＝60°，则依题意得

∴

由①式得b2＝［20－（a＋c）］2＝400＋a2＋c2＋2ac－40（a＋c）④

将②代入④得400＋3ac－40（a＋c）＝0

再将③代入得a＋c＝13

由，解得或

∴b1＝7，b2＝7

所以，此三角形三边长分别为5cm，7cm，8cm.

评述：

（1）在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用；

（2）由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力.

［例4］在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长.

分析：

此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为x后，建立关于x的方程.而正弦定理涉及到两个角，故不可用.此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程.

解：

设BC边为x，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝，

在△ADB中，cosADB＝＝

在△ADC中，cosADC＝＝

又∠ADB＋∠ADC＝180°

∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC.

∴＝－

解得，x＝2

所以，BC边长为2.

评述：

此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型.

另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：

由三角形内角平分线性质可得＝＝，设BD＝5k，DC＝3k，则由互补角∠ADC、∠ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA.

为巩固本节所学的解题方法，下面我们进行课堂练习.

Ⅲ.课堂练习

1.半径为1的圆内接三角形的面积为0.25，求此三角形三边长的乘积.

解：

设△ABC三边为a，b，c.

则S△ABC＝acsinB

∴＝＝

又＝2R，其中R为三角形外接圆半径

∴＝

∴abc＝4RS△ABC＝4×1×0.25＝1

所以三角形三边长的乘积为1.

评述：

由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：

＝＝＝2R，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式S△ABC＝acsinB发生联系，对abc进行整体求解.

2.在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB.

解：

在△ADC中，

cosC＝＝＝，

又0＜C＜180°，∴sinC＝

在△ABC中，＝

∴AB＝AC＝··7＝.

评述：

此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用.

3.在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，求cosC的值.

解：

∵cosA＝＜＝cos45°，0＜A＜π

∴45°＜A＜90°，∴sinA＝

∵sinB＝＜＝sin30°，0＜B＜π

∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°

若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符.

∴0°＜B＜30°cosB＝

∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝·－·＝

又C＝180°－（A＋B）.

∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－.

评述：

此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较.

Ⅳ.课时小结

通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力.

Ⅴ.课后作业

1．在三角形中，三边长为连续自然数，且最大角是钝角，那么这个三角形的三边长分别为.

答案：

2，3，4

2．已知方程a（1－x2）＋2bx＋c（1＋x2）＝0没有实数根，如果a、b、c是△ABC的三条边的长，求证△ABC是钝角三角形.

备课资料

1.正、余弦定理的综合运用

余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得

sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA.

这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，下面举例说

明之.

［例1］在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，求B的度数.

解：

由定理得

sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB

∴－2sinAsinCcosB＝sinAsinC

∵sinAsinC≠0，∴cosB＝－

∴B＝150°

［例2］求sin210°＋cos240°＋sin10°·cos40°的值.

解：

原式＝sin210°＋sin250°＋sin10°·sin50°

在sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA中，

令B＝10°，C＝50°，则A＝120°.

sin2120°＝sin210°＋sin250°－2sin10°sin50°·cos120°

＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°＝（）2＝.

［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状.

解：

在原等式两边同乘以sinA得2cosBsinAsinC＝sin2A，

由定理得sin2A＋sin2C－sin2B＝sin2A，

∴sin2C＝sin2B∴B＝C

故△ABC是等腰三角形.

2.一题多证

［例4］在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：

△ABC为等腰三角形.

证法一：

欲证△ABC为等腰三角形.可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数.由正弦定理得a＝

∴2bcosC＝，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC.

∴sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin（B－C）＝0，∴B－C＝nπ（n∈Z）.

∵B、C是三角形的内角，

∴B＝C，即三角形为等腰三角形.

证法二：

根据射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，

又∵a＝2bcosC∴2bcosC＝bcosC＋ccosB

∴bcosC＝ccosB，即＝.

又∵＝.∴＝，即tanB＝tanC

∵B、C在△ABC中，∴B＝C

∴△ABC为等腰三角形.

证法三：

∵cosC＝及cosC＝，

∴＝，化简后得b2＝c2.∴b＝c

∴△ABC是等腰三角形.

3.参考例题

［例1］在△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状.

解：

由已知＝及正弦定理得＝

∴sin2A=sin2B

∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，

故△ABC为等腰三角形或直角三角形.

［例2］已知△ABC的三个内角A、B、C依次成等差数列，又三边a、b、c依次成等比数列，求证：

该三角形为正三角形.

证法一：

∵A、B、C成等差数列，则2B＝A＋C，

又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，∴B＝60°，

再由a、b、c成等比数列，可得b2＝ac，

因此用余弦定理

b2＝a2＋c2－2accosB，∴ac＝a2＋c2－2ac·，

即（a－c）2＝0，∴a＝c，A＝C

又B＝60°，∴△ABC为正三角形.

证法二：

∵A、B、C成等差数列，则2B＝A＋C，

又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，∴B＝60°，

再由a、b、c成等比数列，设公比为q，

于是b＝aq，c＝aq2，

∵cosB＝，即＝

整理得q4－2q2＋1＝0，解得q2＝1，q＝1

∵q＝1，∴三边长相等

故三角形为正三角形.

［例3］在△ABC中，若a2tanB=b2tanA，试判断△ABC的形状.

解法一：

∵a2tanB=b2tanA，

∴＝＝①

由正弦定理得＝②

由余弦定理得

cosB＝,③

cosA＝,④

把②③④式代入①式得

＝＝，

整理得（a2－b2）（c2－a2－b2）＝0，

∴a＝b或a2＋b2＝c2.

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.

解法二：

由已知及正弦定理可得

（ksinA）2＝（ksinB）2，

∴2sinAcosA＝2sinBcosB∴sin2A＝sin2B

∴2A＝2B或2A＝π－2B

即A＝B或A＋B＝

∴△ABC是等腰或直角三角形.

4.参考练习题

1.在△ABC中，若sinA＝，试判断△ABC的形状.

解：

∵sinA＝，∴cosB＋cosC＝，

应用正、余弦定理得＋＝，

∴b（a2c2－b2）＋c（a2－b2c2）＝2bc（b＋c），

∴a2（b＋c）－（b＋c）（b2－2bc＋c2）＝2bc（b＋c）

即a2＝b2＋c2

故△ABC为直角三角形.

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，求证：

＝.

证明：

由a2＝b2＋c2－2bccosA.b2＝a2＋c2－2accosB

两式相减得a2－b2＝c（acosB－bcosA），

∴＝.

又＝，＝，

∴＝＝.

3.在△ABC中，若（a＋b＋c）（b＋c－a）＝bc，并且sinA＝2sinBcosC，试判断△ABC的形状.

解：

由已知条件（a＋b＋c）（b＋c－a）＝bc及余弦定理得

cosA＝＝＝

∴A＝60°

又由已知条件sinA＝2sinBcosC得sin（B＋C）＝sin（B＋C）＋sin（B－C）

∴sin（C－B）＝0，∴B＝C

于是有A＝B＝C＝60°，

故△ABC为等边三角形.

正弦定理、余弦定理

1．在△ABC中，已知A＝1050，B＝300，b＝2，则c等于（）

A.2B.2C.4D.4

2．一个三角形的三边之长分别是3、5、7，则最大角为（）

A.arccosB.150°C.arccosD.120°

3．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）

A.b＝10，A＝45°，C＝70°B.a＝60，c＝48，B＝60°

C.a＝7，b＝5，A＝80°D.a＝14，b＝16，A＝45°

4．在△ABC中，若sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinB·sinC，则角A等于（）

A.B.C.D.

5．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

6．在△ABC中，已知c＝10，C＝60°，a＝，则∠A＝.

7．在△ABC中，已知三边满足（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab，则∠C等于.

8．在△ABC中，若＝，则△ABC是.

9．在△ABC中，已知B＝135°，C＝15°，a＝5，那么此三角形的最大边的长是.

10．在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求A，C及c.

11．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝（＋1）∶（－1）∶，求最大角.

12．已知△ABC中，a＝2，c＝1，求角C的取值范围.

正弦定理、余弦定理答案

1．C2．D3．D4．B5．D

6．45°7．60°8．等腰或直角三角形9．5

10．在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求A，C及c.

解：

∵＝，∴sinA＝＝＝

∵b＜a且b＞asinB

∴A有两解：

A＝60°或120°.

（1）当A＝60°时，C＝180°－（A+B）＝75°

c＝＝＝

（2）当A＝120°时，C＝180°－（A+B）＝15°

c＝＝＝.

11．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝（＋1）∶（－1）∶，求最大角.

解：

∵＝＝＝k

∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝（+1）∶（－1）∶

设a＝（＋1）k，b＝（－1）k，c＝k（k＞0）

则最大角为C.cosC＝

＝＝－

∴C＝120°.

12．已知△ABC中，a＝2，c＝1，求角C的取值范围.

解：

由三角形三边关系得

b＜a＋c＝3

b＞a－c＝1

∴1＜b＜3

由c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2－4bcos2C＋3＝0

由Δ≥0，得cos2C≥

∴0＜C≤.